Descripción de la imagen: Retrato de Amalie Emmy Noether (1882-1935), matemática alemana. El teorema de Noether establece que las leyes de la física son simétricas, y esta simetría conduce a leyes de conservación. Fuente de la imagen: dominio público.
Enunciado del teorema de Noether: "A cada transformación infinitesimal que deje invariante la integral de acción corresponde una magnitud que se conserva."
El Teorema de Noether, demostrado en 1915 y publicado en 1918, es un concepto fundamental en la física teórica que establece un vínculo profundo entre las leyes de conservación y las simetrías de los sistemas físicos.
En otras palabras, "Si una ley física permanece igual incluso después de una pequeña transformación (como un desplazamiento en el espacio o un cambio de tiempo), entonces existe una magnitud que no cambia a lo largo del tiempo, es decir, una cantidad que se conserva (energía, movimiento, carga, etc.)."
Ejemplo del péndulo: la energía mecánica total E del péndulo simple puede expresarse como la suma de su energía cinética (K) y de su energía potencial (U) E=K+U.
La energía cinética K del péndulo está dada por: K=½mv2 donde m es la masa del péndulo y v es su velocidad.
La energía potencial U debida a la gravedad está dada por: U=mgh donde m es la masa del péndulo, g es la aceleración debida a la gravedad y h es la altura del péndulo con respecto a su posición de equilibrio.
La energía mecánica total E del péndulo permanece constante, lo que significa que, aunque la energía cinética pueda cambiar según la velocidad del péndulo, se compensará con cambios correspondientes en la energía potencial para mantener E constante.
Esto refleja la conservación de la energía mecánica total del sistema, de acuerdo con el teorema de Noether.
Nota: La cantidad conservada es una magnitud física que permanece constante a lo largo del tiempo. Por ejemplo, la energía, la cantidad de movimiento (impulso) o el momento angular son cantidades conservadas.
Las simetrías no son solo estéticas; constituyen la base sobre la que descansan muchos principios fundamentales en física. Gracias al teorema de Noether, sabemos que cada simetría está asociada con una ley de conservación, por ejemplo, la conservación de la energía, la conservación de la carga, la cantidad de movimiento, el momento angular.
La simetría describe las invariantes o invariantes en las leyes de la naturaleza. En física, se distinguen diferentes tipos de simetrías, y cada tipo tiene implicaciones específicas.
La simetría de traducción significa que las leyes físicas permanecen sin cambios cuando un sistema se desplaza en el espacio sin rotación. Esto significa que los resultados de los experimentos no dependen de la posición absoluta de los objetos en el espacio. Los resultados serán los mismos en París, Nueva York, en la Tierra, en Marte o en cualquier otro lugar del cosmos. Si las leyes de la física no cambian cuando se desplaza un sistema durante varios kilómetros o varios años luz, esto se traduce en la conservación del vector cantidad de movimiento del sistema. Por lo tanto, la simetría de traducción implica la conservación de la cantidad de movimiento.
La simetría de rotación establece que las leyes físicas son invariantes bajo una rotación alrededor de un eje fijo. En otras palabras, si giramos un sistema alrededor de un punto, las leyes que rigen su comportamiento permanecen idénticas. Por ejemplo, cuando un planeta gira alrededor del Sol, su momento angular permanece constante si no actúa ninguna fuerza externa para modificar su trayectoria. Por lo tanto, la simetría de rotación implica la conservación del momento angular.
La simetría temporal implica que las leyes de la física permanecen sin cambios bajo una traducción en el tiempo. Esto significa que las leyes eran las mismas en el pasado, son las mismas hoy y serán las mismas en millones de años. Por ejemplo, en ausencia de fricción y otras fuerzas disipativas, la energía mecánica del péndulo (suma de la energía cinética y la energía potencial) permanece constante durante todo el movimiento. La energía cinética (cuando el péndulo está en el punto más bajo) y la energía potencial (cuando está en el punto más alto) se transforman una en otra, pero la suma total permanece igual. Por lo tanto, la simetría temporal del péndulo está relacionada con la conservación de la energía. En un sistema sin fuerzas externas, la energía total no cambia con el tiempo.
La simetría de paridad se refiere a la invariancia de las leyes físicas bajo una inversión espacial, es decir, si todas las coordenadas de un punto se invierten respecto a un centro: (����,����,����)→(−����,−����,−����). Por ejemplo, cuando un electrón se dirige hacia un blanco compuesto por protones, interactúa con los protones mediante la interacción electromagnética. Si consideramos las coordenadas del electrón y del protón, la transformación de paridad consiste en invertir las posiciones de las partículas. Para un electrón que se desplaza en una dirección dada, si cambiamos el signo de sus coordenadas espaciales, las leyes que rigen la dispersión elástica no cambian bajo esta transformación. Así, la simetría de paridad implica la conservación de la energía total y la cantidad de movimiento total.
La simetría de carga establece que las leyes de la física permanecen iguales si todas las cargas se invierten. Por ejemplo, si reemplazamos los electrones por positrones o los protones por antiprotones, los resultados de las interacciones permanecen sin cambios, y el proceso de aniquilación sigue siendo el mismo. De este modo, la aniquilación electrón-positrón verifica la conservación de la carga.
Las simetrías de gauge son transformaciones de los campos asociados a las partículas que no cambian las leyes físicas. Las teorías del electromagnetismo, de las interacciones débiles y fuertes son todas teorías de gauge. Por ejemplo, si modificamos los potenciales asociados a un campo, la simetría de gauge preserva las ecuaciones de movimiento y no cambia los observables físicos (como los campos eléctricos y magnéticos). Así, las simetrías de gauge están directamente relacionadas con la conservación de la carga eléctrica (en la electrodinámica cuántica), o con la conservación de la carga de color (en la cromodinámica cuántica).
Antes de Noether, se sabía que ciertas cantidades (como la energía o la cantidad de movimiento) se conservaban en los sistemas físicos, pero su teorema reveló que esta conservación se deriva directamente de las simetrías subyacentes de las leyes de la física.
Las leyes de conservación son pilares sobre los cuales se basa gran parte de la física moderna. Si las leyes de conservación fueran falsas, nuestra comprensión del universo, nuestra capacidad para predecir su comportamiento e incluso nuestra tecnología colapsarían, ya que dependen de estos principios fundamentales.
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