Dernière mise à jour : 06 novembre 2022

La magie du théorème de Noether : Du principe de moindre action aux lois de conservation

Description de l'image : Amalie Emmy Noether (1882-1935), la mathématicienne allemande et sa fameuse équation E=K+U, l’un des théorèmes les plus profonds de la physique. Le théorème de Noether, démontré en 1915 et publié en 1918, stipule que les lois de la physique sont symétriques, et cette symétrie conduit à des lois de conservation.
Source image : astronoo.com

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action stipule que la nature emprunte toujours le chemin qui minimise une certaine quantité appelée action. Initialement observé par Pierre de Fermat (1607-1665) pour la lumière au 17e siècle, ce principe sera formalisé au 18e siècle par Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), posant les bases du théorème de Noether.

Le principe de moindre action détermine le mouvement d'un système à partir de la différence entre énergie cinétique et potentielle (K-U), permettant de prédire la dynamique de tout système physique, du pendule aux galaxies.

Enoncé du Théorème de Noether

"À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve."

Qu'est-ce qui se cache derrière cet énoncé ?

Si une loi physique reste la même, lorsqu'on applique une petite transformation à un système (le déplacer, le faire tourner, ou avancer dans le temps), alors il existe une quantité physique particulière (énergie, mouvement, charge, etc.) qui restera constante et ne variera jamais.

Ainsi, Noether établit qu'à chaque symétrie correspond une loi de conservation.

Qu'est-ce qu'une symétrie ?

Les symétries décrivent les invariances dans les lois de la nature. Elles ne sont pas seulement esthétiques ; elles constituent le socle sur lequel reposent de nombreux principes fondamentaux en physique.

En physique, une symétrie est une propriété d'un système dont les lois de comportement restent inchangées lorsqu'on lui applique certaines transformations comme une translation, une rotation ou un changement de temps.

Les symétries correspondant à une loi de conservation

L'invariance par translation spatiale : conservation de la quantité de mouvement.
L'invariance par rotation : conservation du moment angulaire.
L'invariance temporelle : conservation de l'énergie.
Les symétries de jauge électromagnétique : conservation de la charge électrique.
Les symétries de jauge de couleur : conservation de la charge de couleur (chromodynamique quantique).
L'invariance de jauge faible : conservation du nombre leptonique et baryonique.
La symétrie CPT (charge, parité, temps) : invariance fondamentale des théories quantiques des champs.
L'invariance par transformation de phase globale : conservation du nombre de particules.
Les symétries d'isospin : conservation de l'isospin dans les interactions fortes.
L'invariance de Lorentz : conservation du quadrivecteur énergie-impulsion.

Ces symétries témoignent d'une propriété fondamentale de l'Univers : ses lois physiques sont universelles et immuables, indépendamment de la position spatiale, du moment temporel, de l'orientation choisie ou des transformations de jauge appliquées aux champs quantiques.

Concrètement, cela signifie que les mêmes principes régissaient la matière il y a des milliards d'années et continueront de s'appliquer dans un avenir lointain. Une expérience menée à l'équateur produira des résultats identiques à celle réalisée au pôle Nord. De même, l'orientation d'un système dans l'espace n'influence pas sa dynamique, ce qui explique pourquoi les orbites planétaires demeurent stables depuis la formation du système solaire.

Application du théorème de Noether à un pendule

Observons un pendule simple oscillant paisiblement. Son énergie mécanique totale E se décompose en deux formes distinctes mais intimement liées : l'énergie cinétique K associée au mouvement et l'énergie potentielle U liée à la position, réunies dans l'équation E = K + U.

Lorsque le pendule est en mouvement, son énergie cinétique s'exprime par K = ½mv². Plus il se déplace rapidement (v élevé), plus cette énergie est importante. Elle atteint son apogée au point le plus bas de l'arc, là où la vitesse est maximale.

À l'inverse, l'énergie potentielle gravitationnelle U = mgh dépend de l'altitude h du pendule. Aux extrémités de son oscillation, lorsqu'il s'élève au-dessus de sa position d'équilibre, cette énergie stockée est maximale tandis que la vitesse s'annule.

Grâce au théorème de Noether et à l'invariance des lois physiques dans le temps, nous savons que l'énergie totale E reste rigoureusement constante. Le pendule opère ainsi une conversion perpétuelle entre ses deux formes d'énergie : descendant vers le bas, il transforme son énergie potentielle en énergie cinétique ; remontant vers le haut, il reconvertit cette énergie cinétique en énergie potentielle. Ce ballet énergétique illustre concrètement comment une symétrie (ici temporelle) engendre une loi de conservation (celle de l'énergie).

Ce qu'il faut retenir

Les lois de conservation représentent les principes structurants de la physique contemporaine. Leur remise en cause entraînerait l'effondrement de notre conception de l'Univers, rendrait caduques nos modèles prédictifs et invaliderait les bases théoriques sur lesquelles repose l'ensemble de notre arsenal technologique.