Élaborée en 1925 par le physicien autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961), l'Équation de Schrödinger constitue un pilier de la mécanique quantique. Elle décrit mathématiquement l'évolution des systèmes quantiques en reliant la fonction d'onde à l'énergie révèlant le comportement probabiliste des particules subatomiques.
L'interprétation probabiliste de la mécanique quantique, introduite par Max Born (1882-1970), repose sur l'idée que la fonction d'onde \( \Psi \) ne donne pas une position précise d'une particule, mais une densité de probabilité de sa présence dans un volume donné. Ainsi, l'équation de Schrödinger permet de calculer les états possibles et les probabilités de ses différentes configurations.
L'équation dépendante du temps \( i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi \) relie l'évolution temporelle de la fonction d'onde, et l'action de l'énergie totale sur cette même fonction.
Imaginez une horloge qui tourne. Chaque tic-tac marque un petit pas de temps. Dans l'équation de Schrödinger, le membre de gauche \( i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \) fonctionne exactement comme cette horloge. Il mesure comment la fonction d'onde \(\Psi\) change au fil du temps.
Pourquoi y a-t-il un \( i \) (le nombre imaginaire) et un \( \hbar \) (la constante de Planck) ? Parce que le monde quantique n'obéit pas aux mêmes règles que notre quotidien. Là où une vague classique monte et descend, une onde quantique tourne, comme une spirale ou une hélice. Le \( i \) est là pour décrire cette rotation invisible. Le \( \hbar \) fixe l'échelle : c'est le tout petit pas de cette danse microscopique.
Ainsi, ce membre de gauche est un métronome qui bat la mesure de l'évolution quantique. Plus l'énergie du système est grande, plus cette horloge interne tourne vite. C'est elle qui donne le rythme à la matière dans l'infiniment petit.
Le membre de droite \( \hat{H} \Psi \), c'est le souffle du vent sur une voile. Le vent \( \hat{H} \) porte une force, une direction, une intensité. La voile (Ψ) se gonfle, s'oriente, avance. L'énergie totale, c'est la course du bateau sur l'eau, tout ce qu'il faut savoir sur l'énergie du système.
Parfois, le système est dans un état particulier, un état stationnaire. C'est comme un diapason qui vibre toujours à la même fréquence. Dans ce cas, l'équation devient \( \hat{H} \Psi = E \Psi \). La fonction d'onde ressort identique à elle-même, juste multipliée par un nombre \( E \), l'énergie totale.
L'équation de Schrödinger relie deux réalités : comment les choses évoluent (le temps qui passe) et ce qui les fait évoluer (l'énergie du système). Cette égalité n'est pas arbitraire : c'est une loi fondamentale de la nature quantique. Connaître la fonction d'onde \(\Psi\), c'est comme posséder la carte complète du système : où la particule a le plus de chances de se trouver, comment elle oscille, et quelle énergie elle transporte. En somme, l'équation de Schrödinger est le langage universel qui permet de prédire le comportement du monde microscopique.
Philosophiquement, cela pose une question vertigineuse : la réalité macroscopique n'est-elle qu'une illusion émergente d'un substrat fondamentalement probabiliste ? Ou existe-t-il une frontière réelle entre les deux mondes ? L'équation de Schrödinger, universelle en principe, s'applique aussi bien à un électron qu'à une pomme qui tombe. Mais à grande échelle, les effets quantiques deviennent imperceptibles, créant l'apparence du déterminisme newtonien que nous connaissons.
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