Cómo se midió por primera vez la distancia Tierra-Sol

Tamaño relativo del sistema solar

De las distancias relativas a la escala absoluta

A principios del siglo XVII, los científicos no tenían ninguna idea de las dimensiones del sistema solar. Gracias a las leyes de Johannes Kepler (1571−1630) se conocían las distancias relativas de los cinco planetas de la época respecto al Sol. En otras palabras, se conocían las distancias en una unidad desconocida, la distancia Tierra-Sol, pero no se conocía la distancia Tierra-Sol en km.

La tercera ley de Kepler

La 3.ª ley de Johannes Kepler, formulada en 1618, muestra la relación entre el semieje mayor de la órbita de un planeta y su período de revolución alrededor del Sol (tabla contigua). El cubo del semieje mayor es igual al cuadrado del período de revolución (T2 / R3 = k), lo que sitúa la órbita de Mercurio a 0,39 ua (unidad astronómica creada mucho más tarde, en 1958) y la de Saturno a 9,55 unidades astronómicas del Sol.

N.B.:
La primera ley de Kepler «ley de las órbitas» (publicada en 1609 en Astronomia nova), establece que todos los cuerpos en órbita describen trayectorias elípticas, cuyo Sol ocupa uno de los focos.
La segunda ley de Kepler «ley de las áreas» (publicada en 1609 en Astronomia nova), establece que áreas iguales son barridas en tiempos iguales.
La tercera ley de Kepler «ley de los períodos» (publicada en 1619 en Harmonices Mundi), establece que el cuadrado del período sidéreo de un planeta (tiempo entre dos pasos sucesivos frente a una estrella) es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elíptica del planeta.

Características orbitales de los planetas

La tabla siguiente presenta los datos orbitales de los planetas del sistema solar, ilustrando la tercera ley de Kepler.

N.B.:
T² / R³ = k: la expresión teórica de k se conocería en 1687 gracias a las ecuaciones de la gravitación universal formuladas por Isaac Newton (1643−1727).

Una sola medida para todo el sistema

La medida de una sola distancia (planeta-Sol) dará la escala de todo el sistema y por tanto la distancia Tierra-Sol en km tan esperada por los astrónomos. En 1687, Isaac Newton descubre la ley de la gravitación que le permite explicar las tres leyes de Kepler.

Medición de la distancia Tierra-Marte

El principio de la paralaje

Por paradójico que pueda parecer, fue mediante la medición de la distancia Tierra-Marte como los astrónomos y matemáticos del siglo XVII pudieron hacerse una idea de las dimensiones del sistema solar. En aquella época, la observación se resumía principalmente en la medición de los ángulos de los objetos celestes vistos desde la Tierra. Después, los cálculos de trigonometría daban las distancias.

¿Cómo se calculó la distancia Tierra-Marte por primera vez?

La observación simultánea París-Cayena

En septiembre de 1672, Jean-Dominique Cassini (1625−1712), Jean Picard llamado el abate Picard (1620−1682) y Jean Richer (1630−1696) midieron la paralaje horizontal de Marte cuando este planeta pasaba lo más cerca posible de la Tierra (Marte se encuentra entonces, visto desde la Tierra, en el lado opuesto al Sol). Para realizar esta medición, es necesario observar las posiciones de Marte respecto a las estrellas mucho más lejanas desde dos puntos muy distantes.

Cassini desde París y Richer desde Cayena midieron la paralaje de Marte. Esta medida, referida a la base formada por el radio ecuatorial de la Tierra, da una paralaje horizontal de p=24" ⇒ Tierra-Marte = 54 746 000 km. Para determinar la paralaje de Marte a partir de las observaciones hechas desde París y Cayena, es necesario conocer con la máxima precisión la diferencia entre las latitudes y la diferencia entre las longitudes de París y Cayena.

La determinación de las longitudes

La latitud es fácil de medir, pero la longitud es mucho más difícil en aquella época.

Cassini precisa sin embargo que midió la longitud por varios métodos para obtener una media:

• La observación de un eclipse cuyas diferentes fases se registran en horas del meridiano de París, en los compendios astronómicos.
• La observación de los eclipses de los satélites galileanos de Júpiter, que se producen varias veces al día.
• La observación de las alturas meridianas del Sol.

El conjunto da una media de 3 h 39 min ±10 min. Richer y Cassini observan por tanto el planeta Marte durante el mes de septiembre de 1672. Marte pasará cerca de una estrella de Acuario (Ψ Aquarii). En la imagen, el punto C' corresponde a la latitud de C (Cayena) y a la longitud de P (París). Cassini utiliza dos observaciones simultáneas de Marte, una desde P, la otra desde C'. El ángulo París Cayena desde Marte es el ángulo α=14". Pero la paralaje de Marte es el ángulo bajo el cual Marte ve el radio de la Tierra. El cálculo de proporcionalidad entre el ángulo París Cayena y la paralaje de Marte da 24" ± 5".

El cálculo de la distancia Tierra-Marte

Una vez conocida la paralaje de Marte, la trigonometría permite obtener la distancia Tierra-Marte (D) en función del radio (R) de la Tierra:
D = R×3600/24×180/π es decir 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

N.B.:
La latitud es la posición norte o sur de un punto en la Tierra; en otras palabras, es el ángulo con el plano ecuatorial (de 0° en el ecuador a 90° en el polo norte y -90° en el polo sur).
La longitud es la posición este-oeste de un punto en la Tierra, que corresponde a un desfase horario con el plano del meridiano de Greenwich (meridiano de origen, de longitud 0°). Este desfase varía de +180° hacia el oeste a -180° hacia el este.

Cálculo de la distancia Tierra-Sol

De la distancia Tierra-Marte a la unidad astronómica

En cuanto se conoció la distancia Tierra-Marte, la distancia Tierra-Sol pudo calcularse gracias a la tercera ley de Kepler.

Cassini sabía que Marte estaba a \(0{,}38\ \text{ua} = \frac{3}{8}\ \text{ua}\). \[ \text{Tierra-Sol} = \frac{8}{3} \times 8600\,R = 23\,000\,R \pm 5\,000\ \text{radios terrestres}. \] Cassini nos da el valor del radio terrestre en leguas: \(R = 1500\) leguas.

Aplicación de la tercera ley de Kepler

En la época, había un gran número de definiciones de la legua según las regiones. Supongamos que el radio terrestre se da en legua del abate Picard que, a partir de 1671, equivale a 3707 metros. \[ R = 1500 \times 3{,}707 = 5\,560{,}5\ \text{km} \] de donde: \[ \text{Tierra-Sol} = 127\,891\,500\ \text{km} \pm 27\,802\,500\ \text{km}. \]

Este notable resultado constituye la primera medición de la distancia Tierra-Sol. Gracias a la tercera ley de Kepler, esta distancia dará la escala de todo el sistema solar \(T^2/R^3 = k\).

Cálculo de las distancias a partir de las órbitas de la Tierra y de Marte

Relaciones geométricas entre las órbitas

\(C =\) Centro de la elipse que representa la órbita de Marte
\(CM_{\text{mars}} =\) Semieje mayor de la órbita de Marte
Excentricidad de la órbita de Marte \(= \dfrac{CS_{\text{sol}}}{CM_{\text{mars}}} = 0{,}093\)
\(CM_{\text{mars}} = CS_{\text{sol}} + S_{\text{sol}}T_{\text{tierra}} + T_{\text{tierra}}M_{\text{mars}}\)
\(CM_{\text{mars}} = T_{\text{tierra}}M_{\text{mars}} + \dfrac{S_{\text{sol}}T_{\text{tierra}}}{1-CS_{\text{sol}}}\)
\(T_{\text{tierra}}M_{\text{mars}} = 54\,790\,600\ \text{km}\)
\(PT_{\text{tierra}}\) (período de la Tierra) \(= 1\ \text{año} (365\ \text{días})\)
\(PM_{\text{mars}}\) (período de Marte) \(= 1{,}88\ \text{año} (686\ \text{días})\)

Aplicación de la tercera ley de Kepler

\[ T_{\text{tierra}}S_{\text{sol}} = \frac{T_{\text{tierra}}M_{\text{mars}}}{1 - CS_{\text{sol}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{tierra}}}\right)^{2/3} - 1} \]

Resultado del cálculo

\[ 1 - CS_{\text{sol}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{tierra}}}\right)^{2/3} - 1 = 0{,}38 \quad \text{es decir} \quad \frac{3}{8} \] \[ \Rightarrow T_{\text{tierra}}S_{\text{sol}} = 54\,790\,600 \times \frac{8}{3} = 150\,000\,000\ \text{km} \]