Letzte Aktualisierung: 6. November 2024

Noethers Theorem

Bildbeschreibung: Porträt vonAmalie Emmy Noether(1882-1935), deutscher Mathematiker. Der Satz von Noether besagt, dass die Gesetze der Physik symmetrisch sind und diese Symmetrie zu Erhaltungssätzen führt. Bildquelle: Public Domain.

Definition des Noether-Theorems

Aussage zum Noether-Theorem: „Jede unendlich kleine Transformation, die das Wirkungsintegral invariant lässt, entspricht einer Menge, die erhalten bleibt.“

DERNoethers Theorem, 1915 demonstriert und 1918 veröffentlicht, ist ein grundlegendes Konzept in der theoretischen Physik, das eine tiefe Verbindung zwischen herstelltNaturschutzgesetzeund dieSymmetrienphysikalische Systeme.
Mit anderen Worten: „Wenn ein physikalisches Gesetz auch nach einer kleinen Transformation (z. B. einer Bewegung im Raum oder einer Änderung in der Zeit) gleich bleibt, dann existiert eine Größe, die sich im Laufe der Zeit nicht ändert, also eine Größe, die erhalten bleibt (Energie, Bewegung, Ladung usw.).“

Beispiel des Pendels: Die gesamte mechanische Energie E des einfachen Pendels kann als Summe seiner kinetischen Energie (K) und seiner potentiellen Energie (U) ausgedrückt werden.E=K+U.

L'kinetische EnergieK des Pendels ist gegeben durch: K=½mv²Dabei ist m die Masse des Pendels und v seine Geschwindigkeit.

L'potentielle EnergieU aufgrund der Schwerkraft ist gegeben durch: U=mgh wobei m die Masse des Pendels, g die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft und h die Höhe des Pendels relativ zu seiner Gleichgewichtsposition ist.

L'gesamte mechanische EnergieE des Pendels bleibt konstant, was bedeutet, dass sich die kinetische Energie zwar je nach Geschwindigkeit des Pendels ändern kann, aber durch entsprechende Änderungen der potentiellen Energie ausgeglichen wird, um E konstant zu halten.

Dies spiegelt die Erhaltung der gesamten mechanischen Energie des Systems in Übereinstimmung mit dem Noether-Theorem wider.

Hinweis: :
DortMenge gehaltenist eine physikalische Größe, die über die Zeit konstant bleibt. Beispielsweise sind Energie, Impuls (Impuls) oder Drehimpuls Erhaltungsgrößen.

Konzept der Symmetrie in der Physik

Symmetrien sind nicht nur ästhetisch; Sie bilden die Grundlage, auf der viele Grundprinzipien der Physik beruhen. Dank des Noether-Theorems wissen wir, dass jede Symmetrie mit einem Erhaltungssatz verbunden ist, zum Beispiel der Energieerhaltung, der Ladungserhaltung, dem Impuls und dem Drehimpuls.

Symmetrie beschreibt Invarianzen oder Invarianten in den Naturgesetzen. In der Physik gibt es verschiedene Arten von Symmetrien, und jede Art hat spezifische Auswirkungen.

Übersetzungssymmetrie

Dorttranslatorische Symmetriebedeutet, dass physikalische Gesetze unverändert bleiben, wenn ein System ohne Rotation durch den Raum bewegt wird. Das bedeutet, dass die Ergebnisse von Experimenten nicht von der absoluten Position von Objekten im Raum abhängen. Die Ergebnisse werden in Paris, in New York, auf der Erde, auf dem Mars oder anderswo im Kosmos die gleichen sein. Wenn sich die Gesetze der Physik nicht ändern, wenn wir ein System um mehrere Kilometer oder mehrere Lichtjahre bewegen, führt dies zur Erhaltung des Impulsvektors des Systems. Somit impliziert die Translationssymmetrie dieImpulserhaltung.

Rotationssymmetrie

DortRotationssymmetriebesagt, dass physikalische Gesetze bei Rotation um eine feste Achse invariant sind. Mit anderen Worten: Wenn wir ein System um einen Punkt drehen, bleiben die Gesetze, die sein Verhalten bestimmen, identisch. Wenn beispielsweise ein Planet die Sonne umkreist, bleibt sein Drehimpuls konstant, wenn keine äußere Kraft einwirkt, die seine Flugbahn ändert. Somit ergibt sich RotationssymmetrieErhaltung des Drehimpulses.

Zeitliche Symmetrie

Dortzeitliche Symmetrieimpliziert, dass die Gesetze der Physik bei einer zeitlichen Verschiebung unverändert bleiben. Das bedeutet, dass die Gesetze in der Vergangenheit dieselben waren, heute dieselben sind und auch in Millionen von Jahren dieselben sein werden. Ohne Reibung und andere dissipative Kräfte bleibt beispielsweise die mechanische Energie des Pendels (Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie) während der gesamten Bewegung konstant. Kinetische Energie (wenn das Pendel am tiefsten Punkt ist) und potentielle Energie (wenn es am höchsten Punkt ist) wandeln sich ineinander um, aber die Summe bleibt gleich. Somit ist die zeitliche Symmetrie des Pendels mit der verknüpftEnergieeinsparung. In einem geschlossenen System bleibt die Gesamtenergie über die Zeit konstant.

Paritätssymmetrie

DortParitätssymmetriebetrifft die Invarianz physikalischer Gesetze bei einer räumlichen Inversion, also wenn alle Koordinaten eines Punktes bezüglich eines Mittelpunkts invertiert sind: (��,��,��)→(−��,−��,−��). Wenn beispielsweise ein Elektron auf ein Ziel aus Protonen gerichtet wird, interagiert es über elektromagnetische Wechselwirkung mit den Protonen. Betrachtet man die Koordinaten des Elektrons und des Protons, besteht die Paritätstransformation darin, die Positionen der Teilchen umzukehren. Wenn wir für ein Elektron, das sich in eine bestimmte Richtung bewegt, das Vorzeichen seiner Raumkoordinaten ändern, ändern sich die Gesetze, die die elastische Diffusion regeln, bei dieser Transformation nicht. Somit ergibt sich ParitätssymmetrieGesamtenergieeinsparungund dietotaler Schwung.

Ladungssymmetrie

DortLadungssymmetriebesagt, dass die Gesetze der Physik gleich bleiben, wenn alle Ladungen umgekehrt werden. Wenn wir beispielsweise Elektronen durch Positronen oder Protonen durch Antiprotonen ersetzen, bleiben die Ergebnisse der Wechselwirkungen unverändert und der Vernichtungsprozess bleibt derselbe. Somit bestätigt die Elektron-Positron-Vernichtung dasLadungserhaltung.

Gauge-Symmetrie

DEREichsymmetriensind Transformationen der mit Teilchen verbundenen Felder, die physikalische Gesetze nicht ändern. Theorien über Elektromagnetismus, schwache und starke Wechselwirkungen sind allesamt Eichtheorien. Wenn wir beispielsweise die mit einem Feld verbundenen Potentiale ändern, behält die Eichsymmetrie die Bewegungsgleichungen bei und verändert nicht die physikalischen Observablen (wie elektrische und magnetische Felder). Somit stehen die Eichsymmetrien in direktem Zusammenhang mit derErhaltung der elektrischen Ladung(in der Quantenelektrodynamik), oderErhaltung der Farbladung(in der Quantenchromodynamik).

Zusammenfassend

Vor Noether war bekannt, dass bestimmte Größen (wie Energie oder Impuls) in physikalischen Systemen erhalten bleiben, aber sein Theorem zeigte, dass diese Erhaltung direkt aus den zugrunde liegenden Symmetrien der physikalischen Gesetze folgt.

Erhaltungsgesetze sind die Grundpfeiler, auf denen ein Großteil der modernen Physik basiert. Wenn die Erhaltungssätze falsch wären, würden unser Verständnis des Universums, unsere Fähigkeit, sein Verhalten vorherzusagen, und sogar unsere Technologie zusammenbrechen, weil sie auf diesen Grundprinzipien basieren.