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最終更新日: 2025 年 3 月 18 日

運動量の力学

運動量のダイナミクス

画像の説明: ロケットは飛行中、燃料を消費して質量を失います。ただし、その運動量は推力の影響で変化し、力学の基本原理の一般化された形式の関連性が強調されます。

モメンタムとは何ですか?

そこには動きの量オブジェクトの定義は次のようになります。 $$ \vec{p} = m \vec{v} $$

古典力学における動き

古典力学, ニュートンの第 2 法則は、物体にかかる正味の力を表します。 $$ \vec{F} = m \vec{a} $$ この法則は、力が物体にどのように作用し、加速度を生成してその運動を変化させるかを説明します。これは、慣性座標系 (加速されていない) および光よりもはるかに低い速度で有効です。

ただし、この定式化では、物体の質量 \(m\) が一定であると仮定しています。のためにダイナミクスのより一般的な説明特に質量が変化する系 (ロケットなど) では、運動量 \( \vec{p} \) に基づいたより基本的なアプローチを使用する必要があります。

運動量定理

「ガリレオ座標系では、系の運動量の時間に関する導関数は、この系に加えられる外力の合計に等しい。」

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} $$

力学原理の一般的な定式化

そこには運動量の力学力がシステムにどのように作用してその動きを変えるかを説明する物理学の基本概念です。

方程式 (∑F = ma + (dm/dt) * v) は、燃料を噴射するロケットなどの可変質量システムに適用されるニュートンの第 2 法則の形式です。

$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

この方程式は質量の変化を考慮しています。燃料が燃焼してガスが排出されると質量が継続的に減少するため、ロケットの動きを説明するのに特に役立ちます。 燃料が噴射されると、ある程度の運動量が伴います。ロケットが離陸するには、燃料の噴出方向と反対の方向に推進力を得る必要があります。 この運動量の伝達により、ロケットの加速と離陸が可能になります。

言い換えれば、推力は速度の継続的な増加を生成し、その結果、質量の減少にもかかわらず、運動量、つまり (dm/dt) * v が増加します。 したがって、���� は���� に比例するため、速度の増加は運動量の増加につながります。 そして、���� は m に比例するため、質量が減少すると運動量 (dm/dt) * v が減少します。

運動量が増加する理由を理解する鍵は、ロケットの速度が質量の減少よりも速く増加するということです。

ダイナミクス計算の詳細

この式を時間に関して導出すると、次が得られます。 $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) $$ 積ルールを適用すると、次のようになります。 $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$ 加速度は \( \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \) で定義されるため、この式は次のようになります。 $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

実際の例

力学方程式は、質量が変化する場合、追加項 \( \frac{dm}{dt} \vec{v} \) を考慮する必要があることを示しています。この用語は次のことを説明する上で非常に重要です。

運動量力学はニュートンの法則をより一般的に再定式化したもので、質量が変化するシステムを理解するために不可欠です。宇宙力学、空気力学、流体力学において重要な役割を果たします。

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