¿Cómo pesar el sol?

Resumen científico

El artículo de Astronoo presenta el método que permite determinar la masa del Sol a partir de la observación del movimiento orbital de los planetas. Aplicando la ley de la gravitación universal de Newton y la segunda ley del movimiento, muestra que la masa del planeta en órbita no interviene en el cálculo. La medida de la velocidad orbital de la Tierra y de su distancia al Sol basta para deducir la masa solar, estimada en aproximadamente 1,9885 × 10^30 kilogramos. El artículo confirma este resultado mediante la ley de conservación de la energía.

¿Cómo pesar el Sol?

Este artículo de Astronoo explica cómo los astrónomos logran determinar la masa del Sol sin colocar jamás una balanza sobre nuestra estrella. La respuesta reside en la observación del movimiento de los planetas: gracias a la ley de la gravitación universal de Newton, es posible relacionar la fuerza que atrae a un planeta hacia el Sol con la masa de este último. Midiendo la velocidad orbital de la Tierra y su distancia al Sol, se obtiene una aceleración centrípeta muy pequeña, del orden de 0,006 m/s², que sin embargo basta para mantener nuestro planeta en una órbita estable. La masa del planeta se anula en las ecuaciones, lo que hace que el cálculo sea universal. La ley de conservación de la energía proporciona un segundo método independiente, que conduce al mismo resultado: aproximadamente 1,9885 × 10^30 kilogramos. Esta concordancia confirma la validez de la ley de la gravitación universal e ilustra el poder de la física newtoniana para sondear el Universo.

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Gracias a la fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta, podemos deducir la masa del Sol.

La ley de la gravitación universal

Para pesar el Sol, hay que utilizar la ley de la gravitación universal de Newton. Esta ley establece que la fuerza gravitacional entre dos objetos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

La fuerza gravitacional entre el Sol y el planeta viene dada entonces por la siguiente ecuación:

\[ F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

\(G\) = constante de gravitación universal, igual a \(6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)
\(M\) = masa del Sol, en kilogramos
\(m\) = masa del planeta, en kilogramos
\(r\) = distancia entre el Sol y el planeta, en metros

El cálculo de la masa del Sol

También podemos escribir la ecuación de la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración.

\[ F = m\,a \]

En el caso del movimiento orbital de un planeta alrededor del Sol, la fuerza gravitacional es la única fuerza que actúa sobre el planeta. Por consiguiente, podemos sustituir la expresión de la fuerza gravitacional en la ecuación de la segunda ley de Newton.

\[ m\,a = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

Al resolver esta ecuación se observa que la masa del planeta \(m\) no tiene ninguna importancia, y obtenemos:

\[ m\,a\,r^{2} = G\,M\,m \] \[ M = \frac{a\,r^{2}}{G} \]

Esta ecuación nos permite calcular la masa del Sol \(M\) midiendo la aceleración centrípeta de la Tierra alrededor del Sol y la distancia entre el Sol y la Tierra.

La velocidad de la Tierra alrededor del Sol es de aproximadamente \(30\,000\ \mathrm{m/s}\). Con la ecuación siguiente, podemos calcular la aceleración centrípeta de la Tierra.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} \]

La distancia entre el Sol y la Tierra se conoce con gran precisión gracias a la paralaje. La distancia \(r\) entre la Tierra y el Sol es de aproximadamente 150 millones de kilómetros, es decir, \(15 \times 10^{10}\) metros.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{30\,000^{2}}{15 \times 10^{10}} = 0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}} \]

Este valor de \(0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}}\) es muy pequeño pero suficiente para mantener la Tierra en una órbita estable alrededor del Sol. Esto significa que la velocidad de la Tierra aumenta \(0{,}006\) metros por segundo cada segundo. La aceleración centrípeta es lo que obliga a la Tierra a seguir una trayectoria elíptica. Esta aceleración es tan débil que no podemos sentirla. Si la aceleración centrípeta fuera nula, la Tierra continuaría en línea recta.

En 1795, el astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) utilizó este método para estimar la masa del Sol en \(1{,}99 \times 10^{30}\) kilogramos. El valor exacto es \(1{,}9885 \times 10^{30}\) kilogramos.

Confirmación de la ley de la gravitación universal

La conservación de la energía

Otro método para pesar el Sol es utilizar la ley de la conservación de la energía. Esta ley establece que la energía total de un sistema aislado es constante.

En el caso del sistema Sol-Tierra, la energía total es la suma de la energía cinética \(E_k\) de la Tierra y de la energía potencial gravitacional \(E_p\) entre la Tierra y el Sol. La ecuación de la conservación de la energía para el sistema Tierra-Sol es, por tanto, la siguiente:

\[ E_k + E_p = \text{const} \]

La energía cinética de la Tierra es la energía de su movimiento. Es proporcional a la masa de la Tierra y al cuadrado de su velocidad. La energía cinética de la Tierra viene dada por la siguiente ecuación:

\[ E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^{2} \]

La energía potencial gravitacional entre la Tierra y el Sol es la energía debida a la fuerza de gravedad entre los dos cuerpos. Es proporcional a la masa de la Tierra, a la masa del Sol y al inverso de la distancia entre los dos cuerpos. La energía potencial viene dada por la siguiente ecuación:

\[ E_p = -G \, \frac{M \, m}{r} \]

Sustituyendo las expresiones de \(E_k\) y \(E_p\) por sus fórmulas respectivas, obtenemos la siguiente ecuación:

\[ \frac{1}{2} \, m \, v^{2} - G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

\(m\) es la masa de la Tierra, \(v\) es la velocidad de la Tierra, \(M\) es la masa del Sol y \(G\) es la constante gravitacional.

Si suponemos que la velocidad de la Tierra es constante, entonces la energía cinética de la Tierra también es constante. La ecuación de la conservación de la energía se convierte entonces en:

\[ -G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

Multiplicando ambos lados de la ecuación por \(r\), obtenemos:

\[ -G \, M \, m = \text{const} \cdot r \]

Dividiendo ambos lados de la ecuación por \(-G \, m\), obtenemos:

\[ M = -\frac{\text{const} \cdot r}{G \, m} \]

Así, la constante \(\text{const}\) representa la energía total del sistema Tierra-Sol. Como la energía cinética de la Tierra es constante, podemos expresar la constante en función de \(E_k\):

\[ \text{const} = E_k + E_p \]

Utilizando la expresión de \(E_p\), obtenemos:

\[ \text{const} = E_k - G \, \frac{M \, m}{r} \]

Suponiendo que la velocidad de la Tierra es constante, obtenemos:

\[ \text{const} = E_k + G \, \frac{M \, m}{r} \]

Si la velocidad de la Tierra es constante, entonces la cantidad \(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\) también debe ser constante. Podemos escribir por tanto:

\[ E_k + G \, \frac{M \, m}{r} = 2 \, E_k \]

Resolviendo esta ecuación para \(\text{const}\), obtenemos:

\[ \text{const} = 2 \, E_k \]

Para terminar, sustituyendo la constante por su valor, obtenemos:

\[ M = \frac{2 \, E_k \, r}{G} \]

Los resultados concordantes

En 1832, el astrónomo británico John Herschel (1792-1871) utilizó este método para estimar la masa del Sol en \(1{,}99 \times 10^{30}\) kilogramos. El valor exacto es \(1{,}9885 \times 10^{30}\) kilogramos.

Los dos métodos dan resultados idénticos, lo que confirma la validez de la ley de la gravitación universal.

Tabla comparativa de los métodos para pesar el Sol

La tabla siguiente compara los dos enfoques presentados en este artículo para determinar la masa del Sol.

Comparación de los métodos para pesar el Sol
Característica	Método gravitacional	Método energético
Principio	Ley de la gravitación universal de Newton	Ley de conservación de la energía
Magnitudes medidas	Velocidad orbital y distancia Tierra-Sol	Energía cinética y potencial del sistema
Resultado	1,99 × 10^30 kg	1,99 × 10^30 kg

Referencias

FAQ: Todo sobre la masa del Sol

¿Cómo se mide la masa del Sol?

La masa del Sol se mide indirectamente observando el movimiento de los planetas que orbitan a su alrededor. Aplicando la ley de la gravitación universal de Newton, se puede relacionar la fuerza gravitacional con la masa del Sol. Conociendo la velocidad orbital y la distancia de un planeta como la Tierra, se deduce la masa solar.

¿Por qué no interviene la masa del planeta en el cálculo?

En la ecuación de la fuerza gravitacional, la masa del planeta aparece tanto en la expresión de la fuerza como en la segunda ley de Newton. Al igualar ambas, la masa del planeta se anula. El cálculo de la masa del Sol depende por tanto únicamente de la velocidad orbital, la distancia y la constante gravitacional.

¿Cuál es el valor exacto de la masa del Sol?

La masa del Sol es de aproximadamente 1,9885 × 10^30 kilogramos. Este valor se conoce con gran precisión gracias a las mediciones de los parámetros orbitales de los planetas y a las observaciones espaciales.

¿Qué es la aceleración centrípeta de la Tierra?

La aceleración centrípeta es la aceleración dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. Para la Tierra alrededor del Sol, vale aproximadamente 0,006 m/s². Este valor muy pequeño basta para mantener nuestro planeta en una órbita estable.

¿Cómo permite la ley de conservación de la energía pesar el Sol?

Expresando la energía total del sistema Tierra-Sol como la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitacional, y suponiendo que esta energía es constante, se puede aislar la masa del Sol. El resultado obtenido es idéntico al del método gravitacional.

¿Quién utilizó estos métodos por primera vez?

Friedrich Wilhelm Bessel en 1795 y John Herschel en 1832 utilizaron estos métodos para estimar la masa del Sol. Sus resultados, cercanos a 1,99 × 10^30 kilogramos, confirmaron la validez de la ley de la gravitación universal.

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