La ecuación de la relatividad general (1915)

Formulación matemática de la ecuación de Einstein

Una ecuación tensorial

La ecuación de la relatividad general se expresa matemáticamente mediante tensores y cálculo tensorial. Un tensor puede verse como una generalización de un vector a varias dimensiones \( \rlap{\nwarrow}\nearrow \). De manera simplificada, la ecuación básica se conoce como ecuación de Einstein y puede escribirse del modo siguiente: \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)

Los términos de esta ecuación se descomponen así:

• \(R_{\mu\nu}\): tensor de Ricci (a menudo llamado tensor de curvatura), que describe la curvatura del espacio-tiempo en función de la distribución de materia y energía.
• \(R\): escalar de curvatura, obtenido por contracción del tensor de Ricci con el tensor métrico; representa la curvatura global del espacio-tiempo en un punto.
• \(g_{\mu\nu}\): tensor métrico, que define la métrica del espacio-tiempo y describe cómo las distancias y los intervalos temporales son deformados por la curvatura.
• \(\Lambda\): constante cosmológica, término introducido por Einstein en 1917 para hacer el Universo estático, y luego reintroducido para dar cuenta de la aceleración de la expansión cósmica.
• \(G\): constante gravitacional, aproximadamente \(6{,}67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\).
• \(c\): velocidad de la luz en el vacío, aproximadamente \(299\,792\,458\ \mathrm{m/s}\).
• \(T_{\mu\nu}\): tensor energía-impulso, que representa la distribución de materia y energía en el espacio-tiempo.
• \(\mu\), \(\nu\): índices de espacio-tiempo que recorren las cuatro dimensiones (una temporal y tres espaciales); indican la componente considerada de cada tensor.

N.B.:
La expresión alemana «allgemeine Relativitätstheorie», de la que el nombre «relatividad general» es un calco, significa en realidad «teoría general de la relatividad»: es la teoría la que es general (incluye la gravitación y los sistemas de referencia acelerados), no la relatividad misma.

El significado físico de la ecuación

Geometría y materia

Esta ecuación relaciona la geometría del espacio-tiempo (lado izquierdo) con la distribución de la materia y la energía en el Universo (lado derecho). Describe cómo la materia y la energía determinan la curvatura del espacio-tiempo, y cómo esta curvatura influye en el movimiento de los objetos y la propagación de la luz. En otras palabras, la masa curva el espacio-tiempo, y la curvatura del espacio-tiempo guía el movimiento de la masa.

La curvatura del espacio-tiempo

La curvatura del espacio-tiempo no es una simple deformación geométrica: modifica la trayectoria de los objetos y la propagación de la luz. Los objetos masivos siguen geodésicas, es decir, los caminos más cortos en un espacio curvo. Por eso la Tierra orbita alrededor del Sol: sigue una geodésica en el espacio-tiempo curvado por la masa solar.

Predicciones y verificaciones de la relatividad general

Las predicciones notables

La ecuación de la relatividad general ha conducido a predicciones extraordinarias, en particular la existencia de agujeros negros, las ondas gravitacionales y las desviaciones de la luz alrededor de objetos masivos. También ha modificado profundamente nuestra comprensión de la gravedad y de la estructura del Universo a gran escala. La relatividad general es una de las teorías más confirmadas y verificadas de la física moderna.

Tabla de las principales verificaciones experimentales de la relatividad general

Varias observaciones han confirmado las predicciones de la relatividad general. La precesión de la órbita de Mercurio, la desviación de la luz por el Sol durante el eclipse de 1919, las ondas gravitacionales, constituyen otras tantas pruebas de la validez de la teoría.