L'Équation de Schrödinger : Le Cœur de la Mécanique Quantique

Description de l'image : L'équation de Schrödinger permet de saisir le comportement probabiliste des particules subatomiques et de calculer les états possibles d'un système quantique.

L'Équation de Schrödinger

L'Équation de Schrödinger, élaborée en 1925 par le physicien autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961), est un pilier fondamental de la mécanique quantique. Elle offre une représentation mathématique de l'évolution temporelle des systèmes quantiques, en reliant la fonction d'onde à l'énergie du système. À l'opposé des lois de la mécanique classique qui décrivent des trajectoires déterministes, l'Équation de Schrödinger permet de saisir le comportement probabiliste des particules subatomiques.

Forme et Signification de l'Équation

L'Équation de Schrödinger est généralement écrite sous deux formes : la forme dépendant du temps et la forme indépendante du temps. Dans la forme générale dépendante du temps, le premier terme décrit comment la fonction d'onde de la particule varie dans l'espace, en lien avec son énergie cinétique. Le deuxième terme décrit comment l'environnement ou les forces externes influencent la particule. L'Équation de Schrödinger relie ces deux termes pour déterminer l'énergie totale de la particule.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)$$

• $\Psi(\mathbf{r}, t)$ est la fonction d'onde qui décrit l'état quantique du système à un instant donné.
• $\hbar$ est la constante de Planck réduite.
• $\hat{H}$ est l'opérateur hamiltonien qui représente l'énergie totale du système (cinétique + potentielle).
• $i$ est un nombre imaginaire qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne -1 (i²=-1). Cela permet de généraliser le système des nombres réels pour inclure des solutions à des équations qui ne peuvent pas être résolues dans l'ensemble des réels comme x²+1=0.

La fonction d'onde, $\Psi(\mathbf{r}, t)$, contient toute l'information sur le système quantique, et son carré donne la densité de probabilité de présence de la particule à une position donnée. Par conséquent, l'équation établit une relation entre l'énergie, l'état de la particule et sa probabilité de localisation dans l'espace-temps.

Interprétation Physique

L'interprétation probabiliste de la mécanique quantique, introduite par Max Born (1882-1970), repose sur l'idée que la fonction d'onde $\Psi$ ne donne pas une position précise d'une particule, mais une probabilité de sa présence dans un volume donné. Ainsi, l'Équation de Schrödinger nous permet de calculer les états possibles d'un système quantique, ainsi que les probabilités de ses différentes configurations.

Comparaison simplifiée avec un objet classique

Si on prend l'analogie avec un ballon lancé dans l'air :

• L'énergie cinétique (½mv²) décrit son mouvement dans l'air, c'est l'énergie due à la vitesse de l'objet.
• L'énergie potentielle (mgh) dépend de sa position (hauteur dans un champ gravitationnel).
• La somme des deux énergies donne l'énergie totale (E=½mv² + mgh).

L'Équation de Schrödinger fait la même chose, mais pour une particule quantique avec des propriétés ondulatoires.

• Le terme de gauche de l'équation de Schrödinger exprime que l'évolution temporelle de l'état quantique est directement gouvernée par l'énergie totale du système.
• Le terme de droite représente l'énergie totale du système sous forme d'un opérateur mathématique appliqué à la fonction d'onde.
• En termes simples : le changement dans le temps de l'état quantique d'une particule est déterminé par son énergie totale. C'est une reformulation quantique de la conservation de l'énergie où l'évolution temporelle est dictée par la combinaison des énergies cinétique et potentielle encapsulées dans \( \hat{H} \), l'opérateur Hamiltonien, qui représente l'énergie totale du système.

N.B.: L'Équation de Schrödinger, qui décrit l'évolution d'un système quantique, est elle-même un reflet des symétries du système. L'invariance de cette équation par rapport à certaines transformations (telles que les translations ou rotations) est directement liée à des lois de conservation selon le théorème de Noether où chaque symétrie continue d'une action physique correspond à une loi de conservation (énergie, charge ou mouvement).

Applications et Conséquences

L'Équation de Schrödinger est fondamentale pour la compréhension des phénomènes quantiques tels que la quantification des niveaux d'énergie, les états stationnaires et la dualité onde-particule. Elle a permis des avancées majeures dans des domaines comme la chimie quantique, la physique des solides et la physique des particules. Elle est utilisée pour modéliser des systèmes atomiques, moléculaires et même certains systèmes macroscopiques soumis à des interactions quantiques.

Conclusion

L'Équation de Schrödinger marque une rupture avec la vision classique du monde, où les objets suivent des trajectoires bien définies. Dans le cadre de la mécanique quantique, elle introduit une nouvelle compréhension de la réalité, où les particules existent non plus comme des objets distincts, mais comme des probabilités d'être à un endroit donné. Cette vision révolutionnaire a non seulement remodelé notre compréhension de l'infiniment petit, mais elle a aussi ouvert la voie à des technologies de pointe, comme les transistors et semi-conducteurs, les lasers, la microscopie électronique et à effet tunnel, la science des matériaux, l'imagerie médicale, les ordinateurs quantiques, les capteurs quantiques, etc.