Como foi medida pela primeira vez a distância Terra-Sol

Tamanho relativo do sistema solar

Das distâncias relativas à escala absoluta

No início do século XVII, os cientistas não tinham qualquer ideia das dimensões do sistema solar. Graças às leis de Johannes Kepler (1571−1630) conheciam-se as distâncias relativas dos cinco planetas da época em relação ao Sol. Por outras palavras, conheciam-se as distâncias numa unidade desconhecida, a distância Terra-Sol, mas não se conhecia a distância Terra-Sol em km.

A terceira lei de Kepler

A 3.ª lei de Johannes Kepler formulada em 1618 mostra a relação entre o semieixo maior da órbita de um planeta e o seu período de revolução em torno do Sol (tabela ao lado). O cubo do semieixo maior é igual ao quadrado do período de revolução (T2 / R3 = k), o que situa a órbita de Mercúrio a 0,39 ua (unidade astronómica criada muito mais tarde, em 1958) e a de Saturno a 9,55 unidades astronómicas do Sol.

N.B.:
A primeira lei de Kepler «lei das órbitas» (publicada em 1609 em Astronomia nova), estipula que todos os corpos em órbita descrevem trajetórias elípticas, cujo Sol ocupa um dos focos.
A segunda lei de Kepler «lei das áreas» (publicada em 1609 em Astronomia nova), estipula que áreas iguais são varridas em tempos iguais.
A terceira lei de Kepler «lei dos períodos» (publicada em 1619 em Harmonices Mundi), estipula que o quadrado do período sideral de um planeta (tempo entre duas passagens sucessivas em frente de uma estrela) é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior da trajetória elíptica do planeta.

Características orbitais dos planetas

A tabela abaixo apresenta os dados orbitais dos planetas do sistema solar, ilustrando a terceira lei de Kepler.

N.B.:
T² / R³ = k: a expressão teórica de k seria conhecida em 1687 graças às equações da gravitação universal formuladas por Isaac Newton (1643−1727).

Uma única medição para todo o sistema

A medição de uma única distância (planeta-Sol) dará a escala de todo o sistema e portanto a distância Terra-Sol em km tão esperada pelos astrónomos. Em 1687, Isaac Newton descobre a lei da gravitação que lhe permite explicar as três leis de Kepler.

Medição da distância Terra-Marte

O princípio da paralaxe

Por mais paradoxal que possa parecer, foi através da medição da distância Terra-Marte que os astrónomos e matemáticos do século XVII conseguiram formar uma ideia das dimensões do sistema solar. Nessa época, a observação resumia-se principalmente à medição dos ângulos dos objetos celestes vistos da Terra. Depois, os cálculos de trigonometria davam as distâncias.

Como foi calculada a distância Terra-Marte pela primeira vez?

A observação simultânea Paris-Caiena

Em setembro de 1672, Jean-Dominique Cassini (1625−1712), Jean Picard dito o abade Picard (1620−1682) e Jean Richer (1630−1696) mediram a paralaxe horizontal de Marte quando este planeta passava o mais perto possível da Terra (Marte encontra-se então, visto da Terra, do lado oposto ao Sol). Para realizar esta medição, é necessário observar as posições de Marte em relação às estrelas muito mais longínquas a partir de dois pontos muito distantes.

Cassini de Paris e Richer de Caiena mediram a paralaxe de Marte. Esta medida referida à base formada pelo raio equatorial da Terra dá uma paralaxe horizontal de p=24" ⇒ Terra-Marte = 54 746 000 km. Para determinar a paralaxe de Marte a partir das observações feitas de Paris e Caiena, é necessário conhecer com o máximo de precisão a diferença entre as latitudes e a diferença entre as longitudes de Paris e Caiena.

A determinação das longitudes

A latitude é fácil de medir, mas a longitude é muito mais difícil na época.

Cassini precisa no entanto que mediu a longitude por vários métodos para obter uma média:

• A observação de um eclipse cujas diferentes fases são registadas em horas do meridiano de Paris, nos compêndios astronómicos.
• A observação dos eclipses dos satélites galileanos de Júpiter, que ocorrem várias vezes por dia.
• A observação das alturas meridianas do Sol.

O conjunto dá uma média de 3 h 39 min ±10 min. Richer e Cassini observam portanto o planeta Marte durante o mês de setembro de 1672. Marte passará perto de uma estrela de Aquário (Ψ Aquarii). Na imagem, o ponto C' corresponde à latitude de C (Caiena) e à longitude de P (Paris). Cassini utiliza duas observações simultâneas de Marte, uma de P, a outra de C'. O ângulo Paris Caiena desde Marte é o ângulo α=14". Mas a paralaxe de Marte é o ângulo sob o qual Marte vê o raio da Terra. O cálculo de proporcionalidade entre o ângulo Paris Caiena e a paralaxe de Marte dá 24" ± 5".

O cálculo da distância Terra-Marte

Uma vez conhecida a paralaxe de Marte, a trigonometria permite obter a distância Terra-Marte (D) em função do raio (R) da Terra:
D = R×3600/24×180/π ou seja 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

N.B.:
A latitude é o posicionamento norte ou sul de um ponto na Terra; por outras palavras, é o ângulo com o plano equatorial (de 0° no equador a 90° no polo norte e -90° no polo sul).
A longitude é o posicionamento este-oeste de um ponto na Terra, o que corresponde a um desfasamento horário com o plano do meridiano de Greenwich (meridiano de origem, de longitude 0°). Este desfasamento varia de +180° para oeste a -180° para este.

Cálculo da distância Terra-Sol

Da distância Terra-Marte à unidade astronómica

Assim que a distância Terra-Marte foi conhecida, a distância Terra-Sol pôde ser calculada graças à terceira lei de Kepler.

Cassini sabia que Marte estava a \(0{,}38\ \text{ua} = \frac{3}{8}\ \text{ua}\). \[ \text{Terra-Sol} = \frac{8}{3} \times 8600\,R = 23\,000\,R \pm 5\,000\ \text{raios terrestres}. \] Cassini dá-nos o valor do raio terrestre em léguas: \(R = 1500\) léguas.

Aplicação da terceira lei de Kepler

Na época, havia um grande número de definições da légua segundo as regiões. Suponhamos que o raio terrestre seja dado em légua do abade Picard que, a partir de 1671, é igual a 3707 metros. \[ R = 1500 \times 3{,}707 = 5\,560{,}5\ \text{km} \] donde: \[ \text{Terra-Sol} = 127\,891\,500\ \text{km} \pm 27\,802\,500\ \text{km}. \]

Este notável resultado constitui a primeira medição da distância Terra-Sol. Graças à terceira lei de Kepler, esta distância dará a escala de todo o sistema solar \(T^2/R^3 = k\).

Cálculo das distâncias a partir das órbitas da Terra e de Marte

Relações geométricas entre as órbitas

\(C =\) Centro da elipse que representa a órbita de Marte
\(CM_{\text{mars}} =\) Semieixo maior da órbita de Marte
Excentricidade da órbita de Marte \(= \dfrac{CS_{\text{sol}}}{CM_{\text{mars}}} = 0{,}093\)
\(CM_{\text{mars}} = CS_{\text{sol}} + S_{\text{sol}}T_{\text{terra}} + T_{\text{terra}}M_{\text{mars}}\)
\(CM_{\text{mars}} = T_{\text{terra}}M_{\text{mars}} + \dfrac{S_{\text{sol}}T_{\text{terra}}}{1-CS_{\text{sol}}}\)
\(T_{\text{terra}}M_{\text{mars}} = 54\,790\,600\ \text{km}\)
\(PT_{\text{terra}}\) (período da Terra) \(= 1\ \text{ano} (365\ \text{dias})\)
\(PM_{\text{mars}}\) (período de Marte) \(= 1{,}88\ \text{ano} (686\ \text{dias})\)

Aplicação da terceira lei de Kepler

\[ T_{\text{terra}}S_{\text{sol}} = \frac{T_{\text{terra}}M_{\text{mars}}}{1 - CS_{\text{sol}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{terra}}}\right)^{2/3} - 1} \]

Resultado do cálculo

\[ 1 - CS_{\text{sol}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{terra}}}\right)^{2/3} - 1 = 0{,}38 \quad \text{ou seja} \quad \frac{3}{8} \] \[ \Rightarrow T_{\text{terra}}S_{\text{sol}} = 54\,790\,600 \times \frac{8}{3} = 150\,000\,000\ \text{km} \]