En effet, grâce à la force gravitationnelle entre le Soleil et la planète, nous pouvons en déduire la masse du Soleil.
Pour peser le Soleil, il faut utiliser la loi de la gravitation universelle de Newton. Cette loi stipule que la force gravitationnelle entre deux objets est proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre eux.
La force gravitationnelle entre le Soleil et la planète est alors donnée par l'équation suivante :
F = G * M * m / r^2
G = constante de gravitation universelle, égale à 6,674 × 10^-11 N m^2 kg^-2
M = masse du Soleil, en kilogrammes
m = masse de la planète, en kilogrammes
r = distance entre le Soleil et la planète, en mètres
Nous pouvons également écrire l'équation de la deuxième loi de Newton, qui stipule que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération. F = m * a
Dans le cas du mouvement orbital d'une planète autour du Soleil, la force gravitationnelle est la seule force qui agit sur la planète. Par conséquent, nous pouvons substituer l'expression de la force gravitationnelle dans l'équation de la deuxième loi de Newton.
m * a = G * M * m / r^2
En résolvant cette équation on réalise que la masse de la planète m n'a aucune importance, ainsi nous obtenons :
m * a * r^2 = G * M * m
M = a * r^2 / G
Cette équation nous permet de calculer la masse du Soleil M en mesurant l'accélération de la Terre autour du Soleil et la distance entre le Soleil et la Terre.
La vitesse de la Terre autour du Soleil est d'environ 30 000 m/s. Avec l'équation ci-dessous, nous pouvons calculer que l'accélération centripète de la Terre.
a_c = v^2 / r
La distance entre le Soleil et la Terre est connue avec une grande précision grâce à la parallaxe. La distance r entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 millions de kilomètres soit 15 x 10^10 mètres.
a_c = v^2 / r = 30 000^2 / 15 x 10^10 = 0,006 m/s^2
Cette valeur de 0,006 m/s^2 est très petite mais suffisante pour maintenir la Terre en orbite stable autour du Soleil. Cela signifie que la vitesse de la Terre augmente de 0,006 mètre par seconde chaque seconde. L'accélération centripète est ce qui oblige la Terre à suivre une trajectoire elliptique. Cette accélération est si faible que nous ne pouvons pas la ressentir. Si l'accélération centripète était nulle, la Terre continuerait en ligne droite.
En 1795, l'astronome allemand Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) a utilisé cette méthode pour estimer la masse du Soleil à 1,99 × 10^30 kilogrammes. La valeur exacte est 1,9885 × 10^30 kilogrammes.
Une autre méthode pour peser le Soleil est d'utiliser la loi de la conservation de l'énergie. Cette loi stipule que l'énergie totale d'un système isolé est constante.
Dans le cas du système Soleil-Terre, l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique E_k de la Terre et de l'énergie potentielle gravitationnelle E_p entre la Terre et le Soleil. L'équation de la conservation de l'énergie pour le système Terre-Soleil est donc la suivante : E_k + E_p = const
L'énergie cinétique de la Terre est l'énergie de son mouvement. Elle est proportionnelle à la masse de la Terre et au carré de sa vitesse. L'énergie cinétique de la Terre est donnée par l'équation suivante : E_k = 1/2 * m * v^2
L'énergie potentielle gravitationnelle entre la Terre et le Soleil est l'énergie due à la force de gravité entre les deux corps. Elle est proportionnelle à la masse de la Terre, à la masse du Soleil et à l'inverse du carré de la distance entre les deux corps. L'énergie potentielle est donnée par l'équation suivante : E_p = -G * M * m / r
En remplaçant les expressions de E_k et E_p par leurs formules respectives, on obtient l'équation suivante : 1/2 * m * v^2 - G * M * m / r = const
m est la masse de la Terre, v est la vitesse de la Terre, M est la masse du Soleil, et G est la constante gravitationnelle.
Si nous supposons que la vitesse de la Terre est constante, alors l'énergie cinétique de la Terre est également constante. L'équation de la conservation de l'énergie devient alors : -G * M * m / r = const
En multipliant les deux côtés de l'équation par r, on obtient : -G * M * m = const * r
En divisant les deux côtés de l'équation par -G * m, on obtient : M = - const * r / G * m
Ainsi, la constante "const" représente l'énergie totale du système Terre-Soleil. Comme l'énergie cinétique de la Terre est constante, on peut exprimer la constante en fonction de E_k : const = E_k + E_p
En utilisant l'expression de E_p, on obtient : const = E_k - G * M * m / r
En supposant que la vitesse de la Terre est constante, on obtient : const = E_k + G * M * m / r
Si la vitesse de la Terre est constante, alors la quantité E_k + G * M * m / r doit également être constante. On peut donc écrire : E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
En résolvant cette équation pour const, on obtient : const = 2 * E_k
Pour terminer, en remplaçant la constante par sa valeur, on obtient : M = 2 * E_k * r / G
En 1832, l'astronome britannique John Herschel (1792-1871) a utilisé cette méthode pour estimer la masse du Soleil à 1,99 × 10^30 kilogrammes. La valeur exacte est 1,9885 × 10^30 kilogrammes.
Les deux méthodes donnent des résultats identiques, ce qui confirme la validité de la loi de la gravitation universelle.
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