Description de l'image : Portrait d'Amalie Emmy Noether (1882-1935), mathématicienne allemande. Le théorème de Noether stipule que les lois de la physique sont symétriques, et cette symétrie conduit à des lois de conservation. Source image : domaine public.
Enoncé du théorème de Noether : "À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve."
Le Théorème de Noether, démontré en 1915 et publié en 1918, est un concept fondamental en physique théorique qui établit un lien profond entre les lois de conservation et les symétries des systèmes physiques.
Autrement dit, "Si une loi physique reste la même, même après une petite transformation (comme un déplacement dans l'espace ou un changement de temps), alors il existe une quantité qui ne change pas au cours du temps, c'est-à-dire une grandeur qui est conservée (énergie, mouvement, charge, etc.)."
Exemple du pendule : l'énergie mécanique totale E du pendule simple peut être exprimée comme la somme de son énergie cinétique (K) et de son énergie potentielle (U) E=K+U.
L'énergie cinétique K du pendule est donnée par : K=½mv2 où m est la masse de la masse du pendule et v est sa vitesse.
L'énergie potentielle U due à la gravité est donnée par : U=mgh où m est la masse du pendule, g est l'accélération due à la gravité et h est la hauteur du pendule par rapport à sa position d'équilibre.
L'énergie mécanique totale E du pendule reste constante, ce qui signifie que même si l'énergie cinétique peut changer en fonction de la vitesse du pendule, elle sera compensée par des changements correspondants dans l'énergie potentielle pour maintenir E constante.
Cela reflète la conservation de l'énergie mécanique totale du système, en accord avec le théorème de Noether.
N.B. : La quantité conservée est une grandeur physique qui reste constante au cours du temps. Par exemple, l'énergie, la quantité de mouvement (impulsion) ou le moment cinétique sont des quantités conservées.
Les symétries ne sont pas seulement esthétiques ; elles constituent le socle sur lequel reposent de nombreux principes fondamentaux en physique. Grâce au théorème de Noether, nous savons que chaque symétrie est associée à une loi de conservation, par exemple, la conservation de l'énergie, la conservation de la charge, la quantité de mouvement, le moment angulaire.
La symétrie décrit les invariances ou les invariants dans les lois de la nature. En physique, on distingue différents types de symétries, et chaque type a des implications spécifiques.
La symétrie de translation signifie que les lois physiques restent inchangées lorsqu'un système est déplacé dans l'espace sans rotation. Cela signifie que les résultats des expériences ne dépendent pas de la position absolue des objets dans l'espace. Les résultats seront les mêmes à Paris, à New York, sur Terre, sur Mars ou n'importe où ailleurs dans le cosmos. Si les lois de la physique ne changent pas lorsqu'on déplace un système de plusieurs kilomètres ou de plusieurs années-lumière, cela se traduit par la conservation du vecteur quantité de mouvement du système. Ainsi, la symétrie de translation implique la conservation de la quantité de mouvement.
La symétrie de rotation stipule que les lois physiques sont invariantes sous une rotation autour d'un axe fixe. Autrement dit, si l’on fait tourner un système autour d’un point, les lois qui régissent son comportement restent identiques. Par exemple, lorsqu'une planète tourne autour du Soleil, son moment angulaire reste constant si aucune force externe n’agit pour modifier sa trajectoire. Ainsi, la symétrie de rotation entraîne la conservation du moment angulaire.
La symétrie temporelle implique que les lois de la physique restent inchangées sous une translation dans le temps. Cela signifie que les lois étaient les mêmes dans le passé, sont les mêmes aujourd’hui et seront les mêmes dans des millions d’années. Par exemple, en l'absence de frottement et d'autres forces dissipatives, l'énergie mécanique du pendule (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle) reste constante tout au long du mouvement. L'énergie cinétique (lorsque le pendule est au point le plus bas) et l'énergie potentielle (lorsqu'il est au point le plus élevé) se transforment l'une en l'autre, mais la somme totale reste la même. Ainsi, la symétrie temporelle du pendule est liée à la conservation de l'énergie. Dans un système fermé, l’énergie totale reste constante dans le temps.
La symétrie de parité concerne l’invariance des lois physiques lors d’une inversion spatiale, c’est-à-dire si toutes les coordonnées d’un point sont inversées par rapport à un centre : (𝑥,𝑦,𝑧)→(−𝑥,−𝑦,−𝑧). Par exemple, lorsqu'un électron est dirigé vers une cible constituée de protons, il interagit avec les protons via l'interaction électromagnétique. Si l'on considère les coordonnées de l'électron et du proton, la transformation de parité consiste à inverser les positions des particules. Pour un électron se déplaçant dans une direction donnée, si l'on change le signe de ses coordonnées spatiales, les lois qui régissent la diffusion élastique ne changent pas sous cette transformation. Ainsi, la symétrie de parité entraîne la conservation de l'énergie totale et la quantité de mouvement totale.
La symétrie de charge stipule que les lois de la physique restent les mêmes si toutes les charges sont inversées. Par exemple, si l'on remplace les électrons par des positrons ou les protons par des antiprotons, les résultats des interactions restent inchangés et le processus d'annihilation reste le même. Ainsi, l'annihilation électron-positron vérifie la conservation de charge.
Les symétries de jauge sont des transformations des champs associés aux particules qui ne changent pas les lois physiques. Les théories de l’électromagnétisme, des interactions faibles et fortes, sont toutes des théories de jauge. Par exemple, si l'on modifie les potentiels associés à un champ, la symétrie de jauge préserve les équations de mouvement et ne change pas les observables physiques (comme les champs électriques et magnétiques). Ainsi, les symétries de jauge sont directement liées à la conservation de charge électrique (dans l'électrodynamique quantique), ou à la conservation de charge de couleur (dans la chromodynamique quantique).
Avant Noether, on savait que certaines quantités (comme l'énergie ou la quantité de mouvement) étaient conservées dans des systèmes physiques, mais son théorème a révélé que cette conservation découle directement des symétries sous-jacentes des lois de la physique.
Les lois de conservation sont des piliers sur lesquels repose une grande partie de la physique moderne. Si les lois de conservation étaient fausses, notre compréhension de l'univers, notre capacité à prédire son comportement, et même notre technologie s'écrouleraient, car elles reposent sur ces principes fondamentaux.
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