Equações da rotação planetária: entre momento angular e equilíbrio gravitacional

O movimento de rotação planetária

Exemplos de velocidades de rotação no Sistema Solar

Para ilustrar esta equação, vamos tomar alguns exemplos característicos do Sistema Solar. A Terra, cujo raio médio é de \(r = 6.371 \text{ km}\) e o período de rotação \(T = 24 \text{ h}\), apresenta uma velocidade equatorial de aproximadamente \(v = \frac{2\pi r}{T} ≈ 1.670 \text{ km/h}\).
O planeta Marte, menor com um raio de \(r = 3.389 \text{ km}\) e um período de rotação de \(T = 24 \text{ h } 36 \text{ min}\), gira mais lentamente, com sua velocidade equatorial atingindo cerca de \(868 \text{ km/h}\) no equador marciano.

Influência do raio e do período de rotação

Esta relação mostra que a velocidade de rotação depende diretamente do raio do planeta e da duração do seu dia sideral. Um planeta maior ou que gira mais rápido tem uma velocidade de rotação mais alta no equador. Por outro lado, um planeta compacto ou lento terá uma velocidade linear mais baixa.

Variação da velocidade com a latitude

Finalmente, é importante notar que esta velocidade só é válida para o equador. À medida que nos aproximamos dos polos, a distância ao eixo de rotação diminui e a velocidade de rotação torna-se \(v(\phi) = \omega R \cos(\phi)\), onde \(\phi\) é a latitude. Assim, embora o período de rotação permaneça idêntico para todos os pontos do globo (24 h para a Terra), a velocidade linear diminui continuamente até se tornar nula nos polos.

O papel do momento cinético

O movimento de rotação de um planeta em torno do seu eixo é governado pelo seu momento cinético \(L\), definido pela relação fundamental: \((L = I \omega)\) onde \(I\) é o momento de inércia e \(\omega\) é a velocidade angular. Esta equação expressa a distribuição da massa em torno do eixo e a rapidez da rotação. Um planeta em equilíbrio conserva o seu momento cinético enquanto nenhuma força externa exercer um torque sobre ele.

Variações e implicações da velocidade de rotação

Velocidade nula nos polos

Nos polos Norte e Sul, a velocidade de rotação é, na verdade, nula, pois estes pontos coincidem com o eixo de rotação da Terra. Assim, embora a Terra gire sobre si mesma, os polos permanecem imóveis em relação a este eixo: não descrevem nenhum círculo, ao contrário dos pontos localizados em latitudes mais baixas.

A evolução da rotação terrestre ao longo do tempo

Há cerca de 600 milhões de anos, o dia terrestre durava cerca de 22 horas. Isto indica que a Terra girava mais rapidamente do que hoje. O abrandamento progressivo da rotação deve-se à interação gravitacional com a Lua (um fenómeno conhecido como travagem de maré).

Os limites da equação \(v = \frac{2\pi r}{T}\)

Esta relação simples não é universal. Aplica-se bem a corpos sólidos em rotação uniforme, como os planetas telúricos, mas não a estrelas, cuja estrutura fluida gera uma rotação diferencial. Em outras palavras, o período de rotação depende da latitude: as regiões equatoriais giram mais rápido do que as zonas polares.

Exemplo: a rotação diferencial do Sol

No caso do Sol, o período de rotação varia de cerca de 25 dias no equador a 34 dias nos polos. Esta diferença reflete a natureza plasmática do Sol, onde as camadas não são rígidas. Sua velocidade de rotação equatorial atinge cerca de 2 km/s.

Interesse físico da relação \(v = \frac{2\pi r}{T}\)

O conhecimento da velocidade de rotação de um astro é essencial para compreender as suas características físicas e os seus processos dinâmicos. Está diretamente relacionado com a duração do dia sideral e fornece pistas sobre a evolução interna e a história do planeta.

Por exemplo, em Júpiter, a rotação extremamente rápida (menos de 10 horas) gera imensas células de convecção e tempestades ciclónicas gigantes, das quais a mais famosa é a Grande Mancha Vermelha.

A ligação entre gravidade e rotação

A rotação planetária resulta de um equilíbrio entre a atração gravitacional e a força centrífuga. O equilíbrio dinâmico é atingido quando a força centrífuga na superfície compensa parcialmente a gravidade: \((\frac{G M m}{R^2} - m \omega^2 R \approx 0)\) onde \(G\) é a constante gravitacional, \(M\) é a massa do planeta, \(m\) é a massa de um corpo na superfície, e \(R\) é o raio planetário. Esta relação mostra que a rotação rápida de um planeta tende a diminuir a gravidade aparente no equador.

Consequências dinâmicas e estabilidade

Os planetas não conservam eternamente a sua velocidade de rotação. Sob o efeito das forças de maré, o seu momento cinético pode ser transferido para o seu satélite ou para a sua órbita. Assim, a Terra está a abrandar progressivamente, e a Lua afasta-se cerca de 3,8 cm por ano. Esta dissipação de energia tende para um estado de rotação síncrona, como a observada entre a Lua e a Terra.

A estabilidade rotacional também depende da distribuição de massa interna. Planetas fluidos como Júpiter ou Saturno apresentam um forte achatamento devido à sua alta velocidade angular \((\omega)\), enquanto os planetas rochosos, mais rígidos, resistem mais a esta deformação.

Origem do momento cinético planetário

Durante a formação do disco protoplanetário, as colisões e os colapsos locais impuseram um movimento preferencial de rotação. O momento cinético global foi distribuído entre o Sol, os planetas e os seus satélites. Esta distribuição, já analisada por Isaac Newton (1643-1727) e posteriormente formalizada por Laplace (1749-1827), explica a rotação quase uniforme dos corpos planetários em torno de um mesmo plano eclíptico.

Equações fundamentais da rotação

Define-se a velocidade linear de um ponto na superfície como: \((v = \omega R)\) e o período de rotação \(T\) como: \((\omega = \frac{2\pi}{T})\)
Estas equações relacionam as grandezas observáveis e permitem calcular a duração do dia planetário. Por exemplo, Júpiter, com um raio \(R = 71.492 \text{ km}\) e \(T = 9,93 \text{ h}\), tem uma velocidade equatorial \(v ≈ 12,6 \text{ km/s}\), muito superior à da Terra \((0,465 \text{ km/s})\).

N.B.:
Os efeitos giroscópicos de um planeta em rotação explicam a precessão dos equinócios e as variações lentas da inclinação do eixo. Estes fenómenos influenciam diretamente o clima ao longo de escalas de tempo de vários milhares de anos (ciclos de Milankovitch).

Fonte: NASA Planetary Fact Sheet, Astronoo.