L’équation de la vitesse orbitale d’une planète

Définition de la vitesse orbitale

La vitesse orbitale d’une planète est la vitesse à laquelle elle se déplace le long de son orbite autour de son étoile. Elle résulte de l’équilibre entre la force de gravité et la force centrifuge. La condition d’équilibre dynamique pour une orbite circulaire impose que la force centripète \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) compense la force gravitationnelle \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \), où \( G \) est la constante gravitationnelle, \( M \) la masse de l’étoile et \( r \) le rayon orbital.

Dérivation de l’équation

En égalant \( F_c \) et \( F_g \), on obtient :

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

La masse \( m \) de la planète s’élimine, ce qui montre que la vitesse orbitale ne dépend pas de la masse de la planète :

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

Cette relation fondamentale exprime la dépendance de la vitesse orbitale en fonction de la distance à l’étoile. Une planète proche du Soleil (comme Mercure) a une vitesse orbitale élevée, tandis qu’une planète plus éloignée (comme Neptune) se déplace plus lentement.

Interprétation physique

Cette équation illustre les lois empiriques de Johannes Kepler (1571-1630) et la théorie gravitationnelle de Isaac Newton (1643-1727). La vitesse orbitale diminue avec la racine carrée de la distance, suivant la loi \( v \propto r^{-1/2} \). Elle conditionne la période de révolution \( T \) par la troisième loi de Kepler : \( T^2 \propto r^3 \).

Ainsi, pour chaque planète du système solaire, la vitesse orbitale moyenne peut être calculée à partir de la masse solaire \( M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) et du rayon orbital moyen exprimé en mètres.

Source : Jet Propulsion Laboratory – Solar System Dynamics.

Applications et limites

L’équation \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) suppose une orbite parfaitement circulaire et néglige les perturbations gravitationnelles entre planètes. En réalité, les orbites sont elliptiques : la vitesse varie selon la position, plus grande au périhélie et plus faible à l’aphélie. Cette variation suit la loi des aires de Kepler : le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux.

Ordres de grandeur et signification énergétique

L’énergie orbitale totale (cinétique + potentielle) d’une planète en orbite circulaire vaut :

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

La valeur négative indique que la planète est liée gravitationnellement à son étoile : il faut fournir une énergie \( \geq |E| \) pour la libérer, c’est-à-dire atteindre la vitesse de libération \( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \), soit \(\sqrt{2}\) fois la vitesse orbitale.