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Dernière mise à jour 4 décembre 2021

E=mc² : une Equation, une Révolution

Relativité Restreinte

Relativité Restreinte : Bien plus qu'une Formule Célèbre

E=mc2 est l'équation la plus connue et la plus vulgarisée de toute la physique.

L'équation E=mc2 apparaît pour la première fois dans l'article d'Albert Einstein intitulé "L'inertie d'un corps dépend-elle de l'énergie qu'il contient ?", publié dans le journal Annalen der Physik le 27 septembre 1905. Elle apparait après l'article du 30 juin 1905 intitulé "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement". Cet article de juin 1905 contient la base de ce que l'on appellera ensuite "La Théorie de la Relativité Restreinte".

La théorie de la relativité restreinte repose sur deux principes : la relativité galiléenne et l'invariance de la vitesse de la lumière. La relativité galiléenne dit que les lois de la physique restent inchangées dans des référentiels d'inertie (systèmes de référence en mouvement uniforme) dénommés depuis référentiels galiléens. De plus la vitesse est relative par rapport à un repère, un point choisi arbitrairement comme fixe. L'invariance de la vitesse de la lumière implique que c'est une vitesse limite et indépassable, quel que soit le référentiel.

Mais que veut dire exactement l'équation E=mc2 ?

En réalité, l'équation originale est E2=m2c4+p2c2. (E=énergie, m=masse, c=vitesse de la lumière, p=impulsion ou quantité de mouvement). En d'autres termes l'énergie totale d'un corps est la somme de son énergie de masse au repos (m2c4) plus son énergie cinétique (p2c2).

Si un corps est immobile, son impulsion est nulle alors E2=m2c4 ⇒ E=mc2. Autres formes de l'équation m=E/c2 ou Δm=ΔE/c2 (Δ=variation).

Cette équation E=mc2 a d'énormes conséquences sur les concepts d'espace, de temps, de masse et d'énergie mais aussi sur la physique de l'infiniment grand (cosmologie) et de l'infiniment petit (physique quantique).

N. B. : Loi de composition des vitesses : Si V1 est la vitesse du référentiel R1 (par exemple un train qui roule à 100 km/h) et V2 est la vitesse d'un marcheur (référentiel R2) qui se déplace à 10 km/h dans le même sens que le train par rapport au train, à quelle vitesse V0 se déplace le marcheur par rapport au quai (référentiel R0) ? La réponse est V0 = V1+V2=110 km/h. Du point de vue du quai le train se déplace à 100 km/h et le marcheur à 110 km/h. Du point de vue du train le marcheur se déplace à 10 km/h et le quai à -100 km/h. Du point de vue du marcheur le train se déplace à -10 km/h et le quai à -110 km/h. La vitesse est relative, elle dépend du point de vue. Aucune expérience de mécanique à l'intérieur du référentiel inertiel ne peut permettre de déterminer la vitesse de son propre référentiel.

N. B. : L'impulsion ou la quantité de mouvement transmise à un objet, est le produit de la masse par la vitesse (p=mv). Cela correspond à l'inertie de l'objet ou la difficulté à modifier son mouvement.

Éther Luminifère : Quand la Lumière Voyageait dans l'Éther

Ether luminifère

Dans l'article du 30 juin 1905 paru dans Annalen der Physik "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement", Einstein postule que la lumière n'est pas seulement ondulatoire mais qu'elle est constituée de photons (corpuscules de lumière). Cela va lui permettre de remettre en cause l'existence de l'éther.

La lumière redéfinie par Maxwell est considérée depuis le 17è siècle comme une onde. Le son pour se propager a besoin d'un milieu (l'air) qui vibre au passage du son. De même une vague pour se propager a besoin d'un milieu (l'eau). Les physiciens du 18è siècle inventent alors l'éther luminifère, substrat immatériel qui sert de support dans le vide pour véhiculer la lumière. L'éther qui vibre au passage de la lumière fait consensus dans le monde scientifique. Pour Einstein, si la lumière n'est pas seulement ondulatoire, mais aussi constituée de photons, alors il n'y a pas besoin d'éther luminifère.

Einstein rejeta énergiquement le caractère stationnaire de l'éther défendu par Lorentz car cela était contraire au principe de relativité. La lumière peut se propager dans le vide comme des corpuscules.

N. B. : Selon les équations de James Clerk Maxwell (1831-1879), la lumière est une onde transversale électromagnétique auto-propageante avec des composantes électriques et magnétiques où les champs électriques et magnétiques oscillent à angle droit les uns par rapport aux autres et se propagent perpendiculairement à la direction dans laquelle ils se déplacent indéfiniment à moins d'être absorbés par la matière intermédiaire. Autrement dit, chaque type de champ - électrique et magnétique - génère l'autre afin de propager l'ensemble de la structure composite dans l'espace vide à la vitesse finie de la lumière, c (du latin celeritas "vitesse").

Vitesse de la Lumière : La Limite Ultime de la Nature

Vitesse de la lumière

L'élimination de l'éther nous dit que la notion de vitesse absolue n'existe pas, la vitesse est relative. Ce qui implique que si un objet a une vitesse c dans un référentiel, alors il a une vitesse c dans tous les référentiels.

Comment accepter cette bizarrerie ?

Les postulats suivants sont nécessaires pour comprendre la théorie de la relativité restreinte.

Si on accepte ces postulats, les transformations de Lorentz (1853-1928) modifient la loi de composition des vitesses.

V=V1+V2 devient V=V1+V2 /1 + V1V2/c2

On démontre que si V2=c ⇒ V=c. L'énergie de V2 étant maximale, la vitesse V1 est nulle !

V=V1+c/1+V1c/c2=V1+c/1+V1/c=cV1+c/c+V1=c

c est devenu une constante limite et les objets qui se déplacent à la vitesse c ne dépendent pas du référentiel. Si un objet se propage à la vitesse de la lumière, alors il se propagera à la vitesse de la lumière pour tous les observateurs. L'expérience donne c=299 792 458 m/s. A notre échelle, V1 et V2 sont petits par rapport à c alors le facteur de Lorentz (γ=1/√1-v2/c2) très proche de 1, nous permet de retrouver V≈V1+V2.

Le facteur de Lorentz est le facteur de proportionnalité par lequel le temps, les longueurs et la masse relativistes changent pour un objet tandis que cet objet est en mouvement. Ce facteur prend une valeur infinie lorsque la vitesse de l'objet atteint la vitesse de la lumière.

γ=1/√1-v2/c2 ⇒ γ=1/√1-c2/c2 soit γ=1/0 =∞

La courbe représentative du facteur de Lorentz montre une asymptote. Cette asymptote monte subitement à la verticale lorsque v tend vers c. Voici quelques valeurs du facteur de Lorentz correspondant à différentes valeurs de la vitesse.

Dilatation du Temps : L'impact de la vitesse et de la gravité

Le facteur de Lorentz (γ=1/√1-v2/c2) s'applique à tous les concepts dans un cadre relativiste et bien sûr le temps est concerné.

Un rayon laser qui se réfléchit sur la Lune met 1,3 s à l'aller et 1,3 s au retour. Le va et vient du mouvement du rayon laser qui voyage entre 2 miroirs peut être considéré comme une horloge. Un pilote qui passe à très grande vitesse à côté de la Terre observe un phénomène étrange. Il voit la lumière se déplacer dans un aller-retour non pas à la verticale mais en zigzag. Le rayon parcoure une distance plus longue pour lui que pour un observateur sur Terre. La direction du laser vue de l'observateur au sol est verticale donc la distance est plus courte que celle vue par le pilote.

Or v=dt et la vitesse de la lumière est invariante.Si v est invariant et la distance d plus grande alors le temps est plus court. Du point de vue du pilote le pendule de lumière oscille plus lentement que pour l'observateur sur Terre.

Dans le vaisseau spatial, le temps se dilate d'un facteur γ qui est fonction de la vitesse du vaisseau. Le mouvement provoque un ralentissement du temps. Cela a été démontrée de manière pratique avec des horloges atomiques qui permettent des mesures extrêmement précises. Deux horloges atomiques, l'une installée dans un avion en vol et l'autre placée sur terre, obtiennent des mesures du temps différentes. Il y une désynchronisation des horloges. L'horloge de l'avion est plus lente de quelques nanosecondes, mais la différence est réelle et mesurable. Cette infime différence tient à la faible vitesse de l'avion par rapport à la vitesse de la lumière.

Contraction des Longueurs : Un Effet Relativiste Fondamental

Le facteur de Lorentz (γ=1/√1-v2/c2) s'applique à tous les concepts dans un cadre relativiste. Les longueurs aussi sont concernées.

Pour mesurer la longueur d'un objet en mouvement il faut mesurer ses extrémités simultanément (exactement au même moment). Cela n'est pas possible pour un objet allant à la vitesse de la lumière. Pour pouvoir le mesurer, il faut qu'il soit immobile. Il faut donc se situer dans son propre référentiel où l'objet est immobile.

Dans son référentiel, la longueur des objets en mouvement est réduite par un facteur gamma. Pour comprendre ce phénomène de contraction des longueurs, un exemple sera plus explicite que des équations.

Les muons sont des particules élémentaires de charge électrique négative, instables, produites dans la haute atmosphère à 35 km d'altitude. Les rayons cosmiques sont des flux de noyaux atomiques (des protons) de haute énergie relativiste, venant de l'espace. Lorsque les rayons cosmiques percutent les atomes d'oxygène ou d'azote de la haute atmosphère, ils produisent des gerbes de particules dont des muons. Les muons ont une durée de vie est de 2,2 μs en moyenne, et voyagent à une vitesse très proche de celle de la lumière. C'est-à-dire que durant leur vie entière ils ne parcourent que 660 m en moyenne.

Comment est-il possible de trouver des muons au sol (35 km plus bas) alors qu'ils ne peuvent parcourir que 660 m ?

Les muons ont une grande énergie, ainsi l'effet de dilatation temporelle décrite par la relativité restreinte les rend observables à la surface de la Terre.

En effet du point de vue de l'observateur au sol, la durée de vie du muon qui se déplace à la vitesse de la lumière est dilatée par un facteur γ (2,2 γ). De son point de vue le muon va vivre 75 fois plus longtemps et il sera possible de le trouver au sol. Du point de vue du muon, c'est la Terre qui se déplace vers lui à la vitesse de la lumière. Il verra la taille de la Terre réduite du même facteur γ. Pour le muon, les 35 km d'atmosphère ne feront plus que 660 m et il pourra atteindre le sol avant de disparaitre.

Les deux points de vue arrivent au même résultat physique. Du point de vue de l'observateur au sol il y a une dilatation du temps. Du point de vue du muon, il y a une contraction des longueurs. Tout comme avec la dilatation du temps, on n’observe pas la contraction des longueurs dans notre vie quotidienne, car nos vitesses de déplacement sont très faibles comparées à celle de la lumière.

Masse : De la Théorie à la Pratique

Fission du noyau d'uranium

Dans E=mc2, l'énormité du facteur c2 nous dit qu'un objet possède une énergie gigantesque du seul fait qu'il a une masse.

Pourquoi la masse des quarks ne représente qu'environ 2 millièmes de la masse des nucléons ? L'énergie cinétique et l'énergie d'interaction forte agitent et maintiennent les quarks ensemble. Ce qui veut dire que la masse ne contient que de l'énergie. La nature profonde de la masse c'est l'énergie due à la danse frénétique des particules élémentaires.

Dans cette réaction, la masse des deux noyaux plus la masse des neutrons libérés est plus faible que la masse du noyau d'uranium 235 initial. De la masse a été convertie en énergie cinétique. C'est cette énergie produite par la fission que l'on va récupérer. La fission d'un atome d'uranium 235 libère environ 193,2 MeV d'énergie récupérable. L'énergie libérée par les combustibles nucléaires est un million de fois plus grande que celle des énergies fossiles chimiques.

Énergie : L'Évolution de la Notion d'Énergie

Fusion deuterium tritium

Le facteur de Lorentz (γ=1/√1-v2/c2) s'applique à tous les concepts dans un cadre relativiste et bien sûr l'énergie est concernée.

Les faisceaux de particules très énergétiques qui circulent en sens inverses et entrent en collision provoquent l'apparition d'un très grand nombre de particules que l'on repère grâce à des détecteurs de particules à haute énergie. Quand on mesure la masse totale de toutes les particules créées par la collision, et qu'on la compare à la masse des particules initiales, on trouve une valeur jusqu'à 200 000 fois plus élevée. En d'autres termes, la masse ne se conserve pas et l'énergie cinétique des particules initiales s'est matérialisée. Elle s'est transformée en nouvelles particules. L'énergie cinétique s'est transformée en masse !

Antimatière : Une Réalité Cachée de notre Univers

L'antimatière est aussi une conséquence de l'équation E=mc2. La matière et l'antimatière en se rencontrant s'annihilent et transforment 100 % de leur masse en énergie pure.

Chaque fois qu'une particule rencontre une antiparticule elle s'annihile aussitôt en énergie pure comme dans la technique d’imagerie fonctionnelle de médecine nucléaire utilisée dans le TEP (tomographie par émission de positons). On injecte au patient un isotope radioactif (fluor 18) en microdose incorporée à une molécule dite "précurseur". Le produit va se diffuser dans les organes et de temps en temps le 18F-fluoro-deoxy-D-glucose (18FDG) se désintègre en émettant des positons. En présence des électrons de proximité, ces positons vont se désintégrer en émettant du rayonnement bêta. Ces photons vont traverser le corps du patient et être détecter par la machine. On pourra ainsi dire où est aller le glucose.

Les isotopes les plus couramment utilisés en imagerie TEP ont une période radioactive généralement courte (temps nécessaire à la décroissance de moitié de la radioactivité). Par conséquent, les radiotraceurs sont produits par un cyclotron quelques heures avant leur utilisation. La tomographies par émission de positons est une technique qui utilise l'antimatière.

N. B. : le rayonnement bêta est une forme de radioactivité dans laquelle un noyau émet un électron et un antineutrino (rayon bêta moins) ou un positron et un neutrino (rayon bêta plus). Ce processus donne naissance à un autre noyau ayant un neutron de moins et un proton de plus que le noyau initial.

Espace-Temps : Une Nouvelle Perspective sur l'Univers

Cône de lumière

L'Espace-Temps est apparu avec la relativité restreinte et sa représentation géométrique a été reprise par Hermann Minkowski (1864-1909) en 1908.

Le continuum espace-temps comporte quatre dimensions. Trois dimensions pour l'espace (x, y, z) et une pour le temps (ct) que l'on transforme en distance en lui associant la constante c (d=ct). Dans l'espace-temps, le temps est géométrisé, ce qui permet à tous les évènements de se positionner dans le temps et l'espace par ses coordonnées ct, x, y, z qui dépendent toutes du référentiel car le temps ne se déroule pas de la même façon suivant le référentiel.

La mesure du temps transformée en mesure de distance peut être associée aux trois autres coordonnées de l'espace. Ainsi toutes les mesures sont en unités de distance. Le temps est devenu de l'espace !

Tous les évènements ponctuels sont reliés à la vitesse de la lumière. L'ensemble de tous les évènements est appelé "l'espace-temps". La frontière définie par le cône de lumière est appelée "horizon cosmologique".

Les lignes d'univers définissant le cône peuvent être décrites par une particule se mouvant à la vitesse de la lumière ce qui définit la frontière du cône. La représentation des lignes d'Univers dans la partie inférieur (cône renversé) vient du fait qu'un évènement peut également avoir un passé. Si l'objet est immobile dans l'espace-temps, il ne se déplace pas dans l'espace mais se déplace dans le temps (axe vertical).

Si l'objet est en mouvement, nécessairement à une vitesse inférieure à c, le déplacement aura lieu à l'intérieur du cône de lumière ayant l'origine pour sommet (le présent). La ligne d'univers d'un personnage mobile a un angle dans le cône qui dépend de sa vitesse, il se déplace dans l'espace et dans le temps. Les bords du cône définissent la vitesse limite, celle des particules de lumière. La surface du cône est réservée à la représentation de la propagation des signaux lumineux émis par l'objet.

L'intérieur du cône de lumière du haut (côté positif) représente "l'avenir". Le sommet du cône de lumière représente le "ici et maintenant". L'intérieur du cône de lumière du bas (côté négatif) représente "le passé". L'extérieur du cône n'est pas accessible par un signal lumineux car il irait plus vite que la vitesse de la lumière. L'extérieur représente "le ailleurs".

Un corps du monde réel a une ligne d'univers dans l'espace-temps. L'ensemble de son histoire (tous les évènements de sa vie) trace cette ligne. Dans l'Univers euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites.

Ce qu'il faut retenir

La compréhension de la relativité restreinte est loin d'être immédiate, il faut beaucoup d'imagination pour comprendre les concepts qui se cachent derrière l'équation E=mc2. De très nombreux physiciens ont participé à l'émergence de cette formule dans l'esprit d'Einstein.

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