Imagem: Para pesar o Sol, podemos usar a lei da gravitação universal de Newton. Crédito da foto: NASA
Na verdade, graças à força gravitacional entre o Sol e o planeta, podemos deduzir a massa do Sol.
Para pesar o Sol, você deve usar a lei da gravitação universal de Newton. Esta lei afirma que a força gravitacional entre dois objetos é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
A força gravitacional entre o Sol e o planeta é então dada pela seguinte equação:
F = G * M * m / r ^ 2
G = constante gravitacional universal, igual a 6,674 × 10^-11 N m^2 kg^-2
M = massa do Sol, em quilogramas
m = massa do planeta, em quilogramas
r = distância entre o Sol e o planeta, em metros
Também podemos escrever a equação da segunda lei de Newton, que afirma que a força é igual à massa vezes a aceleração. F = m * uma
No caso do movimento orbital de um planeta em torno do Sol, a força gravitacional é a única força que atua sobre o planeta. Portanto, podemos substituir a expressão da força gravitacional na equação da segunda lei de Newton.
m * a = G * M * m / r ^ 2
Ao resolver esta equação percebemos que a massa do planeta m não tem importância, então obtemos:
m*a*r^2 = G*M*m
M = a * r ^ 2 / G
Esta equação permite-nos calcular a massa do Sol M medindo a aceleração da Terra em torno do Sol e a distância entre o Sol e a Terra.
A velocidade da Terra em torno do Sol é de aproximadamente 30.000 m/s. Com a equação abaixo podemos calcular a aceleração centrípeta da Terra.
a_c = v ^ 2 / r
A distância entre o Sol e a Terra é conhecida com grande precisão graças à paralaxe. A distância r entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros ou 15 x 10^10 metros.
a_c = v ^ 2 / r = 30.000 ^ 2/15 x 10 ^ 10 = 0,006 m/s ^ 2
Este valor de 0,006 m/s^2 é muito pequeno, mas suficiente para manter a Terra numa órbita estável em torno do Sol. Isto significa que a velocidade da Terra aumenta 0,006 metros por segundo a cada segundo. A aceleração centrípeta é o que força a Terra a seguir uma trajetória elíptica. Essa aceleração é tão fraca que não podemos senti-la. Se a aceleração centrípeta fosse zero, a Terra continuaria em linha reta.
Em 1795, o astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) usou este método para estimar a massa do Sol em 1,99 × 10^30 quilogramas. O valor exato é 1,9885 × 10 ^ 30 quilogramas.
Outro método para pesar o Sol é usar a lei da conservação da energia. Esta lei afirma que a energia total de um sistema isolado é constante.
No caso do sistema Sol-Terra, a energia total é a soma da energia cinética E_k da Terra e da energia potencial gravitacional E_p entre a Terra e o Sol. A equação de conservação de energia para o sistema Terra-Sol é, portanto, a seguinte: E_k + E_p = const
A energia cinética da Terra é a energia do seu movimento. É proporcional à massa da Terra e ao quadrado de sua velocidade. A energia cinética da Terra é dada pela seguinte equação: E_k = 1/2 * m * v ^ 2
A energia potencial gravitacional entre a Terra e o Sol é a energia devida à força da gravidade entre os dois corpos. É proporcional à massa da Terra, à massa do Sol e ao inverso do quadrado da distância entre os dois corpos. A energia potencial é dada pela seguinte equação: E_p = -G*M*m/r
Substituindo as expressões de E_k e E_p pelas suas respectivas fórmulas, obtemos a seguinte equação: 1/2 * m * v ^ 2 - G * M * m / r = const
m é a massa da Terra, v é a velocidade da Terra, M é a massa do Sol e G é a constante gravitacional.
Se assumirmos que a velocidade da Terra é constante, então a energia cinética da Terra também é constante. A equação de conservação de energia então se torna: -G * M * m / r = const
Multiplicar ambos os lados da equação por r dá: -G * M * m = const * r
Dividindo ambos os lados da equação por -G * m, obtemos: M = - const * r / G * m
Assim, a constante “const” representa a energia total do sistema Terra-Sol. Como a energia cinética da Terra é constante, podemos expressar a constante em termos de E_k: const = E_k + E_p
Usando a expressão para E_p, obtemos: const = E_k - G * M * m / r
Supondo que a velocidade da Terra seja constante, obtemos: const = E_k + G * M * m / r
Se a velocidade da Terra for constante, então a quantidade E_k + G*M*m/r também deve ser constante. Podemos, portanto, escrever: E_k + G * M * m / r = 2 * E_k
Resolvendo esta equação para const, obtemos: const = 2 * E_k
Por fim, substituindo a constante pelo seu valor, obtemos: M = 2 * E_k * r / G
Em 1832, o astrônomo britânico John Herschel (1792-1871) usou este método para estimar a massa do Sol em 1,99 × 10^30 quilogramas. O valor exato é 1,9885 × 10 ^ 30 quilogramas.
Ambos os métodos dão resultados idênticos, o que confirma a validade da lei da gravitação universal.
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