Die Gleichung für die Umlaufgeschwindigkeit eines Planeten

Definition der Umlaufgeschwindigkeit

DortUmlaufgeschwindigkeitDie Geschwindigkeit eines Planeten ist die Geschwindigkeit, mit der er sich auf seiner Umlaufbahn um seinen Stern bewegt. Es ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischenSchwerkraftund dieZentrifugalkraft. Die dynamische Gleichgewichtsbedingung für eine Kreisbahn erfordert, dass die Zentripetalkraft \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) die Gravitationskraft \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) kompensiert, wobei \( G \) die Gravitationskonstante, \( M \) die Masse des Sterns und \( r \) der Orbitalradius.

Herleitung der Gleichung

Durch Gleichsetzung von \( F_c \) und \( F_g \) erhalten wir:

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

Die Masse \( ​​m \) des Planeten wird eliminiert, was zeigt, dass die Umlaufgeschwindigkeit nicht von der Masse des Planeten abhängt:

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

Dieser grundlegende Zusammenhang drückt die Abhängigkeit der Umlaufgeschwindigkeit als Funktion der Entfernung vom Stern aus. Ein sonnennaher Planet (wie Merkur) hat eine hohe Umlaufgeschwindigkeit, während sich ein weiter entfernter Planet (wie Neptun) langsamer bewegt.

Physikalische Interpretation

Diese Gleichung veranschaulicht die empirischen Gesetze vonJohannes Kepler(1571-1630) und die Gravitationstheorie vonIsaac Newton(1643-1727). Die Umlaufgeschwindigkeit nimmt mit der Quadratwurzel der Entfernung ab und folgt dem Gesetz \( v \propto r^{-1/2} \). Es bedingt die Umdrehungsperiode \( T \) durch das dritte Keplersche Gesetz: \( T^2 \propto r^3 \).

Somit lässt sich für jeden Planeten im Sonnensystem die durchschnittliche Umlaufgeschwindigkeit aus der Sonnenmasse \( ​​M_\odot = 1,989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) und dem durchschnittlichen Umlaufradius ausgedrückt in Metern berechnen.

Quelle :Jet Propulsion Laboratory – Dynamik des Sonnensystems.

Anwendungen und Einschränkungen

Die Gleichung \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) geht von einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn aus und vernachlässigt Gravitationsstörungen zwischen Planeten. In Wirklichkeit sind die Umlaufbahnen elliptisch: Die Geschwindigkeit variiert je nach Position, größer beiPerihelund schwächer beiAphelie. Diese Variation folgt dem Keplerschen Flächengesetz: Der Strahlvektor überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten.

Größenordnungen und energetische Bedeutung

Die gesamte Umlaufenergie (kinetische + potentielle) eines Planeten in einer kreisförmigen Umlaufbahn beträgt:

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

Der negative Wert zeigt an, dass der Planet gravitativ mit seinem Stern verbunden ist: Es ist notwendig, Energie \( \geq |E| \) bereitzustellen, um ihn freizusetzen, also den Planeten zu erreichenFreigabegeschwindigkeit\( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \), oder \(\sqrt{2}\) mal die Umlaufgeschwindigkeit.