Ecuación de la velocidad orbital de un planeta

Definición de la velocidad orbital

La velocidad orbital de un planeta es la velocidad a la que se desplaza a lo largo de su órbita alrededor de su estrella. Resulta del equilibrio entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga. La condición de equilibrio dinámico para una órbita circular requiere que la fuerza centrípeta \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) compense la fuerza gravitatoria \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \), donde \( G \) es la constante de gravitación, \( M \) la masa de la estrella y \( r \) el radio orbital.

Deducción de la ecuación

Al igualar \( F_c \) y \( F_g \), obtenemos:

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

La masa del planeta \( m \) se simplifica, lo que muestra que la velocidad orbital no depende de la masa del planeta:

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

Esta relación fundamental expresa la dependencia de la velocidad orbital con la distancia a la estrella. Un planeta cercano al Sol (como Mercurio) se mueve más rápido, mientras que un planeta lejano (como Neptuno) se mueve más lentamente.

Interpretación física

Esta ecuación ilustra las leyes empíricas de Johannes Kepler (1571–1630) y la teoría gravitacional de Isaac Newton (1643–1727). La velocidad orbital disminuye con la raíz cuadrada de la distancia, siguiendo \( v \propto r^{-1/2} \). Determina el período orbital \( T \) según la tercera ley de Kepler: \( T^2 \propto r^3 \).

Para cada planeta del Sistema Solar, la velocidad orbital media puede calcularse a partir de la masa solar \( M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) y del radio orbital medio expresado en metros.

Fuente: Jet Propulsion Laboratory – Solar System Dynamics.

Aplicaciones y limitaciones

La ecuación \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) supone una órbita perfectamente circular y descuida las perturbaciones gravitatorias entre los planetas. En realidad, las órbitas son elípticas: la velocidad varía con la posición, siendo mayor en el perihelio y menor en el afelio. Esta variación sigue la ley de las áreas de Kepler: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.

Ordenes de magnitud y significado energético

La energía orbital total (cinética + potencial) de un planeta en una órbita circular es:

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

El valor negativo indica que el planeta está ligado gravitacionalmente a su estrella: debe suministrarse una energía \( \geq |E| \) para escapar, es decir, alcanzar la velocidad de escape \( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \), igual a \(\sqrt{2}\) veces la velocidad orbital.