O segredo da velocidade da luz: o embalamento eletromagnético

As 4 equações de Maxwell

O conjunto dos fenómenos eletromagnéticos reduz-se a um sistema de quatro relações fundamentais: as equações de Maxwell. Por si só, estas equações predizem tudo sobre a dinâmica dos campos elétrico e magnético.

1. Lei de Gauss para a eletricidade: \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) (A divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga \(\rho\) → uma carga elétrica cria um campo elétrico à sua volta)
   
2. Lei de Gauss para o magnetismo: \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) (O fluxo magnético líquido através de uma superfície fechada é nulo → as linhas do campo magnético formam laços fechados, não existem monopolos magnéticos)
   
3. Lei de Faraday: \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) (Toda a variação do campo magnético no tempo cria um campo elétrico rotacional)
   
4. Lei de Ampère–Maxwell: \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (Um campo elétrico variável cria por sua vez um campo magnético)

As duas últimas equações são a chave do mistério do embalamento. Um campo magnético variável no tempo (\( \partial \mathbf{B}/\partial t \)) cria um campo elétrico rotacional. Simetricamente, um campo elétrico variável (\( \partial \mathbf{E}/\partial t \)) cria um campo magnético rotacional. É este acoplamento dinâmico que se auto-sustenta ao longo da sua propagação.

Maxwell e a descoberta da velocidade da luz

Quando James Clerk Maxwell (1831–1879) unificou as leis da eletricidade e do magnetismo no século XIX, descobriu um fenómeno surpreendente: uma perturbação local de um campo elétrico ou magnético cria uma onda que se propaga sozinha no vazio, sem necessidade de energia adicional.

A equação de onda e a previsão da velocidade da luz

Maxwell mostrou que esta onda se desloca a uma velocidade finita, determinada por duas propriedades do vazio:

A fórmula \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \) dá esta velocidade.

• μ₀: capacidade do vazio para transportar um campo magnético
• ε₀: capacidade do vazio para deixar passar um campo elétrico

A luz, uma onda eletromagnética

Combinando as leis de Faraday e de Ampère-Maxwell, obteve uma equação de onda. Introduzindo os valores de μ₀ e ε₀, encontrou: \( c \approx 300\,000 \) km/s, a velocidade da luz!

Conclusão de Maxwell

Em 1865, Maxwell concluiu que a luz é uma onda eletromagnética, tal como as ondas de rádio ou as micro-ondas. Uma descoberta que revolucionou a física.

N.B.:
Na época de Maxwell (1865), a velocidade da luz ainda não era conhecida com grande precisão. As medições experimentais disponíveis, realizadas nomeadamente por Armand Fizeau (1819-1896) e Albert Michelson (1852-1931), permitiam estimar \( v \) com uma margem de erro significativa. O cálculo teórico de Maxwell deu portanto um valor muito próximo do que seria confirmado mais tarde, o que constituiu uma validação impressionante da sua teoria.

Cálculo da velocidade de propagação dos campos E e B

Quando Maxwell reuniu as leis da eletricidade e do magnetismo, descobriu uma estrutura que se auto-sustenta assim que se perturba localmente um campo elétrico ou magnético. Este «embalamento» é estável, sem amplificação, e não possui qualquer fonte de energia interna. O vazio transporta a onda sem a alimentar.

A equação de onda e a previsão da velocidade da luz

Este ciclo dinâmico entre \( \mathbf{B} \) e \( \mathbf{E} \) produz uma estrutura que se propaga no vazio a velocidade finita.

O termo \(\mu_0 \varepsilon_0\) da quarta equação fixa a velocidade da luz: \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \)

• \( \mu_0 \) = Constante de permeabilidade do vazio ou capacidade do vazio para transportar um campo magnético
• \( \varepsilon_0 \) = Constante de permitividade elétrica do vazio ou capacidade do vazio para deixar «passar» um campo elétrico

Obtenção da equação de onda eletromagnética

Combinando matematicamente as leis de Faraday e de Ampère-Maxwell (tomando o rotacional de uma e utilizando a outra), elimina-se o acoplamento para obter uma equação que descreve cada campo separadamente.

Equação de onda para o campo elétrico

Para o campo elétrico, encontra-se: \( \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \) É a forma clássica da equação de onda. O termo \( \mu_0 \varepsilon_0 \) encontra-se à frente da derivada segunda temporal. Em física matemática, a equação de onda padrão escreve-se \( \nabla^2 \psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \), onde \( v \) é a velocidade de propagação.

Identificação com a velocidade de uma onda

Por identificação imediata: \( \frac{1}{v^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \)

Resultado do cálculo: A luz é uma onda eletromagnética

Maxwell calculou este valor com as constantes conhecidas da sua época:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N} \cdot \text{A}^{-2} \)
• \( \varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^{2} \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} \)

O resultado é espantoso: \( v \approx 2.998 \times 10^{8} \, \text{m/s} \), a velocidade das ondas corresponde à velocidade da luz medida experimentalmente!

N.B.:
Esta demonstração matemática supõe o vazio, isto é, a ausência de cargas e correntes (\( \rho = 0, \, \mathbf{J} = 0 \)). O raciocínio consiste em tomar o rotacional da lei de Faraday e utilizar a identidade vetorial \( \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \), combinando-a com a lei de Gauss (\( \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \) no vazio) e a lei de Ampère-Maxwell. Obtém-se assim a mesma equação de onda para o campo magnético \( \mathbf{B} \). Esta previsão teórica de James Clerk Maxwell (1831-1879) em 1865 foi confirmada experimentalmente por Heinrich Hertz (1857-1894) em 1887, quando produziu as primeiras ondas de rádio (ondas eletromagnéticas).

Limite das equações de Maxwell

Maxwell descobriu que as ondas eletromagnéticas se propagam a uma certa velocidade no vazio, mas a demonstração de que é uma velocidade limite. Maxwell ainda não conhecia a relatividade. Não tinha, portanto, qualquer razão para pensar que fosse uma velocidade limite universal. A noção de limite universal só apareceu com a relatividade restrita, muito depois de Maxwell.

Só com a relatividade restrita (1905) de Albert Einstein (1879-1955) a velocidade da luz no vazio \( c \) foi reconhecida como a **velocidade máxima à qual a informação, a energia ou qualquer interação física se pode propagar**. Por outras palavras, \( c \) é um **limite fundamental imposto pela estrutura do espaço-tempo**, e não uma simples consequência das equações de Maxwell.

O que é preciso reter

Os fenómenos eletromagnéticos obedecem às equações de Maxwell e resumem-se assim:

• Uma carga elétrica (carga elétrica) cria um campo elétrico à sua volta.
• Um campo magnético variável no tempo engendra um campo elétrico.
• Um campo elétrico variável no tempo cria por sua vez um campo magnético.
• Estes dois campos auto-sustentam-se, propagando-se no espaço sob a forma de ondas eletromagnéticas à velocidade da luz.

Assim, a luz e todas as ondas eletromagnéticas não são mais do que a manifestação deste fenómeno de auto-sustentação dos campos elétrico e magnético no vazio.