Equação da velocidade orbital de um planeta

Definição da velocidade orbital

A velocidade orbital de um planeta é a velocidade com que ele se move ao longo de sua órbita ao redor de sua estrela. Ela resulta do equilíbrio entre a força gravitacional e a força centrífuga. A condição de equilíbrio dinâmico para uma órbita circular exige que a força centrípeta \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) compense a força gravitacional \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \), onde \( G \) é a constante gravitacional, \( M \) é a massa da estrela e \( r \) é o raio orbital.

Dedução da equação

Ao igualar \( F_c \) e \( F_g \), obtemos:

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

A massa \( m \) do planeta é eliminada, mostrando que a velocidade orbital não depende da massa do planeta:

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

Essa relação fundamental expressa a dependência da velocidade orbital em função da distância até a estrela. Um planeta próximo do Sol (como Mercúrio) tem uma velocidade orbital elevada, enquanto um planeta mais distante (como Netuno) move-se mais lentamente.

Interpretação física

Essa equação ilustra as leis empíricas de Johannes Kepler (1571–1630) e a teoria gravitacional de Isaac Newton (1643–1727). A velocidade orbital diminui com a raiz quadrada da distância, seguindo a lei \( v \propto r^{-1/2} \). Ela determina o período de revolução \( T \) pela terceira lei de Kepler: \( T^2 \propto r^3 \).

Assim, para cada planeta do Sistema Solar, a velocidade orbital média pode ser calculada a partir da massa solar \( M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) e do raio orbital médio expresso em metros.

Fonte: Jet Propulsion Laboratory – Solar System Dynamics.

Aplicações e limitações

A equação \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) supõe uma órbita perfeitamente circular e desconsidera as perturbações gravitacionais entre os planetas. Na realidade, as órbitas são elípticas: a velocidade varia conforme a posição, sendo maior no periélio e menor no afélio. Essa variação segue a lei das áreas de Kepler: o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

Ordem de grandeza e significado energético

A energia orbital total (cinética + potencial) de um planeta em órbita circular é:

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

O valor negativo indica que o planeta está gravitacionalmente ligado à sua estrela: é necessário fornecer uma energia \( \geq |E| \) para libertá-lo, ou seja, atingir a velocidade de escape \( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \), igual a \(\sqrt{2}\) vezes a velocidade orbital.