Dernière mise à jour : 07 avril 2024

Formule de Bayes et Intelligences Artificielles

Formule de Bayes

La formule de Bayes, aussi appelée théorème de Bayes, est une formule mathématique qui permet de calculer la probabilité d'un événement A, sachant qu'un autre événement B est déjà survenu.

La formule de Bayes : P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

A est l'évènement dont on veut estimer la probabilité.
B est l'évènement que l'on connait déjà.
P(A|B) est la probabilité que l'événement A se produise sachant que l'événement B s'est déjà produit.
P(B|A) est la probabilité que l'événement B se produise sachant que l'événement A s'est déjà produit.
P(A) est la probabilité que l'événement A se produise indépendamment de l'événement B.
P(B) est la probabilité que l'événement B se produise indépendamment de l'événement A.

Supposons que vous avez un sac contenant 10 boules jaunes et 10 boules bleues. Vous tirez une boule au hasard sans regarder et vous constatez qu'elle est jaune.
Quelle est la probabilité que la prochaine boule que vous allez tirer soit également jaune ?

A: La prochaine boule tirée est jaune.
B: La première boule tirée est jaune.
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
P(B|A) = 10/20 = 0.5 (probabilité de tirer une boule jaune sachant que la première boule tirée est jaune)
P(A) = 10/20 = 0.5 (probabilité de tirer une boule jaune)
P(B) = 10/20 + 10/20 = 1 (probabilité de tirer une boule jaune + probabilité de tirer une boule bleue)
P(A|B) = (0.5 * 0.5) / 1 = 0.25
Donc, la probabilité de tirer une deuxième boule jaune est de 25%.

Formule de Bayes et Intelligences Artificielles

La Formule de Bayes, développée par le révérend mathématicien Thomas Bayes (1702-1761) est l'un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités et de l'inférence statistique (ensemble de techniques permettant de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon de cette population).

Ce qui est étonnant avec cette formule, c'est qu'elle nous permet de changer d'avis en fonction des nouvelles informations que l'on reçoit. Même si la formule est simple, elle montre comment nos idées peuvent évoluer au fur et à mesure que l'on apprend de nouvelles choses. En d'autres termes, plus on connait le passé, mieux on peut prédire l'avenir.
Cette formule nous dit aussi que l'accumulation d'informations nous permet d'affiner nos prédictions. C'est donc un outil puissant d'aide à la prise de décisions.
Bien que née dans un contexte différent, elle trouve aujourd'hui tout son sens dans le domaine des Intelligences Artificielles (IA).

En 1763, Richard Price (1723-1791) un ami de Thomas Bayes a présenté sa formule dans un article intitulé "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances".
La notion de probabilité subjective, qui est au cœur de la formule de Bayes, était controversée à l'époque. Bayes n'a pas fourni de preuve formelle de sa formule, ce qui a conduit les mathématiciens à la rejeter comme étant non rigoureuse.
Plus tard, ce sont les travaux de Pierre Simon Laplace (1749-1827), Siméon Denis Poisson (1781-1840) et d'autres mathématiciens qui ont contribué à solidifier les bases de la théorie de la probabilité et à rendre la formule de Bayes plus moderne. Aujourd'hui, la Formule de Bayes est largement utilisée dans des domaines tels que la médecine, la finance, et l'ingénierie.

Les Intelligences Artificielles sont des systèmes informatiques capables d'imiter certaines capacités cognitives humaines.
L'apprentissage automatique et l'inférence probabiliste sont deux domaines d'IA qui utilisent particulièrement le théorème de Bayes.
Dans le contexte de l'apprentissage automatique, la Formule de Bayes est utilisée dans les méthodes d'apprentissage supervisé pour estimer la probabilité qu'une certaine classe soit la cause d'une observation donnée. Par exemple, dans la classification d'images, un algorithme d'apprentissage automatique peut utiliser la Formule de Bayes pour estimer la probabilité qu'une image donnée soit un chat plutôt qu'un chien, en se basant sur les caractéristiques observées dans l'image.
De plus, la Formule de Bayes est au cœur de l'inférence bayésienne, une approche probabiliste pour la prise de décision dans les systèmes d'IA. Contrairement à l'approche fréquentiste qui se base sur des données d'entrainement fixées, l'inférence bayésienne met à jour ses croyances probabilistes à mesure qu'elle observe de nouvelles données. Cela permet une prise de décision plus adaptative et robuste, notamment dans des environnements complexes et dynamiques.

La théorie qui ne voulait pas mourir

La Formule de Bayes, conçue il y a plus de 250 ans, est une méthode pour apprendre de l'incertitude du futur. En effet, elle mesure la croyance, elle nous dit que nous pouvons apprendre à partir de données manquantes ou d'approximations ou même à partir d'une ignorance totale.
Elle va donc à l'encontre de la conviction que la science exige de l'objectivité et de la précision. Cela explique pourquoi cette formule a été déclarée morte par les scientifiques de l'époque.

Cette théorie des probabilités, qui ne voulait pas mourir, avec l'arrivée des ordinateurs a été largement démontrée. C'est la seule logique des algorithmes d'intelligences artificielles. La Formule de Bayes reste un outil puissant dans divers domaines scientifiques et technologiques. En combinant des principes statistiques solides avec des algorithmes informatiques sophistiqués, la Formule de Bayes continue de jouer un rôle essentiel dans la construction de systèmes d'IA intelligents et adaptatifs.