E=mc²: Uma Equação, Uma Revolução

Relatividade Restrita: Muito Mais Que Uma Fórmula Famos

E=mc² é a equação mais conhecida e popularizada de toda a física.

A equação E=mc² aparece pela primeira vez no artigo de Albert Einstein intitulado "A inércia de um corpo depende da energia que ele contém?", publicado no jornal Annalen der Physik em 27 de setembro de 1905. Ela aparece após o artigo de 30 de junho de 1905 intitulado "Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento". Este artigo de junho de 1905 contém a base do que mais tarde será chamado de "A Teoria da Relatividade Restrita".

A teoria da relatividade restrita baseia-se em dois princípios: a relatividade galileana e a invariância da velocidade da luz. A relatividade galileana diz que as leis da física permanecem inalteradas em referenciais de inércia (sistemas de referência em movimento uniforme), denominados desde então referenciais galileanos. Além disso, a velocidade é relativa em relação a um referencial, um ponto escolhido arbitrariamente como fixo. A invariância da velocidade da luz implica que é uma velocidade limite e inultrapassável, independentemente do referencial.

Mas o que significa exatamente a equação E=mc²?

Na realidade, a equação original é E²=m²c⁴+p²c² (E=energia, m=massa, c=velocidade da luz, p=momento). Em outras palavras, a energia total de um corpo é a soma de sua energia de massa em repouso (m²c⁴) mais sua energia cinética (p²c²).

Se um corpo está imóvel, seu momento é nulo, então E²=m²c⁴ ⇒ E=mc². Outras formas da equação são m=E/c² ou Δm=ΔE/c² (Δ=variação).

Esta equação E=mc² tem enormes consequências nos conceitos de espaço, tempo, massa e energia, bem como na física do infinitamente grande (cosmologia) e do infinitamente pequeno (física quântica).

N.B.:
Lei de composição de velocidades: Se V1 é a velocidade do referencial R1 (por exemplo, um trem que viaja a 100 km/h) e V2 é a velocidade de um caminhante (referencial R2) que se move a 10 km/h na mesma direção que o trem em relação ao trem, a que velocidade V0 o caminhante se move em relação à plataforma (referencial R0)? A resposta é V0 = V1+V2=110 km/h. Do ponto de vista da plataforma, o trem está se movendo a 100 km/h e o caminhante a 110 km/h. Do ponto de vista do trem, o caminhante está se movendo a 10 km/h e a plataforma a -100 km/h. Do ponto de vista do caminhante, o trem está se movendo a -10 km/h e a plataforma a -110 km/h. A velocidade é relativa; depende do ponto de vista. Nenhum experimento mecânico dentro do referencial inercial pode determinar a velocidade do seu próprio referencial.

N.B.:
O impulso ou a quantidade de movimento transmitida a um objeto é o produto da massa pela velocidade (p=mv). Isso corresponde à inércia do objeto ou à dificuldade em mudar seu movimento.

Éter Luminífero: Quando a Luz Viajava no Éter

No artigo de 30 de junho de 1905, publicado no Annalen der Physik "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", Einstein postula que a luz não é apenas ondulatória, mas também consiste em fótons (corpúsculos de luz). Isso permitirá que ele questione a existência do éter.

A luz, redefinida por Maxwell, tem sido considerada desde o século XVII como uma onda. O som precisa de um meio (ar) que vibra com a passagem do som. Da mesma forma, uma onda precisa de um meio (água) para se propagar. Os físicos do século XVIII inventaram então o éter luminífero, um substrato imaterial que serve como suporte no vácuo para transportar a luz. O éter que vibra com a passagem da luz era um consenso no mundo científico. Para Einstein, se a luz não é apenas ondulatória, mas também consiste em fótons, então não há necessidade de éter luminífero.

Einstein rejeitou energicamente a natureza estacionária do éter defendida por Lorentz porque era contrária ao princípio da relatividade. A luz pode se propagar no vácuo como corpúsculos.

N.B.:
De acordo com as equações de James Clerk Maxwell (1831-1879), a luz é uma onda eletromagnética transversal autopropagante com componentes elétricas e magnéticas onde os campos elétricos e magnéticos oscilam em ângulo reto um em relação ao outro e se propagam perpendicularmente à direção em que se movem indefinidamente, a menos que sejam absorvidos pela matéria intermediária. Em outras palavras, cada tipo de campo—elétrico e magnético—gera o outro para propagar toda a estrutura composta no espaço vazio à velocidade finita da luz, c (do latim celeritas "velocidade").

Velocidade da Luz: O Limite Definitivo da Natureza

A eliminação do éter nos diz que a noção de velocidade absoluta não existe; a velocidade é relativa. Isso implica que se um objeto tem uma velocidade c em um referencial, então ele tem uma velocidade c em todos os referenciais.

Como aceitar essa peculiaridade?

Os seguintes postulados são necessários para entender a teoria da relatividade restrita.

• Não há um ponto privilegiado no espaço e no tempo; o espaço-tempo é homogêneo. Se um experimento é realizado, as medidas permanecerão válidas aqui e ali, ontem e amanhã.
• Não há uma direção privilegiada no espaço (o espaço é isotrópico). Se um experimento é realizado, as medidas permanecerão válidas em todas as direções do espaço, ao contrário do tempo, que sempre vai na mesma direção (do passado para o futuro).
• As mesmas leis de transformação relacionam as medidas dos experimentos vistas por observadores situados em diferentes referenciais inerciais.
• Se um evento A é a causa de um evento B, independentemente do observador, o evento A sempre será a causa do evento B. A causalidade deve ser respeitada, o que significa que a ordem dos eventos nunca será invertida independentemente do movimento.

Se aceitamos esses postulados, as transformações de Lorentz (1853-1928) modificam a lei de composição de velocidades.

V=V1+V2 torna-se V=(V1+V2)/(1 + V1V2/c²)

Demonstra-se que se V2=c ⇒ V=c. A energia de V2 sendo máxima, a velocidade V1 é zero!

V=(V1+c)/(1+V1c/c²)=(V1+c)/(1+V1/c)=c(V1+c)/(c+V1)=c

c tornou-se uma constante limite, e os objetos que se movem à velocidade c não dependem do referencial. Se um objeto se propaga à velocidade da luz, então ele se propagará à velocidade da luz para todos os observadores. O experimento dá c=299.792.458 m/s. Na nossa escala, V1 e V2 são pequenas em comparação com c, então o fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) muito próximo de 1 nos permite encontrar V≈V1+V2.

O fator de Lorentz é o fator de proporcionalidade pelo qual o tempo, os comprimentos e a massa relativísticos mudam para um objeto enquanto ele está em movimento. Este fator assume um valor infinito quando a velocidade do objeto atinge a velocidade da luz.

γ=1/√(1-v²/c²) ⇒ γ=1/√(1-c²/c²) ⇒ γ=1/0 = ∞

O gráfico do fator de Lorentz mostra uma assíntota. Esta assíntota sobe abruptamente na vertical à medida que v se aproxima de c. Aqui estão alguns valores do fator de Lorentz correspondentes a diferentes valores de velocidade.

• A 10% de c, o fator γ=1.005
• A 20% de c, o fator γ=1.021
• A 50% de c, o fator γ=1.16
• A 99% de c, o fator γ≈7
• A 99,9% de c, o fator γ≈22
• A 99,99% de c, o fator γ≈71
• A 100% de c, o fator gama é infinito.

Dilatação do Tempo: O Impacto da Velocidade e da Gravidade

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista, e claro, o tempo está envolvido.

Um raio laser que se reflete na Lua leva 1,3 segundos para ir e 1,3 segundos para voltar. O movimento de ida e volta do raio laser que viaja entre 2 espelhos pode ser considerado um relógio. Um piloto que passa a uma velocidade muito alta ao lado da Terra observa um fenômeno estranho. Ele vê a luz se mover em uma viagem de ida e volta não verticalmente, mas em ziguezague. O raio percorre uma distância maior para ele do que para um observador na Terra. A direção do laser vista pelo observador no solo é vertical, então a distância é mais curta do que a vista pelo piloto.

Como v=dt e a velocidade da luz é invariante, se v é invariante e a distância d é maior, então o tempo é mais curto. Do ponto de vista do piloto, o pêndulo de luz oscila mais lentamente do que para o observador na Terra.

Na nave espacial, o tempo se dilata por um fator γ, que é uma função da velocidade da nave. O movimento causa uma desaceleração do tempo. Isso foi demonstrado de maneira prática com relógios atômicos que permitem medições extremamente precisas. Dois relógios atômicos, um instalado em um avião em voo e outro colocado no solo, obtêm medições de tempo diferentes. Há uma dessincronização dos relógios. O relógio do avião é mais lento por alguns nanosegundos, mas a diferença é real e mensurável. Essa pequena diferença se deve à baixa velocidade do avião em comparação com a velocidade da luz.

Contração dos Comprimentos: Um Efeito Relativista Fundamental

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista. Os comprimentos também estão envolvidos.

Para medir o comprimento de um objeto em movimento, é necessário medir suas extremidades simultaneamente (exatamente no mesmo momento). Isso não é possível para um objeto que viaja à velocidade da luz. Para medi-lo, ele deve estar imóvel. Portanto, deve-se estar em seu próprio referencial onde o objeto está imóvel.

Em seu referencial, o comprimento dos objetos em movimento é reduzido por um fator gama. Para entender esse fenômeno de contração dos comprimentos, um exemplo será mais explícito do que equações.

Os múons são partículas elementares com carga elétrica negativa, instáveis, produzidas na alta atmosfera a uma altitude de 35 km. Os raios cósmicos são fluxos de núcleos atômicos (prótons) de alta energia relativística, vindos do espaço. Quando os raios cósmicos colidem com átomos de oxigênio ou nitrogênio na alta atmosfera, produzem chuveiros de partículas, incluindo múons. Os múons têm uma vida útil de 2,2 μs em média e viajam a uma velocidade muito próxima da velocidade da luz. Isso significa que durante toda a sua vida, eles percorrem apenas uma média de 660 metros.

Como é possível encontrar múons no solo (35 km abaixo) quando eles só podem viajar 660 m?

Os múons têm muita energia, então o efeito de dilatação do tempo descrito pela relatividade restrita os torna observáveis na superfície da Terra.

De fato, do ponto de vista do observador no solo, a vida útil do múon que se move à velocidade da luz é dilatada por um fator γ (2,2 γ). Do seu ponto de vista, o múon viverá 75 vezes mais e será possível encontrá-lo no solo. Do ponto de vista do múon, é a Terra que se move em sua direção à velocidade da luz. Ele verá o tamanho da Terra reduzido pelo mesmo fator γ. Para o múon, os 35 km da atmosfera serão apenas 660 m, e ele poderá atingir o solo antes de desaparecer.

Ambos os pontos de vista levam ao mesmo resultado físico. Do ponto de vista do observador no solo, há uma dilatação do tempo. Do ponto de vista do múon, há uma contração dos comprimentos. Assim como com a dilatação do tempo, não observamos a contração dos comprimentos em nossa vida diária porque nossas velocidades de deslocamento são muito baixas em comparação com a velocidade da luz.

Massa: Da Teoria à Prática

Em E=mc², a enormidade do fator c² nos diz que um objeto possui uma quantidade gigantesca de energia apenas por virtude de sua massa.

• Se pudéssemos extrair toda a energia contida em 1 grama de matéria, obteríamos 90.000 GJ [E=0.001x(3x10⁸)²=9x10¹³ joules] ou 25 GWh, que é a produção diária de uma usina nuclear de 1 GW. A energia de massa contida em 1 mg de matéria é igual à energia química de 2 toneladas de petróleo (1 tonelada de petróleo = 41,868 GJ). A energia de massa escondida de nós é verdadeiramente gigantesca!!!
• Um corpo massivo emite radiação eletromagnética, portanto, luz (visível especialmente ao aquecer um metal). Um corpo massivo perde massa assim que perde energia. Em outras palavras, um corpo pode perder massa sem perder partículas. Isso significa que a massa não mede mais a quantidade de matéria em um corpo, mas sua quantidade de energia. Por exemplo, a massa de um núcleo de hidrogênio não é igual à soma da massa do próton mais a do elétron. Quando o próton e o elétron estão ligados, o núcleo tende a um estado fundamental parcimonioso (energia potencial mais baixa). Para atingir esse estado fundamental, uma quantidade de energia ΔE é liberada, assim a energia do sistema diminui. Ao perder essa quantidade extremamente pequena de energia, o núcleo também perde massa (ΔE=Δmc²). Por outro lado, quando o átomo recupera energia, o sistema aumenta sua massa. Isso é válido para todos os átomos da matéria. Por exemplo, a massa do núcleo de hélio (2 prótons + 2 nêutrons) = 6,646 yg (1 yoctograma = 10⁻²⁴ gramas). A massa do próton = 1,673 yg. A massa do nêutron = 1,675 yg. A massa dos 2 prótons + a massa dos 2 nêutrons = 6,696 yg. Observa-se que a massa do núcleo é menor que a massa de seus constituintes. Quando prótons e nêutrons se ligam, a massa do sistema diminui em 1% Δm=ΔE/c² (energia potencial mais baixa). Um ΔE é liberado. Isso não é enorme, mas essa energia de fusão nuclear permite que as estrelas brilhem.
• A massa de um próton (2 quarks up + 1 quark down) é 1,673 yg ou 1,673x10⁻²⁴ g. A massa de um nêutron (1 quark up + 2 quarks down) é 1,675 yg. A massa de um quark up é 0,004 yg. A massa de um quark down é 0,009 yg.

Por que a massa dos quarks representa apenas cerca de 2 milésimos da massa dos nucleons?

A energia cinética e a energia de interação forte agitam e mantêm os quarks juntos. Isso significa que a massa contém apenas energia. A natureza profunda da massa é a energia devido à dança frenética das partículas elementares.

• Se uma partícula que emite luz não tem massa (m²c⁴=E²-p²c²), então sua energia total é igual à sua energia cinética (E²-p²c² ⇒ E=pc). Assim, a massa é igual à inércia como nas equações de Newton (f=ma e f=mv).
• Se uma partícula não está em repouso, o momento deve ser adicionado (E²=m²c⁴+p²c²), assim a relatividade restrita permite a existência de partículas sem massa. Uma partícula pode ter energia sem ter massa; basta que seu momento não seja zero. Este é o caso dos fótons. Partículas sem massa não podem estar em repouso; são obrigadas a viajar à velocidade da luz.
• Se uma partícula tem uma velocidade igual a c, sua energia é máxima; consequentemente, sua massa é zero m²c⁴=E²-p²c²=0.
• A massa é convertida em energia (m=E/c² ou Δm=ΔE/c²) na produção de energia nuclear. Núcleos atômicos muito pesados (urânio-235, plutônio-239) contêm muitos prótons e são instáveis. Se um desses átomos captura um nêutron, transforma-se em um núcleo ainda mais instável (²³⁶U ou ²⁴⁰Pu) e ganha energia. O núcleo resultante divide-se em dois núcleos e então libera dois ou três nêutrons disponíveis para outras fissões nucleares (princípio da reação em cadeia).

Nesta reação, a massa dos dois núcleos mais a massa dos nêutrons liberados é menor que a massa do núcleo inicial de urânio-235. Massa foi convertida em energia cinética. É esta energia produzida pela fissão que recuperaremos. A fissão de um átomo de urânio-235 libera aproximadamente 193,2 MeV de energia recuperável. A energia liberada pelos combustíveis nucleares é um milhão de vezes maior que a dos combustíveis fósseis químicos.

• As reações químicas também convertem massa em energia, mas em um nível muito mais baixo, na ordem de um bilionésimo.

Energia: A Evolução do Conceito de Energia

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista, e claro, a energia está envolvida.

• Na equação E=mc²/√(1-v²/c²)-mc², se a velocidade do corpo é muito pequena em comparação com a velocidade da luz (até 100.000 km/s), encontramos a energia cinética do mundo macroscópico Ec=mc²/√(1-v²/c²)-mc² ⇒ ½mv².
• Se a velocidade se aproxima da velocidade da luz, a energia cinética tende ao infinito. Isso significa que não é possível exceder a velocidade da luz, pois para dar a um objeto uma velocidade igual a c, seria necessária uma quantidade infinita de energia, Ec=∞, o que é impossível. Em outras palavras, quanto mais massivo é um corpo, maior é sua resistência ao movimento. Quanto mais rápido ele se move, mais difícil é mudar seu movimento. Gradualmente, atingimos uma velocidade limite que não pode ser excedida. Nesse ponto, a inércia é tão alta que toda a energia do universo não seria suficiente para fazê-lo ir mais rápido. Entendemos por que a velocidade da luz é uma velocidade limite em todo o universo observável.
• Ec=mc²/√(1-v²/c²)-mc² nesta equação, a energia cinética é convertida em massa, que é o que fazemos nos aceleradores de partículas.

Feixes de partículas de alta energia que circulam em direções opostas e colidem causam o aparecimento de um grande número de partículas que são detectadas usando detectores de partículas de alta energia. Quando medimos a massa total de todas as partículas criadas pela colisão e a comparamos com a massa das partículas iniciais, encontramos um valor até 200.000 vezes maior. Em outras palavras, a massa não é conservada, e a energia cinética das partículas iniciais se materializou. Ela se transformou em novas partículas. A energia cinética se transformou em massa!

• Δm=ΔE/c², na fusão termonuclear, a massa é convertida em energia. Um núcleo de deutério ou um núcleo de trítio carregados positivamente não podem se ligar naturalmente. Mas no tokamak, sob a influência de uma temperatura e pressão extremas, os átomos de hidrogênio podem se fundir e gerar energia. O balanço de massas mostra que a massa após a reação de fusão é menor que a massa antes da reação. A diferença de massa foi transformada em energia.

Antimatéria: Uma Realidade Oculta do Nosso Universo

A antimatéria também é uma consequência da equação E=mc². A matéria e a antimatéria, ao se encontrarem, se aniquilam e transformam 100% de sua massa em energia pura.

• Por exemplo, um elétron (negativo) e um pósitron (positivo) podem se fundir e se transformar em fótons gama de energia muito alta. Assim, a conversão de matéria em energia é total.

Sempre que uma partícula encontra uma antipartícula, ela se aniquila instantaneamente em energia pura, como na técnica de imagem funcional da medicina nuclear usada na PET (tomografia por emissão de pósitrons). Uma dose micro de um isótopo radioativo (flúor-18) incorporada a uma molécula "precursora" é injetada no paciente. O produto se difundirá nos órgãos, e de tempos em tempos, o ¹⁸F-fluoro-deoxi-D-glicose (¹⁸FDG) se desintegrará, emitindo pósitrons. Na presença de elétrons próximos, esses pósitrons se desintegrarão, emitindo radiação beta. Esses fótons atravessarão o corpo do paciente e serão detectados pela máquina. Assim, poderemos determinar para onde foi a glicose.

Os isótopos mais comumente usados na imagem PET têm uma meia-vida radioativa geralmente curta (tempo necessário para que metade da radioatividade decaia). Consequentemente, os radiofármacos são produzidos por um cíclotron algumas horas antes de seu uso. A tomografia por emissão de pósitrons é uma técnica que utiliza a antimatéria.

N.B.:
A radiação beta é uma forma de radioatividade na qual um núcleo emite um elétron e um antineutrino (radiação beta menos) ou um pósitron e um neutrino (radiação beta mais). Esse processo dá origem a outro núcleo que tem um nêutron a menos e um próton a mais que o núcleo inicial.

Espaço-Tempo: Uma Nova Perspectiva sobre o Universo

O espaço-tempo surgiu com a relatividade restrita, e sua representação geométrica foi retomada por Hermann Minkowski (1864-1909) em 1908.

O contínuo espaço-tempo tem quatro dimensões. Três dimensões para o espaço (x, y, z) e uma para o tempo (ct), que é transformada em uma distância associando-a à constante c (d=ct). No espaço-tempo, o tempo é geometrizado, o que permite que todos os eventos sejam posicionados no tempo e no espaço por suas coordenadas ct, x, y, z, todas as quais dependem do referencial, pois o tempo não se desenrola da mesma maneira dependendo do referencial.

A medição do tempo, transformada em uma medição de distância, pode ser associada às outras três coordenadas do espaço. Assim, todas as medições são em unidades de distância. O tempo tornou-se espaço!

Todos os eventos pontuais estão conectados à velocidade da luz. O conjunto de todos os eventos é chamado de "espaço-tempo". A fronteira definida pelo cone de luz é chamada de "horizonte cosmológico".

As linhas do universo que definem o cone podem ser descritas por uma partícula que se move à velocidade da luz, o que define a fronteira do cone. A representação das linhas do universo na parte inferior (cone invertido) deve-se ao fato de que um evento também pode ter um passado. Se o objeto está imóvel no espaço-tempo, ele não se move no espaço, mas se move no tempo (eixo vertical).

Se o objeto está em movimento, necessariamente a uma velocidade menor que c, o deslocamento ocorrerá dentro do cone de luz que tem a origem como seu vértice (o presente). A linha do universo de um personagem em movimento tem um ângulo no cone que depende de sua velocidade; ele se move no espaço e no tempo. As bordas do cone definem a velocidade limite, a das partículas de luz. A superfície do cone é reservada para a representação da propagação dos sinais de luz emitidos pelo objeto.

O interior do cone de luz superior (lado positivo) representa "o futuro". O vértice do cone de luz representa "aqui e agora". O interior do cone de luz inferior (lado negativo) representa "o passado". O exterior do cone não é acessível por um sinal de luz porque ele iria mais rápido que a velocidade da luz. O exterior representa "outro lugar".

Um corpo do mundo real tem uma linha do universo no espaço-tempo. O conjunto de sua história (todos os eventos de sua vida) traça essa linha. No universo euclidiano de quatro dimensões de Minkowski, as trajetórias dos objetos no espaço-tempo são sempre linhas retas.

O que deve ser lembrado

A compreensão da relatividade restrita está longe de ser imediata; é necessária muita imaginação para entender os conceitos ocultos por trás da equação E=mc². Muitos físicos contribuíram para o surgimento dessa fórmula na mente de Einstein.

• Galileu (1564-1642) pela relatividade galileana e o sistema de referência em movimento uniforme.
• Isaac Newton (1642-1727) por suas leis do movimento.
• Michael Faraday (1791-1867) por seu trabalho sobre eletricidade e magnetismo.
• James Clerk Maxwell (1831-1879) por unificar eletricidade e magnetismo e integrar a luz no fenômeno eletromagnético.
• George Fitzgerald (1851-1901) pela contração dos comprimentos.
• Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) pela contração dos comprimentos e a dilatação do tempo.
• Henri Poincaré (1854-1912) pela estrutura de grupo das transformações de Lorentz.
• Albert Abraham Michelson (1852-1931) e Edward Williams Morley (1838-1923) pelo experimento sobre a invariância da velocidade da luz no éter luminífero.

• Para Einstein, a luz consiste em fótons; não há necessidade de éter luminífero.
• Existe uma velocidade limite que os objetos não podem exceder. Essa velocidade liga a massa e a energia.
• c não é mais a velocidade de um objeto sem massa, mas torna-se uma constante universal da física que encontramos em todos os fenômenos.
• Na velocidade da luz, o tempo não flui mais. Não há velocidade zero; não há um referencial absoluto. A ideia de imobilidade não existe.
• A simples aplicação do fator de Lorentz explica a invariância da velocidade da luz e seu limite, a dilatação do tempo e a contração dos comprimentos.
• A energia e a matéria são da mesma natureza. Para que a energia se torne massa, é necessária muita energia; para que a massa se torne energia, é necessária muito pouca massa. A massa de um corpo representa o recipiente de energia.
• A matéria e a antimatéria, ao se encontrarem, se aniquilam e transformam 100% de sua massa em energia pura.
• O contínuo espaço-tempo tem quatro dimensões. Três dimensões para o espaço (x, y, z) e uma para o tempo (ct), que é transformada em uma distância associando-a à constante c (d=ct). No espaço-tempo, o tempo é geometrizado.
• Com esta misteriosa fórmula E=mc² que desafia o senso comum, Albert Einstein colocou todo o universo em uma equação, do infinitamente grande ao infinitamente pequeno. E=mc² une a cosmologia e a física quântica. Se esta equação fosse refutada, toda a nossa física desmoronaria.