最終更新日: 2023 年 11 月 20 日

太陽の重さの測り方は？

惑星を眺めるだけで！

実際、太陽と惑星の間の重力のおかげで、太陽の質量を推定することができます。

太陽の重さを量るには、ニュートンの万有引力の法則を使用する必要があります。この法則は、2 つの物体間の重力はそれらの質量の積に比例し、それらの間の距離の 2 乗に反比例すると述べています。

太陽と惑星の間の重力は次の方程式で与えられます。
F = G * M * m / r^2

G = 万有引力定数、6.674 × 10^-11 N m^2 kg^-2 に等しい
M = 太陽の質量、キログラム単位
m = 惑星の質量、キログラム単位
r = 太陽と惑星間の距離 (メートル単位)

また、力は質量と加速度の積に等しいというニュートンの第 2 法則の方程式を書くこともできます。 F = m * a
惑星が太陽の周りを公転する場合、惑星に作用する力は重力だけです。したがって、重力の式をニュートンの第 2 法則の方程式に代入することができます。
m * a = G * M * m / r^2
この方程式を解くと、惑星 m の質量は重要ではないことがわかり、次の結果が得られます。
m*a*r^2 = G*M*m
M = a * r^2 / G
この方程式により、太陽の周りの地球の加速度および太陽と地球間の距離を測定することにより、太陽の質量 M を計算できます。

地球が太陽の周りを回る速度は約 30,000 m/s です。以下の方程式を使用すると、地球の向心加速度を計算できます。
a_c = v^2 / r
太陽と地球の間の距離は、視差のおかげで非常に正確にわかります。地球と太陽の間の距離 r は約 1 億 5,000 万キロメートル、または 15 x 10^10 メートルです。
a_c = v^2 / r = 30,000^2 / 15 x 10^10 = 0.006 m/s^2
この値 0.006 m/s^2 は非常に小さいですが、地球を太陽の周りの安定した軌道に保つには十分です。これは、地球の速度が毎秒 0.006 メートルずつ増加することを意味します。向心加速度は、地球に楕円軌道をたどらせるものです。この加速は体感できないほど微弱です。向心加速度がゼロであれば、地球は直進します。

1795 年、ドイツの天文学者フリードリヒヴィルヘルムベッセル (1784-1846) は、この方法を使用して太陽の質量を 1.99 × 10^30 キログラムと推定しました。正確な値は 1.9885 ×10^30 キログラムです。

万有引力の法則の確認

太陽の重さを測るもう 1 つの方法は、エネルギー保存の法則を使用することです。この法則は、孤立系の総エネルギーは一定であると述べています。

太陽・地球系の場合、総エネルギーは地球の運動エネルギー E_k と地球と太陽の間の重力位置エネルギー E_p の和になります。したがって、地球-太陽系のエネルギー保存方程式は次のようになります。 E_k + E_p = 定数

地球の運動エネルギーは地球の運動のエネルギーです。それは地球の質量と速度の二乗に比例します。地球の運動エネルギーは次の方程式で与えられます。 E_k = 1/2 * m * v^2

地球と太陽の間の重力位置エネルギーは、2 つの物体間の重力によるエネルギーです。それは地球の質量、太陽の質量、および 2 つの天体間の距離の 2 乗の逆数に比例します。位置エネルギーは次の方程式で与えられます。 E_p = -G*M*m/r

E_k と E_p の式をそれぞれの式に置き換えると、次の方程式が得られます。 1/2 * m * v^2 - G * M * m / r = 定数
m は地球の質量、v は地球の速度、M は太陽の質量、G は重力定数です。

地球の速度が一定であると仮定すると、地球の運動エネルギーも一定になります。エネルギー保存方程式は次のようになります: -G * M * m / r = const

方程式の両辺に r を掛けると、次のようになります: -G * M * m = const * r

方程式の両辺を -G * m で割ると、次のようになります: M = - const * r / G * m

したがって、定数「const」は地球-太陽系の総エネルギーを表します。地球の運動エネルギーは一定であるため、定数は E_k で表すことができます: const = E_k + E_p
E_p の式を使用すると、次の結果が得られます: const = E_k - G * M * m / r
地球の速度が一定であると仮定すると、const = E_k + G * M * m / r が得られます。
地球の速度が一定であれば、量 E_k + G*M*m/r も一定でなければなりません。したがって、次のように書くことができます: E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
この方程式を const について解くと、次の結果が得られます: const = 2 * E_k

最後に、定数をその値で置き換えることにより、次の結果が得られます: M = 2 * E_k * r / G

1832 年、英国の天文学者ジョンハーシェル (1792-1871) はこの方法を使用して太陽の質量を 1.99 × 10^30 キログラムと推定しました。正確な値は 1.9885 ×10^30 キログラムです。

どちらの方法でも同じ結果が得られ、万有引力の法則の正当性が確認されます。