Wie misst man die Sonne?

Wie wiegt man die Sonne? — Um die Sonne zu wiegen, können wir das Newtonsche Gravitationsgesetz verwenden.
Bildquelle: NASA (neues Fenster)

Wissenschaftliche Zusammenfassung

Der Artikel von Astronoo stellt die Methode vor, mit der die Masse der Sonne aus der Beobachtung der Bahnbewegung der Planeten bestimmt werden kann. Durch Anwendung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und des zweiten Bewegungsgesetzes zeigt er, dass die Masse des umlaufenden Planeten bei der Berechnung keine Rolle spielt. Die Messung der Bahngeschwindigkeit der Erde und ihres Abstands zur Sonne genügt, um die Sonnenmasse abzuleiten, die auf etwa 1,9885 × 10^30 Kilogramm geschätzt wird. Der Artikel bestätigt dieses Ergebnis durch den Energieerhaltungssatz.

Wie wiegt man die Sonne?

Dieser Artikel von Astronoo erklärt, wie Astronomen die Masse der Sonne bestimmen können, ohne jemals eine Waage auf unseren Stern zu stellen. Die Antwort liegt in der Beobachtung der Bewegung der Planeten: Dank des Newtonschen Gravitationsgesetzes ist es möglich, die Kraft, die einen Planeten zur Sonne zieht, mit der Masse der Sonne zu verknüpfen. Durch Messung der Bahngeschwindigkeit der Erde und ihres Abstands zur Sonne erhält man eine sehr kleine Zentripetalbeschleunigung in der Größenordnung von 0,006 m/s², die jedoch ausreicht, um unseren Planeten auf einer stabilen Umlaufbahn zu halten. Die Masse des Planeten hebt sich in den Gleichungen auf, was die Berechnung universell macht. Der Energieerhaltungssatz liefert eine zweite, unabhängige Methode, die zum selben Ergebnis führt: etwa 1,9885 × 10^30 Kilogramm. Diese Übereinstimmung bestätigt die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes und veranschaulicht die Kraft der Newtonschen Physik bei der Erforschung des Universums.

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Dank der Gravitationskraft zwischen der Sonne und dem Planeten können wir die Masse der Sonne ableiten.

Das Gravitationsgesetz

Um die Sonne zu wiegen, muss man das Newtonsche Gravitationsgesetz verwenden. Dieses Gesetz besagt, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.

Die Gravitationskraft zwischen der Sonne und dem Planeten ist dann durch die folgende Gleichung gegeben:

\[ F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

\(G\) = universelle Gravitationskonstante, gleich \(6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)
\(M\) = Masse der Sonne, in Kilogramm
\(m\) = Masse des Planeten, in Kilogramm
\(r\) = Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten, in Metern

Die Berechnung der Masse der Sonne

Wir können auch die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes schreiben, das besagt, dass die Kraft gleich der Masse multipliziert mit der Beschleunigung ist.

\[ F = m\,a \]

Im Fall der Bahnbewegung eines Planeten um die Sonne ist die Gravitationskraft die einzige Kraft, die auf den Planeten wirkt. Folglich können wir den Ausdruck der Gravitationskraft in die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes einsetzen.

\[ m\,a = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

Bei der Auflösung dieser Gleichung stellt man fest, dass die Masse des Planeten \(m\) keine Bedeutung hat, und wir erhalten:

\[ m\,a\,r^{2} = G\,M\,m \] \[ M = \frac{a\,r^{2}}{G} \]

Diese Gleichung ermöglicht es uns, die Masse der Sonne \(M\) zu berechnen, indem wir die Zentripetalbeschleunigung der Erde um die Sonne und den Abstand zwischen der Sonne und der Erde messen.

Die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne beträgt etwa \(30\,000\ \mathrm{m/s}\). Mit der folgenden Gleichung können wir die Zentripetalbeschleunigung der Erde berechnen.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} \]

Der Abstand zwischen der Sonne und der Erde ist dank der Parallaxe mit großer Genauigkeit bekannt. Der Abstand \(r\) zwischen der Erde und der Sonne beträgt etwa 150 Millionen Kilometer, also \(15 \times 10^{10}\) Meter.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{30\,000^{2}}{15 \times 10^{10}} = 0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}} \]

Dieser Wert von \(0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}}\) ist sehr klein, aber ausreichend, um die Erde auf einer stabilen Umlaufbahn um die Sonne zu halten. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Erde jede Sekunde um \(0{,}006\) Meter pro Sekunde zunimmt. Die Zentripetalbeschleunigung ist das, was die Erde zwingt, einer elliptischen Bahn zu folgen. Diese Beschleunigung ist so schwach, dass wir sie nicht spüren können. Wäre die Zentripetalbeschleunigung null, würde die Erde geradlinig weiterfliegen.

Im Jahr 1795 verwendete der deutsche Astronom Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) diese Methode, um die Masse der Sonne auf \(1{,}99 \times 10^{30}\) Kilogramm zu schätzen. Der genaue Wert ist \(1{,}9885 \times 10^{30}\) Kilogramm.

Bestätigung des Gravitationsgesetzes

Die Energieerhaltung

Eine weitere Methode, die Sonne zu wiegen, ist die Verwendung des Energieerhaltungssatzes. Dieser Satz besagt, dass die Gesamtenergie eines isolierten Systems konstant ist.

Im Fall des Systems Sonne-Erde ist die Gesamtenergie die Summe der kinetischen Energie \(E_k\) der Erde und der gravitativen potentiellen Energie \(E_p\) zwischen der Erde und der Sonne. Die Gleichung der Energieerhaltung für das System Erde-Sonne lautet daher:

\[ E_k + E_p = \text{const} \]

Die kinetische Energie der Erde ist die Energie ihrer Bewegung. Sie ist proportional zur Masse der Erde und zum Quadrat ihrer Geschwindigkeit. Die kinetische Energie der Erde ist durch die folgende Gleichung gegeben:

\[ E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^{2} \]

Die gravitative potentielle Energie zwischen der Erde und der Sonne ist die Energie, die auf die Schwerkraft zwischen den beiden Körpern zurückzuführen ist. Sie ist proportional zur Masse der Erde, zur Masse der Sonne und zum Kehrwert des Abstands zwischen den beiden Körpern. Die potentielle Energie ist durch die folgende Gleichung gegeben:

\[ E_p = -G \, \frac{M \, m}{r} \]

Indem wir die Ausdrücke für \(E_k\) und \(E_p\) durch ihre jeweiligen Formeln ersetzen, erhalten wir die folgende Gleichung:

\[ \frac{1}{2} \, m \, v^{2} - G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

\(m\) ist die Masse der Erde, \(v\) ist die Geschwindigkeit der Erde, \(M\) ist die Masse der Sonne und \(G\) ist die Gravitationskonstante.

Wenn wir annehmen, dass die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, dann ist auch die kinetische Energie der Erde konstant. Die Gleichung der Energieerhaltung wird dann:

\[ -G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

Durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit \(r\) erhalten wir:

\[ -G \, M \, m = \text{const} \cdot r \]

Durch Division beider Seiten der Gleichung durch \(-G \, m\) erhalten wir:

\[ M = -\frac{\text{const} \cdot r}{G \, m} \]

Somit stellt die Konstante \(\text{const}\) die Gesamtenergie des Systems Erde-Sonne dar. Da die kinetische Energie der Erde konstant ist, können wir die Konstante in Abhängigkeit von \(E_k\) ausdrücken:

\[ \text{const} = E_k + E_p \]

Unter Verwendung des Ausdrucks für \(E_p\) erhalten wir:

\[ \text{const} = E_k - G \, \frac{M \, m}{r} \]

Wenn wir annehmen, dass die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, erhalten wir:

\[ \text{const} = E_k + G \, \frac{M \, m}{r} \]

Wenn die Geschwindigkeit der Erde konstant ist, dann muss auch die Größe \(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\) konstant sein. Wir können daher schreiben:

\[ E_k + G \, \frac{M \, m}{r} = 2 \, E_k \]

Wenn wir diese Gleichung nach \(\text{const}\) auflösen, erhalten wir:

\[ \text{const} = 2 \, E_k \]

Um zum Schluss die Konstante durch ihren Wert zu ersetzen, erhalten wir:

\[ M = \frac{2 \, E_k \, r}{G} \]

Die übereinstimmenden Ergebnisse

Im Jahr 1832 verwendete der britische Astronom John Herschel (1792–1871) diese Methode, um die Masse der Sonne auf \(1{,}99 \times 10^{30}\) Kilogramm zu schätzen. Der genaue Wert ist \(1{,}9885 \times 10^{30}\) Kilogramm.

Die beiden Methoden liefern identische Ergebnisse, was die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes bestätigt.

Vergleichstabelle der Methoden zur Wiebung der Sonne

Die folgende Tabelle vergleicht die beiden in diesem Artikel vorgestellten Ansätze zur Bestimmung der Masse der Sonne.

Vergleich der Methoden zur Wiebung der Sonne
Merkmal	Gravitative Methode	Energetische Methode
Prinzip	Newtonsches Gravitationsgesetz	Energieerhaltungssatz
Gemessene Größen	Bahngeschwindigkeit und Erde-Sonne-Abstand	Kinetische und potentielle Energie des Systems
Ergebnis	1,99 × 10^30 kg	1,99 × 10^30 kg

Referenzen

FAQ: Alles Wissenswerte über die Masse der Sonne

Wie misst man die Masse der Sonne?

Die Masse der Sonne wird indirekt gemessen, indem man die Bewegung der Planeten beobachtet, die um sie kreisen. Durch Anwendung des Newtonschen Gravitationsgesetzes kann man die Gravitationskraft mit der Masse der Sonne verknüpfen. Kennt man die Bahngeschwindigkeit und den Abstand eines Planeten wie der Erde, so leitet man daraus die Sonnenmasse ab.

Warum spielt die Masse des Planeten bei der Berechnung keine Rolle?

In der Gleichung der Gravitationskraft erscheint die Masse des Planeten sowohl im Ausdruck der Kraft als auch im zweiten Newtonschen Gesetz. Durch Gleichsetzen der beiden hebt sich die Masse des Planeten auf. Die Berechnung der Masse der Sonne hängt daher nur von der Bahngeschwindigkeit, dem Abstand und der Gravitationskonstante ab.

Wie lautet der genaue Wert der Masse der Sonne?

Die Masse der Sonne beträgt etwa 1,9885 × 10^30 Kilogramm. Dieser Wert ist dank der Messungen der Bahnparameter der Planeten und der Weltraumbeobachtungen mit großer Genauigkeit bekannt.

Was ist die Zentripetalbeschleunigung der Erde?

Die Zentripetalbeschleunigung ist die zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtete Beschleunigung. Für die Erde um die Sonne beträgt sie etwa 0,006 m/s². Dieser sehr kleine Wert reicht aus, um unseren Planeten auf einer stabilen Umlaufbahn zu halten.

Wie ermöglicht der Energieerhaltungssatz, die Sonne zu wiegen?

Indem man die Gesamtenergie des Systems Erde-Sonne als Summe der kinetischen Energie und der gravitativen potentiellen Energie ausdrückt und annimmt, dass diese Energie konstant ist, kann man die Masse der Sonne isolieren. Das erhaltene Ergebnis ist identisch mit dem der gravitativen Methode.

Wer hat diese Methoden zuerst verwendet?

Friedrich Wilhelm Bessel im Jahr 1795 und John Herschel im Jahr 1832 verwendeten diese Methoden, um die Masse der Sonne zu schätzen. Ihre Ergebnisse, nahe bei 1,99 × 10^30 Kilogramm, bestätigten die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes.