Tatsächlich können wir dank der Gravitationskraft zwischen Sonne und Planet auf die Masse der Sonne schließen.
Um die Sonne zu wiegen, müssen Sie das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation anwenden. Dieses Gesetz besagt, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.
Die Gravitationskraft zwischen der Sonne und dem Planeten ergibt sich dann aus der folgenden Gleichung:
F = G * M * m / r^2
G = universelle Gravitationskonstante, gleich 6,674 × 10^-11 N m^2 kg^-2
M = Masse der Sonne in Kilogramm
m = Masse des Planeten in Kilogramm
r = Abstand zwischen Sonne und Planet in Metern
Wir können auch die Gleichung für das zweite Newtonsche Gesetz schreiben, das besagt, dass die Kraft gleich der Masse mal der Beschleunigung ist. F = m * a
Bei der Umlaufbewegung eines Planeten um die Sonne ist die Gravitationskraft die einzige auf den Planeten wirkende Kraft. Daher können wir den Ausdruck für die Gravitationskraft in die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes einsetzen.
m * a = G * M * m / r^2
Durch die Lösung dieser Gleichung erkennen wir, dass die Masse des Planeten m keine Bedeutung hat, also erhalten wir:
m*a*r^2 = G*M*m
M = a * r^2 / G
Mit dieser Gleichung können wir die Masse der Sonne M berechnen, indem wir die Beschleunigung der Erde um die Sonne und den Abstand zwischen Sonne und Erde messen.
Die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne beträgt etwa 30.000 m/s. Mit der folgenden Gleichung können wir die Zentripetalbeschleunigung der Erde berechnen.
a_c = v^2 / r
Der Abstand zwischen Sonne und Erde ist dank der Parallaxe mit großer Präzision bekannt. Der Abstand r zwischen der Erde und der Sonne beträgt etwa 150 Millionen Kilometer oder 15 x 10^10 Meter.
a_c = v^2 / r = 30.000^2 / 15 x 10^10 = 0,006 m/s^2
Dieser Wert von 0,006 m/s^2 ist sehr gering, aber ausreichend, um die Erde in einer stabilen Umlaufbahn um die Sonne zu halten. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Erde jede Sekunde um 0,006 Meter pro Sekunde zunimmt. Die Zentripetalbeschleunigung ist es, die die Erde dazu zwingt, einer elliptischen Bahn zu folgen. Diese Beschleunigung ist so schwach, dass wir sie nicht spüren können. Wenn die Zentripetalbeschleunigung Null wäre, würde sich die Erde in einer geraden Linie fortbewegen.
Im Jahr 1795 schätzte der deutsche Astronom Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) mit dieser Methode die Masse der Sonne auf 1,99 × 10^30 Kilogramm. Der genaue Wert beträgt 1,9885 ×10^30 Kilogramm.
Eine andere Methode, die Sonne zu wiegen, ist die Anwendung des Energieerhaltungssatzes. Dieses Gesetz besagt, dass die Gesamtenergie eines isolierten Systems konstant ist.
Im Fall des Sonne-Erde-Systems ist die Gesamtenergie die Summe der kinetischen Energie E_k der Erde und der potentiellen Gravitationsenergie E_p zwischen Erde und Sonne. Die Energieerhaltungsgleichung für das Erde-Sonne-System lautet daher wie folgt: E_k + E_p = const
Die kinetische Energie der Erde ist die Energie ihrer Bewegung. Sie ist proportional zur Masse der Erde und zum Quadrat ihrer Geschwindigkeit. Die kinetische Energie der Erde ergibt sich aus der folgenden Gleichung: E_k = 1/2 * m * v^2
Die potentielle Gravitationsenergie zwischen der Erde und der Sonne ist die Energie aufgrund der Schwerkraft zwischen den beiden Körpern. Sie ist proportional zur Masse der Erde, zur Masse der Sonne und zum Kehrwert des Quadrats des Abstands zwischen den beiden Körpern. Die potentielle Energie ergibt sich aus der folgenden Gleichung: E_p = -G*M*m/r
Indem wir die Ausdrücke von E_k und E_p durch ihre jeweiligen Formeln ersetzen, erhalten wir die folgende Gleichung: 1/2 * m * v^2 - G * M * m / r = const
m ist die Masse der Erde, v ist die Geschwindigkeit der Erde, M ist die Masse der Sonne und G ist die Gravitationskonstante.
Wenn wir davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, dann ist auch die kinetische Energie der Erde konstant. Die Energieerhaltungsgleichung lautet dann: -G * M * m / r = const
Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit r ergibt: -G * M * m = const * r
Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch -G * m dividieren, erhalten wir: M = - const * r / G * m
Somit repräsentiert die Konstante „const“ die Gesamtenergie des Erde-Sonne-Systems. Da die kinetische Energie der Erde konstant ist, können wir die Konstante durch E_k ausdrücken: const = E_k + E_p
Mit dem Ausdruck für E_p erhalten wir: const = E_k – G * M * m / r
Unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, erhalten wir: const = E_k + G * M * m / r
Wenn die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, muss auch die Größe E_k + G*M*m/r konstant sein. Wir können daher schreiben: E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
Wenn wir diese Gleichung nach const auflösen, erhalten wir: const = 2 * E_k
Indem wir schließlich die Konstante durch ihren Wert ersetzen, erhalten wir: M = 2 * E_k * r / G
Im Jahr 1832 schätzte der britische Astronom John Herschel (1792-1871) mit dieser Methode die Masse der Sonne auf 1,99 × 10^30 Kilogramm. Der genaue Wert beträgt 1,9885 ×10^30 Kilogramm.
Beide Methoden liefern identische Ergebnisse, was die Gültigkeit des Gesetzes der universellen Gravitation bestätigt.
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