De hecho, gracias a la fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta, podemos deducir la masa del Sol.
Para pesar el Sol, hay que utilizar la ley de gravitación universal de Newton. Esta ley establece que la fuerza gravitacional entre dos objetos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
La fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta está dada por la siguiente ecuación:
F = G * M * m / r²
G = constante de gravitación universal, igual a 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
M = masa del Sol, en kilogramos
m = masa del planeta, en kilogramos
r = distancia entre el Sol y el planeta, en metros
También podemos escribir la ecuación de la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración. F = m * a
En el caso del movimiento orbital de un planeta alrededor del Sol, la fuerza gravitacional es la única fuerza que actúa sobre el planeta. Por lo tanto, podemos sustituir la expresión de la fuerza gravitacional en la ecuación de la segunda ley de Newton.
m * a = G * M * m / r²
Al resolver esta ecuación, nos damos cuenta de que la masa del planeta m no tiene ninguna importancia, así obtenemos:
m * a * r² = G * M * m
M = a * r² / G
Esta ecuación nos permite calcular la masa del Sol M midiendo la aceleración de la Tierra alrededor del Sol y la distancia entre el Sol y la Tierra.
La velocidad de la Tierra alrededor del Sol es de aproximadamente 30 000 m/s. Con la siguiente ecuación, podemos calcular la aceleración centrípeta de la Tierra.
a_c = v² / r
La distancia entre el Sol y la Tierra se conoce con gran precisión gracias a la paralaje. La distancia r entre la Tierra y el Sol es de aproximadamente 150 millones de kilómetros, es decir, 15 x 10¹⁰ metros.
a_c = v² / r = 30 000² / 15 x 10¹⁰ = 0,006 m/s²
Este valor de 0,006 m/s² es muy pequeño, pero suficiente para mantener a la Tierra en una órbita estable alrededor del Sol. Esto significa que la velocidad de la Tierra aumenta 0,006 metros por segundo cada segundo. La aceleración centrípeta es lo que obliga a la Tierra a seguir una trayectoria elíptica. Esta aceleración es tan baja que no podemos sentirla. Si la aceleración centrípeta fuera nula, la Tierra continuaría en línea recta.
En 1795, el astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) utilizó este método para estimar la masa del Sol en 1,99 × 10³⁰ kilogramos. El valor exacto es 1,9885 × 10³⁰ kilogramos.
Otro método para pesar el Sol es utilizar la ley de conservación de la energía. Esta ley establece que la energía total de un sistema aislado es constante.
En el caso del sistema Sol-Tierra, la energía total es la suma de la energía cinética E_k de la Tierra y la energía potencial gravitacional E_p entre la Tierra y el Sol. La ecuación de conservación de la energía para el sistema Tierra-Sol es la siguiente: E_k + E_p = const
La energía cinética de la Tierra es la energía de su movimiento. Es proporcional a la masa de la Tierra y al cuadrado de su velocidad. La energía cinética de la Tierra está dada por la siguiente ecuación: E_k = ½ * m * v²
La energía potencial gravitacional entre la Tierra y el Sol es la energía debida a la fuerza de gravedad entre los dos cuerpos. Es proporcional a la masa de la Tierra, a la masa del Sol y al inverso del cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos. La energía potencial está dada por la siguiente ecuación: E_p = -G * M * m / r
Al reemplazar las expresiones de E_k y E_p por sus fórmulas respectivas, obtenemos la siguiente ecuación: ½ * m * v² - G * M * m / r = const
m es la masa de la Tierra, v es la velocidad de la Tierra, M es la masa del Sol y G es la constante gravitacional.
Si asumimos que la velocidad de la Tierra es constante, entonces la energía cinética de la Tierra también es constante. La ecuación de conservación de la energía se convierte en: -G * M * m / r = const
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por r, obtenemos: -G * M * m = const * r
Al dividir ambos lados de la ecuación por -G * m, obtenemos: M = -const * r / G * m
Así, la constante "const" representa la energía total del sistema Tierra-Sol. Como la energía cinética de la Tierra es constante, podemos expresar la constante en función de E_k: const = E_k + E_p
Usando la expresión de E_p, obtenemos: const = E_k - G * M * m / r
Asumiendo que la velocidad de la Tierra es constante, obtenemos: const = E_k + G * M * m / r
Si la velocidad de la Tierra es constante, entonces la cantidad E_k + G * M * m / r también debe ser constante. Por lo tanto, podemos escribir: E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
Al resolver esta ecuación para const, obtenemos: const = 2 * E_k
Finalmente, al reemplazar la constante por su valor, obtenemos: M = 2 * E_k * r / G
En 1832, el astrónomo británico John Herschel (1792-1871) utilizó este método para estimar la masa del Sol en 1,99 × 10³⁰ kilogramos. El valor exacto es 1,9885 × 10³⁰ kilogramos.
Ambos métodos dan resultados idénticos, lo que confirma la validez de la ley de la gravitación universal.
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