fr en es pt

Dinâmica do Momento

Descrição da imagem: Durante seu voo, um foguete perde massa ao consumir seu combustível. No entanto, seu momento evolui sob o efeito do empuxo, destacando a relevância da forma generalizada do princípio fundamental da dinâmica.

O que é o Momento?

O momento de um objeto é definido por:

$$\vec{p} = m \vec{v}$$

• $\vec{p}$ é o momento, expresso em kg·m/s,
• $m$ é a massa do objeto em kg,
• $\vec{v}$ é a velocidade do objeto em m/s.

O Movimento na Mecânica Clássica

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton representa a força líquida aplicada a um objeto:

$$\vec{F} = m \vec{a}$$ Esta lei descreve como a força atua sobre um objeto para alterar seu movimento produzindo uma aceleração. É válida em referenciais inerciais (não acelerados) e para velocidades muito inferiores à velocidade da luz.

No entanto, essa formulação assume que a massa $m$ do objeto é constante. Para uma descrição mais geral da dinâmica, especialmente em sistemas onde a massa varia (como um foguete), é necessário usar uma abordagem mais fundamental baseada no momento $\vec{p}$.

Teorema do Momento

"Em um referencial galileano, a derivada temporal do momento de um sistema é igual à soma das forças externas aplicadas a esse sistema."

$$\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}$$

• $\vec{p}$ é o momento do sistema.
• dt denota um elemento infinitesimal de tempo, ou seja, uma variação muito pequena do tempo.
• sum(F) representa as forças externas.

Formulação Geral do Princípio da Dinâmica

A dinâmica do momento é um conceito fundamental na física que descreve como as forças atuam sobre um sistema para alterar seu movimento.

A equação (∑F = ma + (dm/dt) * v) é uma forma da segunda lei de Newton aplicada a um sistema de massa variável, como um foguete que ejeta combustível.

$$\sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v}$$

• ∑F: A soma das forças externas que atuam sobre o sistema (empuxo gerado pela ejeção dos gases + gravidade + resistência do ar).
• ma: O produto da massa do sistema por sua aceleração.
• (dm/dt) * v: O termo que representa a variação do momento (p=mv) devido à variação da massa do sistema.

Esta equação leva em conta uma variação da massa. É particularmente útil para descrever o movimento de um foguete, pois sua massa diminui continuamente ao queimar combustível e expelir gases. Quando o combustível é ejetado, ele leva consigo uma certa quantidade de momento. Para que o foguete decole, ele deve ganhar momento na direção oposta à ejeção do combustível. Esta transferência de momento permite que o foguete acelere e decole.

Em outras palavras, o empuxo gera um aumento contínuo da velocidade, que por sua vez leva a um aumento do momento, ou seja, (dm/dt) * v, apesar da diminuição da massa. O aumento da velocidade leva, portanto, a um aumento do momento, pois 𝑝 é proporcional a 𝑣. E a diminuição da massa leva a uma diminuição do momento (dm/dt) * v, pois 𝑝 é proporcional a m.

A chave para entender por que o momento aumenta reside no fato de que a velocidade do foguete aumenta mais rapidamente do que sua massa diminui.

Detalhe do Cálculo da Dinâmica

Ao derivar essa expressão em relação ao tempo, obtemos:

$$\frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v})$$ Aplicando a regra do produto: $$\frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v}$$ Como a aceleração é definida por $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$, esta equação se torna: $$\sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v}$$

• ∑F: soma das forças externas que atuam sobre o sistema, expressa em newtons (N),
• ma: massa do objeto (em kg) pela aceleração do centro de massa (em m/s²),
• dm/dt: variação da massa do sistema por unidade de tempo (em kg/s),
• v: velocidade instantânea do centro de massa (em m/s).

Exemplos do Mundo Real

A equação da dinâmica mostra que, quando a massa varia, deve-se considerar um termo adicional $\frac{dm}{dt} \vec{v}$. Este termo é crucial para explicar:

• O empuxo de um foguete em voo, onde a massa da nave diminui devido à ejeção do gás propulsor.
• Um turbojato é um sistema dinâmico de massa variável: a massa do fluido entrante difere da massa saída após a combustão e a aceleração. Esta diferença é essencial para gerar o empuxo necessário para a propulsão da aeronave.
• A propulsão das águas-vivas que expulsam água para se mover em um fluido, alterando sua massa instantânea. A água-viva perde massa porque expulsa a água que sua campânula continha.
• A massa de um balão de ar quente muda devido à variação da temperatura do ar que contém. Este fenômeno causa trocas de ar com o exterior, alterando a massa total e afetando a dinâmica do voo.
• A ejeção de matéria por uma estrela em explosão (supernova), onde a variação de massa modifica a trajetória e a velocidade das camadas externas.
• Icebergs se desprendendo de uma geleira, onde a perda de massa influencia a estabilidade e o deslocamento do conjunto.
• ...

A dinâmica do momento é uma reformulação mais geral da lei de Newton, essencial para compreender sistemas onde a massa varia. Ela desempenha um papel fundamental na mecânica espacial, aerodinâmica e mecânica dos fluidos.

Artigos sobre o mesmo tema

---

---