Como pesar o sol?

Resumo científico

O artigo da Astronoo apresenta o método que permite determinar a massa do Sol a partir da observação do movimento orbital dos planetas. Aplicando a lei da gravitação universal de Newton e a segunda lei do movimento, mostra que a massa do planeta em órbita não intervém no cálculo. A medida da velocidade orbital da Terra e de sua distância ao Sol basta para deduzir a massa solar, estimada em cerca de 1,9885 × 10^30 quilogramas. O artigo confirma esse resultado pela lei de conservação da energia.

Como pesar o Sol?

Este artigo da Astronoo explica como os astrônomos conseguem determinar a massa do Sol sem nunca colocar uma balança em nossa estrela. A resposta está na observação do movimento dos planetas: graças à lei da gravitação universal de Newton, é possível relacionar a força que atrai um planeta em direção ao Sol à massa deste último. Medindo a velocidade orbital da Terra e sua distância ao Sol, obtém-se uma aceleração centrípeta muito pequena, da ordem de 0,006 m/s², que, no entanto, basta para manter nosso planeta em uma órbita estável. A massa do planeta se anula nas equações, o que torna o cálculo universal. A lei de conservação da energia fornece um segundo método independente, que leva ao mesmo resultado: cerca de 1,9885 × 10^30 quilogramas. Essa concordância confirma a validade da lei da gravitação universal e ilustra o poder da física newtoniana para sondar o Universo.

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Graças à força gravitacional entre o Sol e o planeta, podemos deduzir a massa do Sol.

A lei da gravitação universal

Para pesar o Sol, é preciso usar a lei da gravitação universal de Newton. Essa lei afirma que a força gravitacional entre dois objetos é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

A força gravitacional entre o Sol e o planeta é então dada pela seguinte equação:

\[ F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

\(G\) = constante de gravitação universal, igual a \(6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)
\(M\) = massa do Sol, em quilogramas
\(m\) = massa do planeta, em quilogramas
\(r\) = distância entre o Sol e o planeta, em metros

O cálculo da massa do Sol

Podemos também escrever a equação da segunda lei de Newton, que afirma que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração.

\[ F = m\,a \]

No caso do movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, a força gravitacional é a única força que atua sobre o planeta. Portanto, podemos substituir a expressão da força gravitacional na equação da segunda lei de Newton.

\[ m\,a = G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \]

Resolvendo essa equação, percebe-se que a massa do planeta \(m\) não tem nenhuma importância, e obtemos:

\[ m\,a\,r^{2} = G\,M\,m \] \[ M = \frac{a\,r^{2}}{G} \]

Essa equação nos permite calcular a massa do Sol \(M\) medindo a aceleração centrípeta da Terra ao redor do Sol e a distância entre o Sol e a Terra.

A velocidade da Terra ao redor do Sol é de cerca de \(30\,000\ \mathrm{m/s}\). Com a equação abaixo, podemos calcular a aceleração centrípeta da Terra.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} \]

A distância entre o Sol e a Terra é conhecida com grande precisão graças à paralaxe. A distância \(r\) entre a Terra e o Sol é de cerca de 150 milhões de quilômetros, ou seja, \(15 \times 10^{10}\) metros.

\[ a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{30\,000^{2}}{15 \times 10^{10}} = 0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}} \]

Esse valor de \(0{,}006\ \mathrm{m/s^{2}}\) é muito pequeno, mas suficiente para manter a Terra em uma órbita estável ao redor do Sol. Isso significa que a velocidade da Terra aumenta \(0{,}006\) metro por segundo a cada segundo. A aceleração centrípeta é o que obriga a Terra a seguir uma trajetória elíptica. Essa aceleração é tão fraca que não podemos senti-la. Se a aceleração centrípeta fosse nula, a Terra continuaria em linha reta.

Em 1795, o astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) usou esse método para estimar a massa do Sol em \(1{,}99 \times 10^{30}\) quilogramas. O valor exato é \(1{,}9885 \times 10^{30}\) quilogramas.

Confirmação da lei da gravitação universal

A conservação da energia

Outro método para pesar o Sol é usar a lei da conservação da energia. Essa lei afirma que a energia total de um sistema isolado é constante.

No caso do sistema Sol-Terra, a energia total é a soma da energia cinética \(E_k\) da Terra e da energia potencial gravitacional \(E_p\) entre a Terra e o Sol. A equação da conservação da energia para o sistema Terra-Sol é, portanto, a seguinte:

\[ E_k + E_p = \text{const} \]

A energia cinética da Terra é a energia de seu movimento. É proporcional à massa da Terra e ao quadrado de sua velocidade. A energia cinética da Terra é dada pela seguinte equação:

\[ E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^{2} \]

A energia potencial gravitacional entre a Terra e o Sol é a energia devida à força de gravidade entre os dois corpos. É proporcional à massa da Terra, à massa do Sol e ao inverso da distância entre os dois corpos. A energia potencial é dada pela seguinte equação:

\[ E_p = -G \, \frac{M \, m}{r} \]

Substituindo as expressões de \(E_k\) e \(E_p\) por suas fórmulas respectivas, obtemos a seguinte equação:

\[ \frac{1}{2} \, m \, v^{2} - G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

\(m\) é a massa da Terra, \(v\) é a velocidade da Terra, \(M\) é a massa do Sol e \(G\) é a constante gravitacional.

Se supomos que a velocidade da Terra é constante, então a energia cinética da Terra também é constante. A equação da conservação da energia torna-se então:

\[ -G \, \frac{M \, m}{r} = \text{const} \]

Multiplicando ambos os lados da equação por \(r\), obtemos:

\[ -G \, M \, m = \text{const} \cdot r \]

Dividindo ambos os lados da equação por \(-G \, m\), obtemos:

\[ M = -\frac{\text{const} \cdot r}{G \, m} \]

Assim, a constante \(\text{const}\) representa a energia total do sistema Terra-Sol. Como a energia cinética da Terra é constante, podemos expressar a constante em função de \(E_k\):

\[ \text{const} = E_k + E_p \]

Usando a expressão de \(E_p\), obtemos:

\[ \text{const} = E_k - G \, \frac{M \, m}{r} \]

Supondo que a velocidade da Terra é constante, obtemos:

\[ \text{const} = E_k + G \, \frac{M \, m}{r} \]

Se a velocidade da Terra é constante, então a quantidade \(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\) também deve ser constante. Podemos, portanto, escrever:

\[ E_k + G \, \frac{M \, m}{r} = 2 \, E_k \]

Resolvendo essa equação para \(\text{const}\), obtemos:

\[ \text{const} = 2 \, E_k \]

Para terminar, substituindo a constante por seu valor, obtemos:

\[ M = \frac{2 \, E_k \, r}{G} \]

Os resultados concordantes

Em 1832, o astrônomo britânico John Herschel (1792-1871) usou esse método para estimar a massa do Sol em \(1{,}99 \times 10^{30}\) quilogramas. O valor exato é \(1{,}9885 \times 10^{30}\) quilogramas.

Os dois métodos dão resultados idênticos, o que confirma a validade da lei da gravitação universal.

Tabela de comparação dos métodos para pesar o Sol

A tabela abaixo compara as duas abordagens apresentadas neste artigo para determinar a massa do Sol.

Comparação dos métodos para pesar o Sol
Característica	Método gravitacional	Método energético
Princípio	Lei da gravitação universal de Newton	Lei de conservação da energia
Grandezas medidas	Velocidade orbital e distância Terra-Sol	Energia cinética e potencial do sistema
Resultado	1,99 × 10^30 kg	1,99 × 10^30 kg

Referências

FAQ: Tudo sobre a massa do Sol

Como se mede a massa do Sol?

A massa do Sol é medida indiretamente observando o movimento dos planetas que orbitam ao seu redor. Aplicando a lei da gravitação universal de Newton, pode-se relacionar a força gravitacional à massa do Sol. Conhecendo a velocidade orbital e a distância de um planeta como a Terra, deduz-se a massa solar.

Por que a massa do planeta não intervém no cálculo?

Na equação da força gravitacional, a massa do planeta aparece tanto na expressão da força quanto na segunda lei de Newton. Igualando as duas, a massa do planeta se anula. O cálculo da massa do Sol depende, portanto, apenas da velocidade orbital, da distância e da constante gravitacional.

Qual é o valor exato da massa do Sol?

A massa do Sol é de aproximadamente 1,9885 × 10^30 quilogramas. Esse valor é conhecido com grande precisão graças às medições dos parâmetros orbitais dos planetas e às observações espaciais.

O que é a aceleração centrípeta da Terra?

A aceleração centrípeta é a aceleração dirigida para o centro da trajetória circular. Para a Terra ao redor do Sol, vale cerca de 0,006 m/s². Esse valor muito pequeno basta para manter nosso planeta em uma órbita estável.

Como a lei de conservação da energia permite pesar o Sol?

Expressando a energia total do sistema Terra-Sol como a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional, e supondo que essa energia é constante, pode-se isolar a massa do Sol. O resultado obtido é idêntico ao do método gravitacional.

Quem usou esses métodos pela primeira vez?

Friedrich Wilhelm Bessel em 1795 e John Herschel em 1832 usaram esses métodos para estimar a massa do Sol. Seus resultados, próximos de 1,99 × 10^30 quilogramas, confirmaram a validade da lei da gravitação universal.