Ecuaciones de la rotación planetaria: entre momento angular y equilibrio gravitacional

El movimiento de rotación planetaria

Ejemplos de velocidades de rotación en el Sistema Solar

Para ilustrar esta ecuación, tomemos algunos ejemplos característicos del Sistema Solar. La Tierra, cuyo radio medio es de \(r = 6.371 \text{ km}\) y el período de rotación \(T = 24 \text{ h}\), presenta una velocidad ecuatorial de aproximadamente \(v = \frac{2\pi r}{T} ≈ 1.670 \text{ km/h}\).
El planeta Marte, más pequeño con un radio de \(r = 3.389 \text{ km}\) y un período de rotación de \(T = 24 \text{ h } 36 \text{ min}\), gira más lentamente, alcanzando su velocidad ecuatorial unos \(868 \text{ km/h}\) en el ecuador marciano.

Influencia del radio y del período de rotación

Esta relación muestra que la velocidad de rotación depende directamente del radio del planeta y de la duración de su día sidéreo. Un planeta más grande o que gira más rápido tiene una velocidad de rotación más alta en el ecuador. Por el contrario, un planeta compacto o lento tendrá una velocidad lineal más baja.

Variación de la velocidad con la latitud

Finalmente, es importante señalar que esta velocidad solo es válida para el ecuador. A medida que nos acercamos a los polos, la distancia al eje de rotación disminuye y la velocidad de rotación se convierte en \(v(\phi) = \omega R \cos(\phi)\), donde \(\phi\) es la latitud. Así, aunque el período de rotación sigue siendo idéntico para todos los puntos del globo (24 h para la Tierra), la velocidad lineal disminuye continuamente hasta volverse nula en los polos.

El papel del momento cinético

El movimiento de rotación de un planeta alrededor de su eje está gobernado por su momento cinético \(L\), definido por la relación fundamental: \((L = I \omega)\) donde \(I\) es el momento de inercia y \(\omega\) es la velocidad angular. Esta ecuación expresa la distribución de la masa alrededor del eje y la rapidez de rotación. Un planeta en equilibrio conserva su momento cinético mientras ninguna fuerza externa ejerza un par sobre él.

Variaciones e implicaciones de la velocidad de rotación

Velocidad nula en los polos

En los polos Norte y Sur, la velocidad de rotación es en realidad nula, ya que estos puntos coinciden con el eje de rotación de la Tierra. Así, aunque la Tierra gira sobre sí misma, los polos permanecen inmóviles con respecto a este eje: no describen ningún círculo, a diferencia de los puntos ubicados a latitudes más bajas.

La evolución de la rotación terrestre a lo largo del tiempo

Hace unos 600 millones de años, el día terrestre duraba aproximadamente 22 horas. Esto indica que la Tierra giraba más rápido que hoy. El frenado progresivo de la rotación se debe a la interacción gravitacional con la Luna (un fenómeno conocido como frenado de marea).

Los límites de la ecuación \(v = \frac{2\pi r}{T}\)

Esta relación simple no es universal. Se aplica bien a los cuerpos sólidos en rotación uniforme, como los planetas telúricos, pero no a las estrellas, cuya estructura fluida genera una rotación diferencial. En otras palabras, el período de rotación depende de la latitud: las regiones ecuatoriales giran más rápido que las zonas polares.

Ejemplo: la rotación diferencial del Sol

En el caso del Sol, el período de rotación varía de aproximadamente 25 días en el ecuador a 34 días en los polos. Esta diferencia refleja la naturaleza plasmática del Sol, donde las capas no son rígidas. Su velocidad de rotación ecuatorial alcanza aproximadamente 2 km/s.

Interés físico de la relación \(v = \frac{2\pi r}{T}\)

El conocimiento de la velocidad de rotación de un astro es esencial para comprender sus características físicas y sus procesos dinámicos. Está directamente relacionado con la duración del día sidéreo y proporciona pistas sobre la evolución interna y la historia del planeta.

Por ejemplo, en Júpiter, la rotación extremadamente rápida (menos de 10 horas) genera inmensas células de convección y tormentas ciclónicas gigantes, de las cuales la más famosa es la Gran Mancha Roja.

El vínculo entre gravedad y rotación

La rotación planetaria resulta de un equilibrio entre la atracción gravitacional y la fuerza centrífuga. El equilibrio dinámico se alcanza cuando la fuerza centrífuga en la superficie compensa parcialmente la gravedad: \((\frac{G M m}{R^2} - m \omega^2 R \approx 0)\) donde \(G\) es la constante gravitacional, \(M\) es la masa del planeta, \(m\) es la masa de un cuerpo en la superficie, y \(R\) es el radio planetario. Esta relación muestra que la rotación rápida de un planeta tiende a disminuir la gravedad aparente en el ecuador.

Consecuencias dinámicas y estabilidad

Los planetas no conservan eternamente su velocidad de rotación. Bajo el efecto de las fuerzas de marea, su momento cinético puede transferirse a su satélite o a su órbita. Así, la Tierra se ralentiza progresivamente, y la Luna se aleja unos 3,8 cm por año. Esta disipación de energía tiende hacia un estado de rotación síncrona, como la observada entre la Luna y la Tierra.

La estabilidad rotacional también depende de la distribución de masa interna. Los planetas fluidos como Júpiter o Saturno presentan un fuerte achatamiento debido a su alta velocidad angular \((\omega)\), mientras que los planetas rocosos, más rígidos, resisten más a esta deformación.

Origen del momento cinético planetario

Durante la formación del disco protoplanetario, las colisiones y los colapsos locales impusieron un movimiento preferencial de rotación. El momento cinético global se distribuyó entre el Sol, los planetas y sus satélites. Esta distribución, ya analizada por Isaac Newton (1643-1727) y formalizada más tarde por Laplace (1749-1827), explica la rotación casi uniforme de los cuerpos planetarios alrededor de un mismo plano eclíptico.

Ecuaciones fundamentales de la rotación

Se define la velocidad lineal de un punto en la superficie como: \((v = \omega R)\) y el período de rotación \(T\) como: \((\omega = \frac{2\pi}{T})\)
Estas ecuaciones relacionan las magnitudes observables y permiten calcular la duración del día planetario. Por ejemplo, Júpiter, con un radio \(R = 71.492 \text{ km}\) y \(T = 9,93 \text{ h}\), tiene una velocidad ecuatorial \(v ≈ 12,6 \text{ km/s}\), mucho mayor que la de la Tierra \((0,465 \text{ km/s})\).

N.B.:
Los efectos giroscópicos de un planeta en rotación explican la precesión de los equinoccios y las variaciones lentas de la inclinación del eje. Estos fenómenos influyen directamente en el clima a lo largo de escalas de tiempo de varios miles de años (ciclos de Milankovitch).

Fuente: NASA Planetary Fact Sheet, Astronoo.