Les fractales

Le flocon de neige de Von Koch

Si l'on remplace à l'infini, le tiers central de chaque côté d'un triangle par 2 segments de même longueur, on obtient une figure fractale. Quelque soit le zoom que l'on fait sur l'image on observe les mêmes détails. La particularité d'un fractal est que le périmètre tend vers l'infini, puisqu'on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives.
Pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites d'un cercle qui circonscrit le triangle initial.
La géométrie fractale nous a permis de comprendre que la nature obéit à une loi mathématique simple. On peut depuis la compréhension de ce concept, traduire ce qu'on voit dans la nature en langage mathématique.

Image : variante classique de fractale, la courbe de Von Koch publiée en 1904, appelée habituellement « flocon de neige de Von Koch ».

Les fractales

Objet fractal et fractale sont des termes venant de l'adjectif latin « fractus », qui signifie « irrégulier ou brisé ». Le mot a été créé en 1975 par Benoit Mandelbrot dans la première édition de son livre. Le concept lui-même débute dans les années 50 et il a un côté fascinant car il conduit à une certaine forme d'infini. En 1967, Mandelbrot publie dans la revue 'sciences' un article célèbre «How long is the coastline of Britain ?» (Combien mesure la côte de la Bretagne ?). Il décrit ainsi un nouvel objet de dimension fractionnaire. Si une ligne droite est un objet de dimension 1 et un plan de dimension 2, la côte bretonne possède une dimension de 1,xx ou xx décrit la rugosité. Il est en de même pour l'écorce des arbres. La paroi intestinale a une dimension supérieure à 2 et inférieure à 3, comme les bronches des poumons ou la ramification des vaisseaux sanguins. Comme le flocon de Von Koch, la longueur de la côte de la Bretagne est infinie. Dans la courbe de Von Koch les détails sont rigoureusement identiques quelle que soit l'échelle car si on regarde une partie de cette figure il est impossible de dire, si on la regarde à l'échelle 1, ou si l'on a fait un zoom de 10 de 100 ou infini. Dans la nature les détails d'un objet fractal sont similaires sans être strictement identiques. La notion d'infini rend les fractales fascinantes, au point que les créateurs d'images fractales ont largement exploité cette notion en utilisant la puissance des ordinateurs. Le résultat se révèle imprédictible car il est directement lié aux conditions initiales. La moindre imprécision, même minime, dans la mesure des paramètres initiaux, se trouve amplifiée dans de telles proportions, que l'état atteint par le système au bout d'un certain temps, peut être totalement chaotique.

Mandelbrot a ainsi créer un domaine nouveau destiné à décrire la structure des objets et des phénomènes naturels ou créés par l'homme.

Image : L'ensemble de Mandelbrot. Benoit Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 à Cambridge, dans le Massachusetts. Il a développé une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

La géométrie fractale de la nature

Image : La structure en toile d'araignée des amas de galaxies est une représentation d'un objet fractal.

Image : La structure de nos villes est une représentation d'un modèle fractal.

Image : Le chou Romanesco est une belle représentation naturelle d’un modèle fractal.