Descrição da imagem: Retrato de Amalie Emmy Noether (1882-1935), matemática alemã. O teorema de Noether afirma que as leis da física são simétricas, e essa simetria leva a leis de conservação. Fonte da imagem: domínio público.
Enunciado do teorema de Noether: "Para toda transformação infinitesimal que deixa inalterada a integral de ação, corresponde uma grandeza que se conserva."
O Teorema de Noether, demonstrado em 1915 e publicado em 1918, é um conceito fundamental em física teórica que estabelece uma conexão profunda entre as leis de conservação e as simetrias dos sistemas físicos.
Em outras palavras, "Se uma lei física permanece a mesma, mesmo após uma pequena transformação (como um deslocamento no espaço ou uma mudança no tempo), então existe uma quantidade que não muda ao longo do tempo, ou seja, uma grandeza que é conservada (energia, movimento, carga, etc.)."
Exemplo do pêndulo: a energia mecânica total E do pêndulo simples pode ser expressa como a soma da sua energia cinética (K) e da sua energia potencial (U) E=K+U.
A energia cinética K do pêndulo é dada por: K=½mv2 onde m é a massa do pêndulo e v é sua velocidade.
A energia potencial U devido à gravidade é dada por: U=mgh onde m é a massa do pêndulo, g é a aceleração devida à gravidade e h é a altura do pêndulo em relação à sua posição de equilíbrio.
A energia mecânica total E do pêndulo permanece constante, o que significa que mesmo que a energia cinética possa mudar dependendo da velocidade do pêndulo, ela será compensada por mudanças correspondentes na energia potencial para manter E constante.
Isso reflete a conservação da energia mecânica total do sistema, em conformidade com o teorema de Noether.
Nota: A quantidade conservada é uma grandeza física que permanece constante ao longo do tempo. Por exemplo, a energia, a quantidade de movimento (impulso) ou o momento angular são grandezas conservadas.
As simetrias não são apenas estéticas; elas são a base de muitos princípios fundamentais em física. Graças ao teorema de Noether, sabemos que cada simetria está associada a uma lei de conservação, por exemplo, a conservação da energia, a conservação da carga, a quantidade de movimento, o momento angular.
A simetria descreve as invariâncias ou invariantes nas leis da natureza. Em física, distinguem-se diferentes tipos de simetrias, e cada tipo tem implicações específicas.
A simetria de translação significa que as leis físicas permanecem inalteradas quando um sistema é deslocado no espaço sem rotação. Isso significa que os resultados das experiências não dependem da posição absoluta dos objetos no espaço. Os resultados serão os mesmos em Paris, em Nova York, na Terra, em Marte ou em qualquer lugar no cosmos. Se as leis da física não mudam quando deslocamos um sistema por vários quilômetros ou vários anos-luz, isso se traduz na conservação do vetor quantidade de movimento do sistema. Assim, a simetria de translação implica a conservação da quantidade de movimento.
A simetria de rotação afirma que as leis físicas são invariantes sob uma rotação em torno de um eixo fixo. Ou seja, se girarmos um sistema em torno de um ponto, as leis que regem seu comportamento permanecem as mesmas. Por exemplo, quando um planeta gira ao redor do Sol, seu momento angular permanece constante, caso nenhuma força externa atue para modificar sua trajetória. Assim, a simetria de rotação leva à conservação do momento angular.
A simetria temporal implica que as leis da física permanecem inalteradas sob uma translação no tempo. Isso significa que as leis eram as mesmas no passado, são as mesmas hoje e serão as mesmas daqui a milhões de anos. Por exemplo, na ausência de atrito e outras forças dissipativas, a energia mecânica do pêndulo (soma da energia cinética e da energia potencial) permanece constante durante todo o movimento. A energia cinética (quando o pêndulo está no ponto mais baixo) e a energia potencial (quando está no ponto mais alto) se transformam uma na outra, mas a soma total permanece a mesma. Assim, a simetria temporal do pêndulo está relacionada à conservação da energia. Em um sistema fechado, a energia total permanece constante ao longo do tempo.
A simetria de carga estipula que as leis da física permanecem as mesmas se todas as cargas forem invertidas. Por exemplo, se substituirmos os elétrons por pósitrons ou os prótons por antiprotons, os resultados das interações permanecem inalterados e o processo de aniquilação permanece o mesmo. Assim, a aniquilação elétron-pósitron verifica a conservação de carga.
As simetrias de gauge são transformações dos campos associados às partículas que não alteram as leis físicas. As teorias do eletromagnetismo, das interações fracas e fortes, são todas teorias de gauge. Por exemplo, se modificarmos os potenciais associados a um campo, a simetria de gauge preserva as equações de movimento e não altera as observáveis físicas (como os campos elétricos e magnéticos). Assim, as simetrias de gauge estão diretamente relacionadas à conservação da carga elétrica (na eletrodinâmica quântica), ou à conservação da carga de cor (na cromodinâmica quântica).
Antes de Noether, sabia-se que certas quantidades (como energia ou quantidade de movimento) eram conservadas em sistemas físicos, mas seu teorema revelou que essa conservação decorre diretamente das simetrias subjacentes das leis da física.
As leis de conservação são pilares sobre os quais repousa grande parte da física moderna. Se as leis de conservação fossem falsas, nossa compreensão do universo, nossa capacidade de prever seu comportamento, e até mesmo nossa tecnologia desabariam, pois elas se baseiam nesses princípios fundamentais.
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