L'équation de la relativité générale (1915)

Formulation mathématique de l'équation d'Einstein

Une équation tensorielle

L'équation de la relativité générale s'exprime mathématiquement à l'aide de tenseurs et de calcul tensoriel. Un tenseur peut être vu comme une généralisation d'un vecteur à plusieurs dimensions \( \rlap{\nwarrow}\nearrow \). De manière simplifiée, l'équation de base est connue sous le nom d'équation d'Einstein et peut être écrite comme suit : \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)

Les termes de cette équation se décomposent ainsi :

• \(R_{\mu\nu}\) : tenseur de Ricci (souvent appelé tenseur de courbure), qui décrit la courbure de l'espace-temps en fonction de la distribution de matière et d'énergie.
• \(R\) : scalaire de courbure, obtenu par contraction du tenseur de Ricci avec le tenseur métrique ; il représente la courbure globale de l'espace-temps en un point.
• \(g_{\mu\nu}\) : tenseur métrique, qui définit la métrique de l'espace-temps et décrit comment les distances et les intervalles temporels sont déformés par la courbure.
• \(\Lambda\) : constante cosmologique, terme introduit par Einstein en 1917 pour rendre l'Univers statique, puis réintroduit pour rendre compte de l'accélération de l'expansion cosmique.
• \(G\) : constante gravitationnelle, environ \(6{,}67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\).
• \(c\) : vitesse de la lumière dans le vide, approximativement \(299\,792\,458\ \mathrm{m/s}\).
• \(T_{\mu\nu}\) : tenseur énergie-impulsion, qui représente la distribution de matière et d'énergie dans l'espace-temps.
• \(\mu\), \(\nu\) : indices d'espace-temps parcourant les quatre dimensions (une temporelle et trois spatiales) ; ils indiquent la composante considérée de chaque tenseur.

N.B. :
L'expression allemande « allgemeine Relativitätstheorie », dont l'appellation « relativité générale » est calquée, signifie en réalité « théorie générale de la relativité » : c'est la théorie qui est générale (elle inclut la gravitation et les référentiels accélérés), non la relativité elle-même.

La signification physique de l'équation

Géométrie et matière

Cette équation relie la géométrie de l'espace-temps (côté gauche) à la distribution de la matière et de l'énergie dans l'Univers (côté droit). Elle décrit comment la matière et l'énergie déterminent la courbure de l'espace-temps, et comment cette courbure influence le mouvement des objets et la propagation de la lumière. Autrement dit, la masse courbe l'espace-temps, et la courbure de l'espace-temps guide le mouvement de la masse.

La courbure de l'espace-temps

La courbure de l'espace-temps n'est pas une simple déformation géométrique : elle modifie la trajectoire des objets et la propagation de la lumière. Les objets massifs suivent des géodésiques, c'est-à-dire les chemins les plus courts dans un espace courbe. C'est pourquoi la Terre orbite autour du Soleil : elle suit une géodésique dans l'espace-temps courbé par la masse solaire.

Prédictions et vérifications de la relativité générale

Les prédictions remarquables

L'équation de la relativité générale a conduit à des prédictions extraordinaires, notamment l'existence des trous noirs, les ondes gravitationnelles et les déviations de la lumière autour des objets massifs. Elle a également profondément modifié notre compréhension de la gravité et de la structure de l'Univers à grande échelle. La relativité générale est l'une des théories les plus confirmées et vérifiées de la physique moderne.

Tableau des principales vérifications expérimentales de la relativité générale

Plusieurs observations ont confirmé les prédictions de la relativité générale. La précession de l'orbite de Mercure, la déviation de la lumière par le Soleil lors de l'éclipse de 1919, les ondes gravitationnelles, constituent autant de preuves de la validité de la théorie.