Imagen: Para pesar el Sol, podemos usar la ley de gravitación universal de Newton. Crédito de la foto: NASA
De hecho, gracias a la fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta, podemos deducir la masa del Sol.
Para pesar el Sol, debes utilizar la ley de gravitación universal de Newton. Esta ley establece que la fuerza gravitacional entre dos objetos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
La fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta viene dada por la siguiente ecuación:
F = GRAMO * M * m / r^2
G = constante gravitacional universal, igual a 6,674 × 10^-11 N m^2 kg^-2
M = masa del Sol, en kilogramos
m = masa del planeta, en kilogramos
r = distancia entre el Sol y el planeta, en metros
También podemos escribir la ecuación de la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración. F = m * a
En el caso del movimiento orbital de un planeta alrededor del Sol, la fuerza gravitacional es la única fuerza que actúa sobre el planeta. Por lo tanto, podemos sustituir la expresión de la fuerza gravitacional en la ecuación de la segunda ley de Newton.
m * a = G * M * m / r^2
Resolviendo esta ecuación nos damos cuenta de que la masa del planeta m no tiene importancia, por lo que obtenemos:
m*a*r^2 = G*M*m
M = a * r^2 / GRAMO
Esta ecuación nos permite calcular la masa del Sol M midiendo la aceleración de la Tierra alrededor del Sol y la distancia entre el Sol y la Tierra.
La velocidad de la Tierra alrededor del Sol es de aproximadamente 30.000 m/s. Con la siguiente ecuación podemos calcular la aceleración centrípeta de la Tierra.
a_c = v^2 / r
La distancia entre el Sol y la Tierra se conoce con gran precisión gracias al paralaje. La distancia r entre la Tierra y el Sol es de aproximadamente 150 millones de kilómetros o 15 x 10^10 metros.
a_c = v^2 / r = 30.000^2 / 15 x 10^10 = 0,006 m/s^2
Este valor de 0,006 m/s^2 es muy pequeño pero suficiente para mantener la Tierra en una órbita estable alrededor del Sol. Esto significa que la velocidad de la Tierra aumenta 0,006 metros por segundo cada segundo. La aceleración centrípeta es la que obliga a la Tierra a seguir una trayectoria elíptica. Esta aceleración es tan débil que no podemos sentirla. Si la aceleración centrípeta fuera cero, la Tierra continuaría en línea recta.
En 1795, el astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) utilizó este método para estimar la masa del Sol en 1,99 × 10^30 kilogramos. El valor exacto es 1,9885 ×10^30 kilogramos.
Otro método para pesar el Sol es utilizar la ley de conservación de la energía. Esta ley establece que la energía total de un sistema aislado es constante.
En el caso del sistema Sol-Tierra, la energía total es la suma de la energía cinética E_k de la Tierra y la energía potencial gravitacional E_p entre la Tierra y el Sol. Por tanto, la ecuación de conservación de energía para el sistema Tierra-Sol es la siguiente: E_k + E_p = constante
La energía cinética de la Tierra es la energía de su movimiento. Es proporcional a la masa de la Tierra y al cuadrado de su velocidad. La energía cinética de la Tierra viene dada por la siguiente ecuación: E_k = 1/2 * m * v^2
La energía potencial gravitacional entre la Tierra y el Sol es la energía debida a la fuerza de gravedad entre los dos cuerpos. Es proporcional a la masa de la Tierra, a la masa del Sol y a la inversa del cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos. La energía potencial viene dada por la siguiente ecuación: E_p = -G*M*m/r
Reemplazando las expresiones de E_k y E_p por sus respectivas fórmulas, obtenemos la siguiente ecuación: 1/2 * m * v^2 - G * M * m / r = constante
m es la masa de la Tierra, v es la velocidad de la Tierra, M es la masa del Sol y G es la constante gravitacional.
Si suponemos que la velocidad de la Tierra es constante, entonces la energía cinética de la Tierra también lo es. La ecuación de conservación de energía entonces se convierte en: -G * M * m / r = const
Multiplicar ambos lados de la ecuación por r da: -G * M * m = const * r
Dividiendo ambos lados de la ecuación por -G * m, obtenemos: M = - const * r / G * m
Por tanto, la constante "const" representa la energía total del sistema Tierra-Sol. Como la energía cinética de la Tierra es constante, podemos expresar la constante en términos de E_k: const = E_k + E_p
Usando la expresión para E_p, obtenemos: const = E_k - G * M * m / r
Suponiendo que la velocidad de la Tierra es constante, obtenemos: const = E_k + G * M * m / r
Si la velocidad de la Tierra es constante, entonces la cantidad E_k + G*M*m/r también debe ser constante. Por tanto podemos escribir: E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
Resolviendo esta ecuación para const, obtenemos: const = 2 * E_k
Finalmente reemplazando la constante por su valor obtenemos: M = 2 * E_k * r / G
En 1832, el astrónomo británico John Herschel (1792-1871) utilizó este método para estimar la masa del Sol en 1,99 × 10^30 kilogramos. El valor exacto es 1,9885 ×10^30 kilogramos.
Ambos métodos dan resultados idénticos, lo que confirma la validez de la ley de la gravitación universal.
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