太陽の重さを測るには？

科学的概要

Astronooの記事は、惑星の軌道運動の観測から太陽の質量を決定する方法を紹介している。ニュートンの万有引力の法則と運動の第2法則を適用することで、軌道上の惑星の質量が計算に関与しないことを示している。地球の軌道速度と太陽からの距離を測定するだけで、太陽質量を導き出すことができ、約1.9885 × 10^30キログラムと推定される。記事はエネルギー保存則によってこの結果を確認している。

太陽の重さを測るには？

このAstronooの記事は、天文学者が私たちの恒星に秤を載せることなく、どのようにして太陽の質量を決定するのかを説明している。その答えは惑星の運動の観察にある。ニュートンの万有引力の法則のおかげで、惑星を太陽へと引っ張る力を太陽の質量と結びつけることが可能である。地球の軌道速度と太陽からの距離を測定することで、0.006 m/s²程度の非常に小さな向心加速度が得られるが、それでも私たちの惑星を安定した軌道に保つのに十分である。惑星の質量は方程式の中で打ち消し合うため、計算は普遍的である。エネルギー保存則は、同じ結果（約1.9885 × 10^30キログラム）に至る第2の独立した方法を提供する。この一致は万有引力の法則の妥当性を確認し、宇宙を探るニュートン物理学の力を示している。

こちらもおすすめ

宇宙の探検をさらに深めるためのテーマをご紹介します：

惑星を観察するだけで太陽の重さを測る！

太陽と惑星の間の重力のおかげで、太陽の質量を導き出すことができる。

万有引力の法則

太陽の重さを測るには、ニュートンの万有引力の法則を使わなければならない。この法則は、2つの物体間の重力は、それらの質量の積に比例し、それらの間の距離の2乗に反比例すると述べている。

太陽と惑星の間の重力は、次の式で与えられる：

\[ F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

\(G\) = 万有引力定数、\(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)に等しい
\(M\) = 太陽の質量（キログラム）
\(m\) = 惑星の質量（キログラム）
\(r\) = 太陽と惑星の間の距離（メートル）

太陽の質量の計算

ニュートンの第2法則の方程式を書くこともできる。これは、力は質量に加速度を掛けたものに等しいと述べている。

\[ F = m\,a \]

太陽の周りの惑星の軌道運動の場合、重力は惑星に作用する唯一の力である。したがって、重力の式をニュートンの第2法則の方程式に代入することができる。

\[ m\,a = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

この方程式を解くと、惑星の質量\(m\)は重要でないことがわかり、次を得る：

\[ m\,a\,r^{2} = G\,M\,m \] \[ M = \frac{a\,r^{2}}{G} \]

この方程式により、太陽の周りの地球の向心加速度と太陽と地球の間の距離を測定することで、太陽の質量\(M\)を計算することができる。

太陽の周りの地球の速度は約\(30\,000\ \mathrm{m/s}\)である。以下の式で、地球の向心加速度を計算することができる。

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} \]

太陽と地球の間の距離は、視差のおかげで非常に高い精度で知られている。地球と太陽の間の距離\(r\)は約1億5000万キロメートル、つまり\(15 \times 10^{10}\)メートルである。

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{30\,000^{2}}{15 \times 10^{10}} = 0.006\ \mathrm{m/s^{2}} \]

この\(0.006\ \mathrm{m/s^{2}}\)という値は非常に小さいが、地球を太陽の周りの安定した軌道に保つのに十分である。これは、地球の速度が毎秒\(0.006\)メートル毎秒ずつ増加することを意味する。向心加速度は、地球に楕円軌道をたどらせるものである。この加速度は非常に弱いので、私たちは感じることができない。もし向心加速度がゼロであれば、地球は直線的に進み続けるだろう。

1795年、ドイツの天文学者フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル（1784-1846）はこの方法を用いて太陽の質量を\(1.99 \times 10^{30}\)キログラムと推定した。正確な値は\(1.9885 \times 10^{30}\)キログラムである。

万有引力の法則の確認

エネルギー保存則

太陽の重さを測るもう一つの方法は、エネルギー保存則を使うことである。この法則は、孤立系の全エネルギーは一定であると述べている。

太陽-地球系の場合、全エネルギーは地球の運動エネルギー\(E_k\)と地球と太陽の間の重力ポテンシャルエネルギー\(E_p\)の和である。地球-太陽系のエネルギー保存の方程式は次のとおりである：

\[ E_k + E_p = \text{const} \]

地球の運動エネルギーはその運動のエネルギーである。それは地球の質量とその速度の2乗に比例する。地球の運動エネルギーは次の式で与えられる：

\[ E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^{2} \]

地球と太陽の間の重力ポテンシャルエネルギーは、2つの物体間の重力によるエネルギーである。それは地球の質量、太陽の質量、および2つの物体間の距離の逆数に比例する。ポテンシャルエネルギーは次の式で与えられる：

\[ E_p = -G \, \frac{M \, m}{r} \]

\(E_k\)と\(E_p\)の式をそれぞれの公式で置き換えると、次の式が得られる：

\[ \frac{1}{2} \, m \, v^{2} - G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

\(m\)は地球の質量、\(v\)は地球の速度、\(M\)は太陽の質量、\(G\)は重力定数である。

地球の速度が一定であると仮定すると、地球の運動エネルギーもまた一定である。エネルギー保存の方程式は次のようになる：

\[ -G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

方程式の両辺に\(r\)を掛けると、次を得る：

\[ -G \, M \, m = \text{const} \cdot r \]

方程式の両辺を\(-G \, m\)で割ると、次を得る：

\[ M = -\frac{\text{const} \cdot r}{G \, m} \]

したがって、定数\(\text{const}\)は地球-太陽系の全エネルギーを表す。地球の運動エネルギーは一定であるので、定数を\(E_k\)で表すことができる：

\[ \text{const} = E_k + E_p \]

\(E_p\)の式を用いると、次を得る：

\[ \text{const} = E_k - G \, \frac{M \, m}{r} \]

地球の速度が一定であると仮定すると、次を得る：

\[ \text{const} = E_k + G \, \frac{M \, m}{r} \]

地球の速度が一定であれば、量\(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\)もまた一定でなければならない。したがって、次のように書くことができる：

\[ E_k + G \, \frac{M \, m}{r} = 2 \, E_k \]

この方程式を\(\text{const}\)について解くと、次を得る：

\[ \text{const} = 2 \, E_k \]

最後に、定数をその値で置き換えると、次を得る：

\[ M = \frac{2 \, E_k \, r}{G} \]

一致する結果

1832年、イギリスの天文学者ジョン・ハーシェル（1792-1871）はこの方法を用いて太陽の質量を\(1.99 \times 10^{30}\)キログラムと推定した。正確な値は\(1.9885 \times 10^{30}\)キログラムである。

2つの方法は同一の結果を与え、万有引力の法則の妥当性を確認している。

太陽の重さを測る方法の比較表

以下の表は、太陽の質量を決定するためにこの記事で紹介した2つのアプローチを比較したものである。

太陽の重さを測る方法の比較
特徴	重力法	エネルギー法
原理	ニュートンの万有引力の法則	エネルギー保存則
測定する量	軌道速度と地球-太陽間距離	系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギー
結果	1.99 × 10^30 kg	1.99 × 10^30 kg

参考文献

FAQ：太陽の質量についてのすべて

太陽の質量はどのように測定されるのか？

太陽の質量は、その周りを回る惑星の動きを観察することによって間接的に測定される。ニュートンの万有引力の法則を適用することで、重力を太陽の質量と結びつけることができる。地球のような惑星の軌道速度と距離を知ることで、太陽質量を導き出すことができる。

なぜ惑星の質量は計算に関与しないのか？

重力の方程式では、惑星の質量は力の式とニュートンの第2法則の両方に現れる。両者を等置すると、惑星の質量は打ち消し合う。したがって、太陽の質量の計算は、軌道速度、距離、重力定数のみに依存する。

太陽の質量の正確な値は？

太陽の質量は約1.9885 × 10^30キログラムである。この値は、惑星の軌道パラメータの測定と宇宙観測により、非常に高い精度で知られている。

地球の向心加速度とは何か？

向心加速度は、円軌道の中心に向かう加速度である。太陽の周りの地球の場合、約0.006 m/s²である。この非常に小さな値が、私たちの惑星を安定した軌道に保つのに十分である。

エネルギー保存則はどのようにして太陽の重さを測ることを可能にするのか？

地球-太陽系の全エネルギーを運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの和として表し、このエネルギーが一定であると仮定することで、太陽の質量を分離することができる。得られる結果は重力法と同一である。

これらの方法を最初に使ったのは誰か？

1795年にフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル、1832年にジョン・ハーシェルがこれらの方法を用いて太陽の質量を推定した。彼らの結果は1.99 × 10^30キログラムに近く、万有引力の法則の妥当性を確認した。

太陽の重さを測るには？

科学的概要