惑星の公転速度の方程式

軌道速度の定義

そこには軌道速度惑星の速度は、その星の周りの軌道に沿って移動する速度です。 それは次のバランスから生まれます。重力そして遠心力。 円軌道の動的平衡条件では、向心力 \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) が重力 \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) を補償することになります。ここで、 \( G \) は重力定数、 \( M \) は星の質量、 \( r \) 軌道半径。

方程式の導出

\( F_c \) と \( F_g \) を等しくすると、次のようになります。

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

惑星の質量 \( m \) が消去されると、公転速度が惑星の質量に依存しないことがわかります。

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

この基本的な関係は、星からの距離の関数としての公転速度の依存性を表します。 太陽に近い惑星 (水星など) は公転速度が速く、遠い惑星 (海王星など) はゆっくりと動きます。

物理的解釈

この方程式は、次の経験則を示しています。ヨハネス・ケプラー(1571-1630) と重力理論アイザック・ニュートン（1643-1727）。 公転速度は、法則 \( v \propto r^{-1/2} \) に従い、距離の平方根に応じて減少します。 これは、ケプラーの第 3 法則によって回転周期 \( T \) を条件付けします。 \( T^2 \propto r^3 \)。

したがって、太陽系の各惑星の平均公転速度は、太陽質量 \( M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) とメートルで表される平均公転半径から計算できます。

ソース ：ジェット推進研究室 – 太陽系ダイナミクス。

アプリケーションと制限事項

方程式 \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) は完全な円軌道を仮定し、惑星間の重力擾乱を無視しています。 実際には、軌道は楕円形です。速度は位置に応じて変化し、位置に応じて大きくなります。近日点そしてより弱いアフェリア。 このバリエーションはケプラーの面積の法則に従います。つまり、光線ベクトルは同じ時間で等しい面積を掃引します。

桁違いの規模とエネルギーの重要性

円軌道上の惑星の総軌道エネルギー (運動 + ポテンシャル) は次のとおりです。

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

負の値は、惑星がその星と重力で結びついていることを示します。惑星を解放するには、つまり、惑星に到達するには、エネルギー \( \geq |E| \) を提供する必要があります。リリーススピード\( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \)、または \(\sqrt{2}\) 倍の軌道速度。