Dynamik der Bewegungsmenge

Dynamik des Impulses — Beschreibung des Bildes: Während ihres Fluges verliert eine Rakete an Masse, da sie ihren Treibstoff verbraucht. Allerdings ändert sich sein Impuls unter der Schubwirkung, was die Relevanz der verallgemeinerten Form des Grundprinzips der Dynamik unterstreicht.

Was ist Momentum?

DortQuantität der Bewegungeines Objekts ist definiert durch: $$ \vec{p} = m \vec{v} $$

$ \vec{p} $ ist der Impuls, ausgedrückt in kg·m/s,
$ m $ ist die Masse des Objekts in kg,
$ \vec{v} $ ist die Geschwindigkeit des Objekts in m/s.

Bewegung in der klassischen Mechanik

Inklassische MechanikDas zweite Newtonsche Gesetz stellt die Nettokraft dar, die auf ein Objekt ausgeübt wird: $$ \vec{F} = m \vec{a} $$ Dieses Gesetz beschreibt, wie Kraft auf ein Objekt einwirkt, um seine Bewegung durch Erzeugung einer Beschleunigung zu ändern. Es gilt in Trägheitsbezugssystemen (nicht beschleunigt) und für Geschwindigkeiten, die viel niedriger als die des Lichts sind.

Allerdings geht diese Formulierung davon aus, dass die Masse $m$ des Objekts konstant ist. Für einenallgemeinere Beschreibung der DynamikInsbesondere in Systemen, in denen die Masse variiert (wie bei einer Rakete), ist es notwendig, einen grundlegenderen Ansatz zu verwenden, der auf dem Impuls $ \vec{p} $ basiert.

Satz der Bewegungsmenge

„In einem galiläischen Bezugssystem ist die zeitliche Ableitung des Impulses eines Systems gleich der Summe der auf dieses System wirkenden äußeren Kräfte.“

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} $$

$ \vec{p} $ ist der Impuls des Systems.
dt bezeichnet einen unendlich kleinen Zeitanteil, also eine sehr kleine Zeitvariation.
sum(F) repräsentiert äußere Kräfte.

Allgemeine Formulierung des Prinzips der Dynamik

DortDynamik des Impulsesist ein grundlegendes Konzept der Physik, das beschreibt, wie Kräfte auf ein System einwirken, um seine Bewegung zu ändern.

Die Gleichung (∑F = ma + (dm/dt) * v) ist eine Form des zweiten Newtonschen Gesetzes, angewendet auf ein System mit variabler Masse, beispielsweise eine Rakete, die Treibstoff ausstößt.

$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

∑F: Die Summe der auf das System wirkenden äußeren Kräfte (durch den Ausstoß von Gasen erzeugter Schub + Schwerkraft + Luftwiderstand).
ma: Das Produkt aus der Masse des Systems und seiner Beschleunigung.
(dm/dt) * v: Der Term, der die Variation des Impulses darstellt (p=mv) aufgrund der Variation der Masse des Systems.

Diese Gleichung berücksichtigt eine Variation der Masse. Es ist besonders nützlich, um die Bewegung einer Rakete zu beschreiben, da ihre Masse kontinuierlich abnimmt, wenn sie ihren Treibstoff verbrennt und Gase ausstößt. Wenn der Kraftstoff ausgestoßen wird, trägt er einen gewissen Impuls mit sich. Damit die Rakete abheben kann, muss sie in entgegengesetzter Richtung zum Treibstoffausstoß an Dynamik gewinnen. Es ist diese Impulsübertragung, die es der Rakete ermöglicht, zu beschleunigen und abzuheben.

Mit anderen Worten: Schub erzeugt eine kontinuierliche Geschwindigkeitszunahme, die wiederum zu einer Impulszunahme, d. h. (dm/dt) * v, trotz der Abnahme der Masse führt. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt daher zu einer Impulszunahme, da �� proportional zu �� ist. Und eine abnehmende Masse führt zu einem abnehmenden Impuls (dm/dt) * v, da �� proportional zu m ist.

Der Schlüssel zum Verständnis, warum der Impuls zunimmt, liegt darin, dass die Geschwindigkeit der Rakete schneller zunimmt als die Masse abnimmt.

Detail der Dynamikberechnung

Indem wir diesen Ausdruck in Bezug auf die Zeit ableiten, erhalten wir: $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) $$ Durch Anwendung der Produktregel: $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$ Da die Beschleunigung durch $ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $ definiert ist, lautet diese Gleichung: $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

∑F: Summe der auf das System ausgeübten äußeren Kräfte, ausgedrückt in Newton (N),
ma: Masse des Objekts (in kg) durch die Beschleunigung des Massenschwerpunkts (in m/s²),
dm/dt: Variation der Masse des Systems pro Zeiteinheit (in kg/s),
v: ist die momentane Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts (in m/s).

Beispiele aus der Praxis

Die Dynamikgleichung zeigt, dass bei Variation der Masse ein zusätzlicher Term $ \frac{dm}{dt} \vec{v} $ berücksichtigt werden muss. Dieser Begriff ist entscheidend für die Erklärung:

Der Schub einer Rakete im Flug, bei dem die Masse des Fahrzeugs durch den Ausstoß des Treibgases abnimmt.
Der Turbojet ist ein dynamisches System mit variabler Masse: Die Masse der einströmenden Flüssigkeit unterscheidet sich von der ausströmenden Masse nach Verbrennung und Beschleunigung. Dieser Unterschied ist wichtig, um den für den Antrieb des Flugzeugs erforderlichen Schub zu erzeugen.
Der Antrieb von Quallen, die Wasser ausstoßen, um sich in einer Flüssigkeit zu bewegen, indem sie ihre momentane Masse verändern. Die Qualle verliert an Masse, weil sie das in ihrer Glocke enthaltene Wasser ausstößt
Die Masse eines Heißluftballons ändert sich aufgrund der Temperaturschwankungen der darin enthaltenen Luft. Dieses Phänomen führt zu einem Luftaustausch mit der Außenwelt, der die Gesamtmasse verändert und die Flugdynamik beeinflusst.
Der Auswurf von Material aus einem explodierenden Stern (Supernova), bei dem die Massenschwankung die Flugbahn und Geschwindigkeit der äußeren Schichten verändert.
Von einem Gletscher abbrechende Eisberge, bei denen der Massenverlust die Stabilität und Bewegung des Ganzen beeinflusst.
…

Die Impulsdynamik ist eine allgemeinere Neuformulierung des Newtonschen Gesetzes, die für das Verständnis von Systemen mit variierender Masse von wesentlicher Bedeutung ist. Es spielt eine Schlüsselrolle in der Raumfahrtmechanik, Aerodynamik und Strömungsmechanik.