Das Geheimnis der Lichtgeschwindigkeit: das elektromagnetische Durchgehen

Die 4 Maxwell-Gleichungen

Die Gesamtheit der elektromagnetischen Phänomene lässt sich auf ein System von vier grundlegenden Beziehungen zurückführen: die Maxwell-Gleichungen. Für sich allein sagen diese Gleichungen alles über die Dynamik elektrischer und magnetischer Felder voraus.

1. Gaußsches Gesetz für die Elektrizität: \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) (Die Divergenz des elektrischen Feldes ist proportional zur Ladungsdichte \(\rho\) → eine elektrische Ladung erzeugt ein elektrisches Feld um sich herum)
   
2. Gaußsches Gesetz für den Magnetismus: \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) (Der magnetische Nettofluss durch eine geschlossene Fläche ist null → die magnetischen Feldlinien bilden geschlossene Schleifen, es gibt keine magnetischen Monopole)
   
3. Faradaysches Gesetz: \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) (Jede zeitliche Änderung des magnetischen Feldes erzeugt ein rotierendes elektrisches Feld)
   
4. Ampère-Maxwell-Gesetz: \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (Ein veränderliches elektrisches Feld erzeugt seinerseits ein magnetisches Feld)

Die letzten beiden Gleichungen sind der Schlüssel zum Geheimnis des Durchgehens. Ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld (\( \partial \mathbf{B}/\partial t \)) erzeugt ein rotierendes elektrisches Feld. Symmetrisch dazu erzeugt ein veränderliches elektrisches Feld (\( \partial \mathbf{E}/\partial t \)) ein rotierendes magnetisches Feld. Es ist diese dynamische Kopplung, die sich während ihrer gesamten Ausbreitung selbst erhält.

Maxwell und die Entdeckung der Lichtgeschwindigkeit

Als James Clerk Maxwell (1831–1879) im 19. Jahrhundert die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus vereinte, entdeckte er ein überraschendes Phänomen: Eine lokale Störung eines elektrischen oder magnetischen Feldes erzeugt eine Welle, die sich ganz von selbst im Vakuum ausbreitet, ohne zusätzliche Energie.

Die Wellengleichung und die Vorhersage der Lichtgeschwindigkeit

Maxwell zeigte, dass sich diese Welle mit einer endlichen Geschwindigkeit bewegt, die durch zwei Eigenschaften des Vakuums bestimmt wird:

Die Formel \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \) gibt diese Geschwindigkeit an.

• μ₀: Fähigkeit des Vakuums, ein magnetisches Feld zu übertragen
• ε₀: Fähigkeit des Vakuums, ein elektrisches Feld durchzulassen

Das Licht, eine elektromagnetische Welle

Durch Kombination des Faradayschen und des Ampère-Maxwell-Gesetzes erhielt er eine Wellengleichung. Setzt man die Werte von μ₀ und ε₀ ein, so findet man: \( c \approx 300\,000 \) km/s, die Lichtgeschwindigkeit!

Maxwells Schlussfolgerung

Im Jahr 1865 schloss Maxwell, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist, ebenso wie Radiowellen oder Mikrowellen. Eine Entdeckung, die die Physik revolutionierte.

Anm.:
Zu Maxwells Zeit (1865) war die Lichtgeschwindigkeit noch nicht mit großer Genauigkeit bekannt. Die verfügbaren experimentellen Messungen, insbesondere von Armand Fizeau (1819-1896) und Albert Michelson (1852-1931), ermöglichten eine Schätzung von \( v \) mit einer erheblichen Fehlermarge. Maxwells theoretische Berechnung ergab daher einen Wert, der dem später bestätigten sehr nahe kam, was eine beeindruckende Bestätigung seiner Theorie darstellte.

Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Felder E und B

Als Maxwell die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus zusammenführte, entdeckte er eine Struktur, die sich selbst erhält, sobald man lokal ein elektrisches oder magnetisches Feld stört. Dieses „Durchgehen“ ist stabil, ohne Verstärkung, und besitzt keine innere Energiequelle. Das Vakuum trägt die Welle, ohne sie zu nähren.

Die Wellengleichung und die Vorhersage der Lichtgeschwindigkeit

Diese dynamische Schleife zwischen \( \mathbf{B} \) und \( \mathbf{E} \) erzeugt eine Struktur, die sich im Vakuum mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet.

Der Term \(\mu_0 \varepsilon_0\) der vierten Gleichung legt die Lichtgeschwindigkeit fest: \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \)

• \( \mu_0 \) = Konstante der Permeabilität des Vakuums oder Fähigkeit des Vakuums, ein magnetisches Feld zu übertragen
• \( \varepsilon_0 \) = Konstante der elektrischen Permittivität des Vakuums oder Fähigkeit des Vakuums, ein elektrisches Feld „durchzulassen“

Gewinnung der elektromagnetischen Wellengleichung

Durch mathematische Kombination des Faradayschen und des Ampère-Maxwell-Gesetzes (indem man die Rotation der einen bildet und die andere verwendet) eliminiert man die Kopplung und erhält eine Gleichung, die jedes Feld einzeln beschreibt.

Wellengleichung für das elektrische Feld

Für das elektrische Feld findet man: \( \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \) Dies ist die klassische Form der Wellengleichung. Der Term \( \mu_0 \varepsilon_0 \) steht vor der zweiten zeitlichen Ableitung. In der mathematischen Physik schreibt man die Standard-Wellengleichung als \( \nabla^2 \psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \), wobei \( v \) die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist.

Identifikation mit der Geschwindigkeit einer Welle

Durch unmittelbare Identifikation: \( \frac{1}{v^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \)

Ergebnis der Berechnung: Licht ist eine elektromagnetische Welle

Maxwell berechnete diesen Wert mit den zu seiner Zeit bekannten Konstanten:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N} \cdot \text{A}^{-2} \)
• \( \varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^{2} \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} \)

Das Ergebnis ist verblüffend: \( v \approx 2.998 \times 10^{8} \, \text{m/s} \), die Geschwindigkeit der Wellen entspricht der experimentell gemessenen Lichtgeschwindigkeit!

Anm.:
Diese mathematische Herleitung setzt das Vakuum voraus, das heißt die Abwesenheit von Ladungen und Strömen (\( \rho = 0, \, \mathbf{J} = 0 \)). Die Argumentation besteht darin, die Rotation des Faradayschen Gesetzes zu bilden und die Vektoridentität \( \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \) zu verwenden, kombiniert mit dem Gaußschen Gesetz (\( \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \) im Vakuum) und dem Ampère-Maxwell-Gesetz. Man erhält so dieselbe Wellengleichung für das magnetische Feld \( \mathbf{B} \). Diese theoretische Vorhersage von James Clerk Maxwell (1831-1879) aus dem Jahr 1865 wurde experimentell von Heinrich Hertz (1857-1894) im Jahr 1887 bestätigt, als er die ersten Radiowellen (elektromagnetische Wellen) erzeugte.

Grenzen der Maxwell-Gleichungen

Maxwell fand, dass sich elektromagnetische Wellen im Vakuum mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreiten, aber der Nachweis, dass dies eine Grenzgeschwindigkeit ist. Maxwell kannte die Relativitätstheorie noch nicht. Er hatte daher keinen Grund anzunehmen, dass dies eine universelle Grenzgeschwindigkeit sei. Der Begriff einer universellen Grenze entstand erst mit der speziellen Relativitätstheorie, lange nach Maxwell.

Erst mit der speziellen Relativitätstheorie (1905) von Albert Einstein (1879-1955) wurde die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum \( c \) als die **maximale Geschwindigkeit anerkannt, mit der sich Information, Energie oder jede physikalische Wechselwirkung ausbreiten kann**. Mit anderen Worten: \( c \) ist eine **grundlegende Grenze, die durch die Struktur der Raumzeit auferlegt wird**, und nicht eine bloße Konsequenz der Maxwell-Gleichungen.

Was man sich merken sollte

Die elektromagnetischen Phänomene gehorchen den Maxwell-Gleichungen und lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Eine elektrische Ladung (elektrische Ladung) erzeugt ein elektrisches Feld um sich herum.
• Ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld.
• Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld erzeugt seinerseits ein magnetisches Feld.
• Diese beiden Felder erhalten sich selbst und breiten sich im Raum als elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus.

So sind Licht und alle elektromagnetischen Wellen nichts anderes als die Manifestation dieses Phänomens der Selbsterhaltung elektrischer und magnetischer Felder im Vakuum.