Comment peser le soleil ?

Résumé scientifique

L'article d'Astronoo présente la méthode permettant de déterminer la masse du Soleil à partir de l'observation du mouvement orbital des planètes. En appliquant la loi de la gravitation universelle de Newton et la deuxième loi du mouvement, il montre que la masse de la planète en orbite n'intervient pas dans le calcul. La mesure de la vitesse orbitale de la Terre et de sa distance au Soleil suffit pour en déduire la masse solaire, estimée à environ 1,9885 × 10^30 kilogrammes. L'article confirme ce résultat par la loi de conservation de l'énergie.

Comment peser le Soleil ?

Cet article d'Astronoo explique comment les astronomes parviennent à déterminer la masse du Soleil sans jamais poser une balance sur notre étoile. La réponse réside dans l'observation du mouvement des planètes : grâce à la loi de la gravitation universelle de Newton, il est possible de relier la force qui attire une planète vers le Soleil à la masse de ce dernier. En mesurant la vitesse orbitale de la Terre et sa distance au Soleil, on obtient une accélération centripète très faible, de l'ordre de 0,006 m/s², qui suffit pourtant à maintenir notre planète en orbite stable. La masse de la planète s'annule dans les équations, ce qui rend le calcul universel. La loi de conservation de l'énergie fournit une deuxième méthode indépendante, qui aboutit au même résultat : environ 1,9885 × 10^30 kilogrammes. Cette concordance confirme la validité de la loi de la gravitation universelle et illustre la puissance de la physique newtonienne pour sonder l'Univers.

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Grâce à la force gravitationnelle entre le Soleil et la planète, nous pouvons en déduire la masse du Soleil.

La loi de la gravitation universelle

Pour peser le Soleil, il faut utiliser la loi de la gravitation universelle de Newton. Cette loi stipule que la force gravitationnelle entre deux objets est proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre eux.

La force gravitationnelle entre le Soleil et la planète est alors donnée par l'équation suivante :

\[ F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

\(G\) = constante de gravitation universelle, égale à \(6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)
\(M\) = masse du Soleil, en kilogrammes
\(m\) = masse de la planète, en kilogrammes
\(r\) = distance entre le Soleil et la planète, en mètres

Le calcul de la masse du Soleil

Nous pouvons également écrire l'équation de la deuxième loi de Newton, qui stipule que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération.

\[ F = m\,a \]

Dans le cas du mouvement orbital d'une planète autour du Soleil, la force gravitationnelle est la seule force qui agit sur la planète. Par conséquent, nous pouvons substituer l'expression de la force gravitationnelle dans l'équation de la deuxième loi de Newton.

\[ m\,a = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

En résolvant cette équation on réalise que la masse de la planète \(m\) n'a aucune importance, ainsi nous obtenons :

\[ m\,a\,r^{2} = G\,M\,m \] \[ M = \frac{a\,r^{2}}{G} \]

Cette équation nous permet de calculer la masse du Soleil \(M\) en mesurant l'accélération centripète de la Terre autour du Soleil et la distance entre le Soleil et la Terre.

La vitesse de la Terre autour du Soleil est d'environ \(30\,000\ \mathrm{m/s}\). Avec l'équation ci-dessous, nous pouvons calculer l'accélération centripète de la Terre.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} \]

La distance entre le Soleil et la Terre est connue avec une grande précision grâce à la parallaxe. La distance \(r\) entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 millions de kilomètres soit \(15 \times 10^{10}\) mètres.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{30\,000^{2}}{15 \times 10^{10}} = 0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}} \]

Cette valeur de \(0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}}\) est très petite mais suffisante pour maintenir la Terre en orbite stable autour du Soleil. Cela signifie que la vitesse de la Terre augmente de \(0{,}006\) mètre par seconde chaque seconde. L'accélération centripète est ce qui oblige la Terre à suivre une trajectoire elliptique. Cette accélération est si faible que nous ne pouvons pas la ressentir. Si l'accélération centripète était nulle, la Terre continuerait en ligne droite.

En 1795, l'astronome allemand Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) a utilisé cette méthode pour estimer la masse du Soleil à \(1{,}99 \times 10^{30}\) kilogrammes. La valeur exacte est \(1{,}9885 \times 10^{30}\) kilogrammes.

Confirmation de la loi de la gravitation universelle

La conservation de l'énergie

Une autre méthode pour peser le Soleil est d'utiliser la loi de la conservation de l'énergie. Cette loi stipule que l'énergie totale d'un système isolé est constante.

Dans le cas du système Soleil-Terre, l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique \(E_k\) de la Terre et de l'énergie potentielle gravitationnelle \(E_p\) entre la Terre et le Soleil. L'équation de la conservation de l'énergie pour le système Terre-Soleil est donc la suivante :

\[ E_k + E_p = \text{const} \]

L'énergie cinétique de la Terre est l'énergie de son mouvement. Elle est proportionnelle à la masse de la Terre et au carré de sa vitesse. L'énergie cinétique de la Terre est donnée par l'équation suivante :

\[ E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^{2} \]

L'énergie potentielle gravitationnelle entre la Terre et le Soleil est l'énergie due à la force de gravité entre les deux corps. Elle est proportionnelle à la masse de la Terre, à la masse du Soleil et à l'inverse du carré de la distance entre les deux corps. L'énergie potentielle est donnée par l'équation suivante :

\[ E_p = -G \, \frac{M \, m}{r} \]

En remplaçant les expressions de \(E_k\) et \(E_p\) par leurs formules respectives, on obtient l'équation suivante :

\[ \frac{1}{2} \, m \, v^{2} - G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

\(m\) est la masse de la Terre, \(v\) est la vitesse de la Terre, \(M\) est la masse du Soleil, et \(G\) est la constante gravitationnelle.

Si nous supposons que la vitesse de la Terre est constante, alors l'énergie cinétique de la Terre est également constante. L'équation de la conservation de l'énergie devient alors :

\[ -G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

En multipliant les deux côtés de l'équation par \(r\), on obtient :

\[ -G \, M \, m = \text{const} \cdot r \]

En divisant les deux côtés de l'équation par \(-G \, m\), on obtient :

\[ M = -\frac{\text{const} \cdot r}{G \, m} \]

Ainsi, la constante \(\text{const}\) représente l'énergie totale du système Terre-Soleil. Comme l'énergie cinétique de la Terre est constante, on peut exprimer la constante en fonction de \(E_k\) :

\[ \text{const} = E_k + E_p \]

En utilisant l'expression de \(E_p\), on obtient :

\[ \text{const} = E_k - G \, \frac{M \, m}{r} \]

En supposant que la vitesse de la Terre est constante, on obtient :

\[ \text{const} = E_k + G \, \frac{M \, m}{r} \]

Si la vitesse de la Terre est constante, alors la quantité \(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\) doit également être constante. On peut donc écrire :

\[ E_k + G \, \frac{M \, m}{r} = 2 \, E_k \]

En résolvant cette équation pour \(\text{const}\), on obtient :

\[ \text{const} = 2 \, E_k \]

Pour terminer, en remplaçant la constante par sa valeur, on obtient :

\[ M = \frac{2 \, E_k \, r}{G} \]

Les résultats concordants

En 1832, l'astronome britannique John Herschel (1792-1871) a utilisé cette méthode pour estimer la masse du Soleil à \(1{,}99 \times 10^{30}\) kilogrammes. La valeur exacte est \(1{,}9885 \times 10^{30}\) kilogrammes.

Les deux méthodes donnent des résultats identiques, ce qui confirme la validité de la loi de la gravitation universelle.

Tableau de comparaison des méthodes pour peser le Soleil

Le tableau ci-dessous compare les deux approches présentées dans cet article pour déterminer la masse du Soleil.

Comparaison des méthodes de pesée du Soleil
Caractéristique	Méthode gravitationnelle	Méthode énergétique
Principe	Loi de la gravitation universelle de Newton	Loi de conservation de l'énergie
Grandeurs mesurées	Vitesse orbitale et distance Terre-Soleil	Énergie cinétique et potentielle du système
Résultat	1,99 × 10^30 kg	1,99 × 10^30 kg

Références

FAQ : Tout savoir sur la masse du Soleil

Comment mesure-t-on la masse du Soleil ?

La masse du Soleil est mesurée indirectement en observant le mouvement des planètes qui orbitent autour de lui. En appliquant la loi de la gravitation universelle de Newton, on peut relier la force gravitationnelle à la masse du Soleil. Connaissant la vitesse orbitale et la distance d'une planète comme la Terre, on en déduit la masse solaire.

Pourquoi la masse de la planète n'intervient-elle pas dans le calcul ?

Dans l'équation de la force gravitationnelle, la masse de la planète apparaît à la fois dans l'expression de la force et dans la deuxième loi de Newton. En égalisant les deux, la masse de la planète s'annule. Le calcul de la masse du Soleil ne dépend donc que de la vitesse orbitale, de la distance et de la constante gravitationnelle.

Quelle est la valeur exacte de la masse du Soleil ?

La masse du Soleil est d'environ 1,9885 × 10^30 kilogrammes. Cette valeur est connue avec une grande précision grâce aux mesures des paramètres orbitaux des planètes et aux observations spatiales.

Qu'est-ce que l'accélération centripète de la Terre ?

L'accélération centripète est l'accélération dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. Pour la Terre autour du Soleil, elle vaut environ 0,006 m/s². Cette valeur très faible suffit à maintenir notre planète en orbite stable.

Comment la loi de conservation de l'énergie permet-elle de peser le Soleil ?

En exprimant l'énergie totale du système Terre-Soleil comme la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle gravitationnelle, et en supposant que cette énergie est constante, on peut isoler la masse du Soleil. Le résultat obtenu est identique à celui de la méthode gravitationnelle.

Qui a utilisé ces méthodes pour la première fois ?

Friedrich Wilhelm Bessel en 1795 et John Herschel en 1832 ont utilisé ces méthodes pour estimer la masse du Soleil. Leurs résultats, proches de 1,99 × 10^30 kilogrammes, ont confirmé la validité de la loi de la gravitation universelle.

Comment peser le soleil ?

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