光の生成と変換に関する発見的観点について（アインシュタイン、1905年）

光量子論の基礎論文

1905年に発表されたこの歴史的な論文において、アルバート・アインシュタインは画期的なアイデアを提案しました：光は連続的な波としてのみ振る舞うのではなく、不連続なエネルギー粒子の集合としても振る舞うという考えです。この光量子（現在では光子と呼ばれています）の仮説は、古典的な波動理論では説明できなかった現象、例えば光電効果、黒体放射、または光ルミネセンスを説明することを可能にしました。この研究は量子論の基礎を築き、アインシュタインに1921年のノーベル物理学賞をもたらしました。

光の生成と変換に関する発見的観点について

アルバート・アインシュタイン（1905年） — Wikisourceによる翻訳（パブリックドメイン）。

真空と呼ばれる空間における電磁過程のマクスウェル理論は、気体やその他の物質の現在の理論モデルと、深く本質的に異なっています。一方で、物質的な物体の状態は、非常に多くの原子や電子の位置と速度によって完全に決定されると考えています。一方、空間領域の電磁状態は連続関数によって記述され、したがって有限の変数の数によって正確に決定することはできません。そのため、マクスウェル理論によれば、純粋に電磁的な現象（例えば光）のエネルギーは、空間の連続関数として表現されるべきです。一方、物質的な物体のエネルギーは原子や電子に関する離散的な和として表現されるべきです。したがって、物質的な物体のエネルギーは任意に小さい成分に任意に分割することはできません。

しかしながら、マクスウェル理論（または実際、どの波動理論でも）によれば、点光源から放出される光波のエネルギーは、ますます大きな体積にわたって連続的に分布されます。連続的な空間関数を持つ光の波動理論は、純粋に光学的な現象に対して優れたモデルであることが証明されており、おそらく他の理論に置き換えられることはないでしょう。それでも、光学的な実験が観測するのは時間的に平均化された値であり、瞬間的な値ではないという点を考慮しなければなりません。したがって、マクスウェル理論が経験と完全に一致するにもかかわらず、光を記述するために連続的な空間関数を使用することは、特に光の生成と変換に応用された場合、実験との矛盾を引き起こす可能性があります。

特に、黒体放射、光ルミネセンス、紫外線からの陰極線の生成、および光の生成と変換に関連する他の現象は、光のエネルギーが空間内で不連続に分布していると仮定した方が、よりよくモデル化されるようです。この像によれば、点光源から放出される光波のエネルギーは、ますます大きな体積にわたって連続的に広がるのではなく、空間内の点に局在化された有限個のエネルギー量子からなり、分割することなく移動し、全体としてのみ吸収または生成されます。以下では、私がこの光の像に至った推論とそれを支持する証拠を説明したいと思います。これにより、一部の研究者が自らの実験に役立てることができるかもしれません。

黒体放射理論に関する問題

マクスウェルの光と電子の理論を以下の状況に適用することから始めましょう：完全に反射する壁を持つ空洞で、そこにはいくつかの自由電子と気体分子が入っており、それらは接近すると保存力によって相互作用します。つまり、それらはお互いに衝突するのです。これは、気体分子が気体の運動論で行うのと同じです^[1]。さらに、我々は、距離とともに直線的に増加する復元力によって、空間的によく分離された点に結合されたいくつかの電子を考慮します。これらの電子もまた、自由分子や電子と非常に接近すると保存ポテンシャルによって相互作用します。我々は、空間の点に結合されたこれらの電子を「共振器」と称します。なぜなら、それらは特定の周期の電磁波を吸収し放出するからです。

現在の光の生成理論によれば、空洞内の放射は（マクスウェル理論と力学的平衡を仮定することによって得られる）黒体放射と同一でなければなりません。少なくとも、すべての考慮される周波数に対して共振器が存在すると仮定する場合には。まず、共振器によって吸収され放出される放射を無視し、熱平衡の要件と分子と電子の間の相互作用（衝突）に対するその意味合いに集中しましょう。

気体の運動論によれば、力学的平衡は、1つの共振器の平均運動エネルギーが1つの自由気体分子の平均運動エネルギーに等しいことを要求します。1つの共振器電子の運動を3つの互いに垂直な振動に分解することで、我々はそのような直線振動の平均エネルギー\(\bar{\varepsilon}\)が以下のようになることを発見します：

ここで、\(R\)は完全気体の定数、\(N\)はグラム当量中の「実際の分子」の数、\(T\)は絶対温度です。時間的に平均化された運動エネルギーと位置エネルギーの値により、エネルギー\(\bar{\varepsilon}\)は1つの自由気体分子の運動エネルギーの\(\frac{2}{3}\)倍です。何らかのもの（例えば放射過程）が共振器の時間的に平均化されたエネルギーを値\(\bar{\varepsilon}\)から逸脱させたとしても、自由電子や分子との衝突は、エネルギーを吸収または放出することによって、その平均エネルギーを\(\bar{\varepsilon}\)に戻すでしょう。したがって、この状況では、力学的平衡は各共振器が平均エネルギー\(\bar{\varepsilon}\)を持つ場合にのみ存在します。

さて、空洞内部の周囲放射と共振器の間の相互作用に類似の考慮を適用しましょう。このケースについて、プランク氏は放射を完全にランダムな過程として扱うことによって、力学的平衡に必要な条件を導き出しました^[2]^[3]。彼は以下を発見しました：

\[ \bar{\varepsilon} = \frac{L^3}{8\pi} \frac{1}{\nu^2} \frac{\rho_\nu}{d\nu} \]

ここで、\(\bar{\varepsilon}\)は固有周波数\(\nu\)の共振器の平均エネルギー（振動成分ごと）、\(L\)は光速、\(\nu\)は周波数、\(\rho_\nu d\nu\)は周波数\(\nu\)から\(\nu + d\nu\)の間の空洞放射のエネルギー密度です。周波数\(\nu\)の正味の放射エネルギーが継続的に増加または減少してはならない場合、以下の等式が満たされなければなりません：

この力学的平衡の条件は経験と一致するだけでなく、物質とエーテルの間の平衡の可能性を完全に排除します。共振器の周波数範囲が広いほど、空間内の放射エネルギーは大きくなり、極限では以下を得ます：

プランクによる基本量子の導出

次のセクションでは、プランク氏が与えた基本量子の決定が、彼が創り出した「黒体放射」理論からある程度独立していることを示したいと思います。これまでのすべての実験に十分なプランクの\(\rho_\nu\)の公式^[4]は以下のとおりです：

\(T/\nu\)の大きな値、つまり長い波長と高い放射密度の限界では、この公式は以下の形に近づきます：

この公式がマクスウェル理論と電子理論から導き出されたものと同じであることが認識されます。公式の係数を等しくすることで：

つまり、水素原子は1/\(N\)グラム = 1.62 × 10^-24 gの重さです。これはまさにプランク氏が見つけた値で、他の方法によって得られた値と良く一致しています。これは我々を以下の結論に導きます：放射のエネルギー密度と波長が大きいほど、我々が使用した理論的基礎は適切です。しかし、短い波長と低い放射密度では、この基礎は完全に失敗します。

以下では、「黒体放射」は観測されたものとして、放射の生成と伝播の像を作ることなく考慮されるべきです。

放射のエントロピー

以下の議論は、ウィーン氏の有名な著作から引用され、完全性のためにここに含まれています。体積\(v\)を占める放射を考慮しましょう。我々は、すべての周波数に対する放射密度\(\rho(\nu)\)が与えられた場合、放射の観測可能な性質が完全に決定されることを仮定します^[5]。異なる周波数の放射を、仕事をすることなくまたは熱を移動させることなく分離可能であるため、放射のエントロピーは以下の形で表すことができます：

ここで、\(\phi\)は変数\(\rho\)と\(\nu\)の関数です。\(\phi\)を1つの変数の関数に減らすことができます。これは、反射壁の間の放射のエントロピーが断熱圧縮によって変化しないという事実を表すことによってです。我々はこれらの詳細には立ち入らないで、むしろ\(\phi\)関数が黒体放射法則からどのように得られるかを調べましょう。

「黒体放射」のケースでは、\(\rho\)はエネルギーが与えられた場合にエントロピーが最大になるような\(\nu\)の関数です。つまり：

これにより、\(\rho\)の任意の選択について、以下が導かれます：

は\(\nu\)に依存しません。体積\(v = 1\)の黒体放射の温度上昇\(dT\)の場合、以下の等式が有効です：

そして、\(\frac{\partial \phi}{\partial \rho}\)が\(\nu\)に依存しないため：

\[ dS = \int \frac{\partial \phi}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial T} d\nu\, dT \]

\(dE\)が転送された熱に等しく、かつ過程が可逆的であるため、我々はまた以下を持ちます：

\[ \frac{dE}{T} = \int \frac{\partial \phi}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial T} d\nu\, dT \]

これは黒体放射法則です。したがって、\(\phi\)関数から黒体放射を決定することが可能です。逆に、積分によって、\(\rho = 0\)の場合に\(\phi\)がゼロになることを考慮して、\(\phi\)を黒体放射法則から得ることができます。

低放射密度における単色放射のエントロピーの体積依存性に関する限界法則

「黒体放射」の観測はこれまで、ウィーン氏が当初「黒体放射」に対して考案した法則が正確に有効ではないことを示しています。しかしながら、\(\nu/T\)の大きな値については、経験が法則を完全に確認しています。我々はこの公式に基づいて計算を行います。その結果が特定の限界内でのみ有効であることを考慮しています。

そして、前のセクションで得られた関係を使用することで：

\[ \phi(\rho, \nu) = -\frac{\rho}{b\nu} \ln \left( \frac{\rho}{a\nu^3} \right) \]

周波数\(\nu\)から\(\nu + d\nu\)の間のエネルギー\(E\)の放射を考慮しましょう。この放射が体積\(v\)にわたって広がっていると仮定しましょう。この放射のエントロピーは以下のとおりです：

我々は、放射のエントロピーの占有体積に対する依存性の研究に限定します。放射が体積\(v_0\)を占める場合のエントロピーを\(S_0\)とすると、我々は以下を得ます：

この方程式は、十分に低い密度の単色放射のエントロピーが、理想気体のエントロピーや希薄溶液のエントロピーと同じ法則に従って体積とともに変化することを示しています。以下では、我々がちょうど見つけた方程式を、ボルツマン氏によって導入された原理、すなわちシステムのエントロピーはその状態の確率の関数であるという原理の観点から解釈します。

気体と希薄溶液のエントロピーの体積依存性に関する分子理論的研究

分子理論からのエントロピーの計算において、「確率」という言葉はしばしば確率論の定義によってカバーされていない意味で使用されます。特に、「等しい確率の場合」はしばしば仮説によって固定されます。一方、適用される理論的表現は、仮説によってそれらを固定することなく確率を導き出すのに十分定義されています。私は別の論文で、熱過程の考慮において「統計的確率」と呼ばれるものと完全な結果が得られることを示します。このようにして、私はボルツマン原理の完全な実装を妨げている論理的な困難を解決したいと考えています。しかしながら、ここでは、その一般的な定式化と特定のケースへの応用のみが提示されます。

システムの状態の確率について意味のある話ができる場合、さらにすべてのエントロピーの増加がより確率の高い状態への遷移として記述できる場合、システムのエントロピー\(S_1\)はその瞬時の状態の確率\(W_1\)の関数です。2つのシステム\(S_1\)と\(S_2\)のケースでは、以下を述べることができます：

これらのシステムを1つのシステムとして、エントロピー\(S\)と確率\(W\)を考慮する場合、以下のようになります：

この最後の方程式は、2つのシステムの状態が独立していることを表しています。これらの方程式から、以下が導かれます：

量\(k\)もまた普遍的定数です。これは気体の運動論から導かれます。ここで、定数\(R\)と\(N\)は以前と同じ意味を持ちます。特定の初期状態におけるエントロピーを\(S_0\)と、エントロピー\(S\)の状態の相対的確率を\(W\)と指定する場合、一般的に以下が成り立ちます：

さて、以下の特定のケースを考慮しましょう。体積\(v_0\)内に\(n\)個の動く点（例えば分子）が存在し、これらの点が我々の考慮の対象となるものとします。これらに加えて、任意に多くの他の動く点が存在する可能性があります。点が空間内をどのように動くかを記述する法則について、唯一の仮定は空間のどの部分（およびどの方向）も他より優遇されていないということです。我々が考慮する点の数は非常に少ないため、相互作用は無視できます。考慮されるシステム（例えば理想気体や希薄溶液）は一定のエントロピーを持っています。

体積\(v_0\)の一部である体積\(v\)を取り、すべての\(n\)個の動く点がこの体積\(v\)に移動し、システムに他の変化がないと想像しましょう。この状態が異なるエントロピー\(S\)を持っていることは明らかです。我々はここで、ボルツマン原理の助けを借りてこのエントロピーの違いを決定したいと思います。我々は尋ねます：初期状態に対するこの状態の確率はどれほどですか？または、体積\(v_0\)内を独立して動く\(n\)個の動く点が、偶然に体積\(v\)内に見出される確率はどれほどですか？

この確率、すなわち「統計的確率」については、以下の値が得られます：

これをボルツマン原理に適用することで、以下が導かれます：

この導出から、ボイル・ゲイ・ルサックの法則と浸透圧の同一の法則が熱力学的に容易に導き出せる^[6]という点で、注目に値します。分子がどのように動くかについての仮定を設ける必要はありません。

ボルツマン原理を用いた単色放射のエントロピーの体積依存性の解釈

第4段落で、我々は単色放射のエントロピーの体積に対する依存性について以下の表現を見出しました：

これをボルツマン原理を表す一般的公式と比較することで、我々は以下の結論に至ります：周波数\(\nu\)とエネルギー\(E\)の単色放射が（反射壁によって）体積\(v_0\)内に封入されている場合、任意の時点で体積\(v_0\)の部分\(v\)内にある放射の全エネルギーの確率は以下のとおりです：

我々は以下を結論します：熱理論の観点から、低密度の単色放射（ウィーンの公式の有効範囲内）は、\(R\nu/N\)の大きさの独立したエネルギー量子で構成されているかのように振る舞います。

我々はまた、「黒体放射」のエネルギー量子の平均的大きさを、同じ温度での分子の質量中心の運動の平均運動エネルギーと比較したいと思います。後者は\(\frac{3}{2} \left(\frac{R}{N}\right) T\)で、エネルギー量子の平均エネルギーについては、ウィーンの公式が以下を与えます：

単色放射（十分に低い密度）が、エントロピーの体積依存性について不連続な媒体のように振る舞うという事実、すなわち\(R\nu/N\)の大きさのエネルギー量子で構成されるかのように、光がそのようなエネルギー量子で構成されている場合に、光の生成と変換の法則がどのようなものでなければならないかを調べるべきであることを示唆しています。以下では、我々はこの問題に取り組みます。

ストークスの法則

単色光が光ルミネセンスによって別の周波数の光に変換されると考慮しましょう。そして、以前に得られた結果に従って、励起光と生成光の両方が、\(\left(\frac{R}{N}\right) \nu\)の大きさのエネルギー量子で構成されていると仮定しましょう。ここで\(\nu\)は対応する周波数です。変換過程は以下のように解釈することができます：

周波数\(\nu_1\)の各励起エネルギー量子が吸収され、少なくとも励起エネルギー量子の密度が十分に低い場合には、それ自体で周波数\(\nu_2\)の光量子を生成します。場合によっては、周波数\(\nu_3, \nu_4\)などの他の光量子や、他のエネルギー形態（例えば熱）が同時に生成される可能性があります。最終結果を得るための中間過程は重要ではありません。

光ルミネセンス物質が連続的なエネルギー源ではない場合、エネルギー保存の原理から、生成される量子のエネルギーが励起量子のエネルギーよりも大きくないことが導かれます。したがって、以下の関係が満たされなければなりません：

ご存知のとおり、これはストークスの法則です。特に注目すべきは、弱い照明の下では、生成される光の量は他の条件が同一である場合、励起光の量に比例しなければならないという点です。なぜなら、各入射エネルギー量子が上記のタイプの基本過程を引き起こすからです。他の励起エネルギー量子の作用とは独立しています。特に、励起光の強度が光を励起できないほど低い下限は存在しません。

ここで提示された現象の理解によれば、ストークスの法則からの逸脱は以下のケースで考慮できます：

最後に挙げられた可能性は特別な注意に値します。発展させた理解によれば、「非ウィーン放射」であっても、非常に希薄であっても、ウィーン法則の有効範囲内の「黒体放射」とエネルギー的に異なって振る舞う可能性を排除することはできません。

固体の照射による陰極線の生成について

光のエネルギーが連続的に光が通過する空間に分布されているという通常の理解は、レーナルト氏の画期的な論文で提示されたように、光電効果を説明しようとする試みにおいて極めて大きな困難に直面します^[7]。励起光が\(\left(\frac{R}{N}\right)\nu\)のエネルギーのエネルギー量子で構成されているという理解に基づけば、光による陰極線の生成は以下のように考慮することができます：

エネルギー量子が固体の表面層に侵入し、そのエネルギーは少なくとも部分的に電子の運動エネルギーに変換されます。最も単純な像は、光量子がその全エネルギーを1つの電子に与えるというものです。我々はこれが起こると仮定します。しかしながら、電子が光量子のエネルギーの一部のみを受け取る可能性を排除するべきではありません。運動エネルギーを与えられた電子は、表面に到達するまでにエネルギーの一部を失っています。また、固体から出る際に、各電子が仕事\(P\)（この固体に特有の仕事）をしなければならないと仮定しなければなりません。

表面に直接存在し、表面に垂直に励起された電子は、最大の法線速度で固体から出ます。これらの電子の運動エネルギーは以下のとおりです：

物体が正のポテンシャル\(\Pi\)に帯電し、ゼロポテンシャルの導体に囲まれており、\(\Pi\)が物体からの電気の損失を防ぐのにちょうど十分である場合、我々は以下を持たなければなりません：

ここで、\(E\)は一価イオンのグラム当量の電荷、\(P'\)はこの量の負電気に対するこの物体のポテンシャルです^[8]。\(E = 9.6 \times 10^3\)とすると、\(\Pi \times 10^{-8}\)は真空中で照射された際に物体が達するボルト数のポテンシャルです。

さて、導き出された関係が経験とおよそオーダーで一致するかを見るために、\(P' = 0\)、\(\nu = 1.03 \times 10^{15}\)（太陽スペクトルの紫外線限界に対応）、および\(h = 4.866 \times 10^{-27}\)とします。我々は\(\Pi \times 10^7 = 4.3\)ボルトを得ます。これはレーナルト氏の結果とおよそオーダーで一致しています^[9]。

もし導き出された公式が正しければ、励起光の周波数を直角座標で表した\(\Pi\)は、直線でなければなりません。その傾きは研究された物質の性質に依存しません。私が判断できる限り、我々の理解とレーナルト氏によって観測された光電効果の性質との間に矛盾はありません。

もし励起光の各エネルギー量子が他のすべての量子から独立して電子にそのエネルギーを解放する場合、電子の速度分布、すなわち生成された陰極線の質は、励起光の強度に依存しません。一方、物体から出てくる電子の数は、他の条件が同一である場合、励起光の強度に比例します^[10]。我々は、これらの法則の有効性の限界がストークスの法則からの逸脱と同様の性質を持つと期待しています。

以上では、生成光のエネルギー量子の少なくともいくつかのエネルギーが1つの電子に完全に転送されると仮定されています。もしこの自然な仮定から出発しない場合、以前の方程式の代わりに以下を得ます：

陰極ルミネセンスについては、我々がちょうど検討した過程の逆過程であるため、類似の考慮によって以下を得ます：

レーナルト氏によって研究された材料については、\(P e\)は常に\(h\nu\)よりもかなり大きいです。なぜなら、可視光を生成するために陰極線が通過しなければならなかった電圧は、いくつかのケースでは数百ボルト、他のケースでは数千ボルトであったからです^[11]。

紫外線によるガスのイオン化

紫外線によるガスのイオン化において、吸収された光エネルギー量子は常に1つのガス分子のイオン化に使用されると仮定しなければなりません。まず、1つの分子のイオン化エネルギー（すなわち、理論的にイオン化するために必要なエネルギー）は、吸収された光エネルギー量子のエネルギーよりも大きくないことが導かれます。\(J\)をグラム当量あたりの理論的イオン化エネルギーとすると、我々は以下を持ちます：

レーナルトによる空気の測定によれば、効果のある最も長い波長は約1.9 × 10^-5 cmで、したがって：

イオン化エネルギーの上限はまた、希薄ガスにおけるイオン化電圧から得ることもできます。スタークによれば^[12]、測定された最小のイオン化電圧（プラチナ陽極の場合）は、空気について約10ボルトです^[13]。これにより、\(J\)の上限は9.6 × 10¹²で、これは我々がちょうど見つけた値とほぼ同じです。

もう1つの結論があり、私見によれば、これは非常に重要な検証が必要です。もし各光エネルギー量子が1つの分子をイオン化する場合、吸収された光の量\(L\)とこのようにイオン化されたグラム分子の数\(j\)の間に以下の関係が存在しなければなりません：

我々の理解が現実を反映している場合、この関係は、特定の周波数においてイオン化を伴わない吸収を持たないすべてのガスに対して有効でなければなりません。

著作権に関する注意： 上記の英語テキストは、1905年のアインシュタインの論文のWikisourceによる翻訳で、パブリックドメイン（原文と翻訳）として表示されています。

FAQ – 1905年のアインシュタインの論文について

なぜこの論文はそんなに重要なのですか？

この論文は、光が離散的な粒子（量子）として振る舞うという革命的なアイデアを導入しました。波動的振る舞いに加えてです。これは、光電効果のようなパラドックスを解決し、量子力学の基礎を築きました。

光量子とは何ですか？

光量子は、電磁エネルギーの離散的なパケットです。今日では、我々はこれらを光子と呼びます。古典的な波は任意のエネルギーを持つことができますが、光子はその周波数によって決定される固定のエネルギーを持っています：E = hν。

アインシュタインは光電効果をどのように説明したのですか？

アインシュタインは、各光子が金属内の1つの電子にその全エネルギーを転送すると提案しました。このエネルギーが仕事関数（電子を金属から解放するために必要なエネルギー）よりも大きい場合、電子はhν - Pに等しい運動エネルギーで放出されます。ここでPは仕事関数です。

なぜ古典的な波動理論は光電効果を説明できなかったのですか？

波動理論は、放出された電子のエネルギーが光の強度に依存すると予測しました。光の周波数には依存しません。しかしながら、レーナルトの実験は、電子のエネルギーが光の強度には依存せず、光の周波数にのみ依存することを示しました。

この論文とプランク定数との関係は何ですか？

アインシュタインは、1900年にマックス・プランクが黒体放射を説明するために導入したプランク定数hを使用しました。アインシュタインは、この定数がエネルギーの本質と深く関連したより深い物理的意義を持っていることを最初に認識した人物でした。

なぜこの論文は受け入れられるのに時間がかかったのですか？

光が粒子的性質を持つというアイデアは非常に急進的であったため、科学コミュニティーによる受け入れに時間がかかりました。 1923年のコンプトンの実験（コンプトン散乱）によって、光の粒子的性質が最終的に確認されました。

相対性との関連は何ですか？

1905年はしばしばアインシュタインのannus mirabilis（奇跡の年）と呼ばれています。なぜなら、彼はその年に4つの革命的な論文を発表したからです。この光量子に関する論文と特殊相対性理論に関する論文を含んでいます。これらの研究は異なって見えるかもしれませんが、説明できない現象を説明するための新しい理論的枠組みを提案するという共通のアプローチを共有しています。