運動量の力学

モメンタムとは何ですか?

そこには動きの量オブジェクトの定義は次のようになります。 $$ \vec{p} = m \vec{v} $$

• \( \vec{p} \) は kg·m/s で表される運動量です。
• \( m \) は物体の質量 (kg)、
• \( \vec{v} \) は物体の速度 (m/s) です。

古典力学における動き

で古典力学, ニュートンの第 2 法則は、物体にかかる正味の力を表します。 $$ \vec{F} = m \vec{a} $$ この法則は、力が物体にどのように作用し、加速度を生成してその運動を変化させるかを説明します。これは、慣性座標系 (加速されていない) および光よりもはるかに低い速度で有効です。

ただし、この定式化では、物体の質量 \(m\) が一定であると仮定しています。のためにダイナミクスのより一般的な説明特に質量が変化する系 (ロケットなど) では、運動量 \( \vec{p} \) に基づいたより基本的なアプローチを使用する必要があります。

運動量定理

「ガリレオ座標系では、系の運動量の時間に関する導関数は、この系に加えられる外力の合計に等しい。」

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} $$

• \( \vec{p} \) はシステムの運動量です。
• dt は時間の微小な要素、つまり時間の非常に小さな変化を指定します。
• sum(F) は外力を表します。

力学原理の一般的な定式化

そこには運動量の力学力がシステムにどのように作用してその動きを変えるかを説明する物理学の基本概念です。

方程式 (∑F = ma + (dm/dt) * v) は、燃料を噴射するロケットなどの可変質量システムに適用されるニュートンの第 2 法則の形式です。

$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

• ∑F：系に作用する外力の和（ガスの噴出により発生する推力＋重力＋空気抵抗）。
• ma: システムの質量と加速度の積。
• (dm/dt) ※v：運動量の変化を表す項（p=mv) システムの質量の変化によるもの。

この方程式は質量の変化を考慮しています。燃料が燃焼してガスが排出されると質量が継続的に減少するため、ロケットの動きを説明するのに特に役立ちます。 燃料が噴射されると、ある程度の運動量が伴います。ロケットが離陸するには、燃料の噴出方向と反対の方向に推進力を得る必要があります。 この運動量の伝達により、ロケットの加速と離陸が可能になります。

言い換えれば、推力は速度の継続的な増加を生成し、その結果、質量の減少にもかかわらず、運動量、つまり (dm/dt) * v が増加します。 したがって、���� は���� に比例するため、速度の増加は運動量の増加につながります。 そして、���� は m に比例するため、質量が減少すると運動量 (dm/dt) * v が減少します。

運動量が増加する理由を理解する鍵は、ロケットの速度が質量の減少よりも速く増加するということです。

ダイナミクス計算の詳細

この式を時間に関して導出すると、次が得られます。 $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) $$ 積ルールを適用すると、次のようになります。 $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$ 加速度は \( \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \) で定義されるため、この式は次のようになります。 $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

• ∑F: システムに作用する外力の合計。ニュートン (N) で表されます。
• ma: 物体の質量 (kg) と重心の加速度 (m/s²) を換算したもの。
• dm/dt: 単位時間あたりのシステムの質量の変化 (kg/s)、
• v: 重心の瞬間速度 (m/s) です。

実際の例

力学方程式は、質量が変化する場合、追加項 \( \frac{dm}{dt} \vec{v} \) を考慮する必要があることを示しています。この用語は次のことを説明する上で非常に重要です。

• 飛行中のロケットの推力。推進ガスの噴出により機体の質量が減少します。
• ターボジェットは、可変質量を備えた動的システムです。流入する流体の質量は、燃焼と加速後に流出する流体の質量とは異なります。この差は、飛行機を推進するために必要な推力を生成するために不可欠です。
• クラゲの瞬間質量を変更することにより、水を放出して流体中を移動する推進力。クラゲは、鐘に含まれていた水を吐き出すため、質量を失います。
• 熱気球の質量は、それに含まれる空気の温度の変化によって変化します。この現象は外部との空気交換につながり、総質量が変化し、飛行のダイナミクスに影響を与えます。
• 爆発する星 (超新星) から物質が放出され、質量の変化によって外層の軌道と速度が変化します。
• 氷河から分離する氷山。質量の減少が全体の安定性と動きに影響を与えます。
• …

運動量力学はニュートンの法則をより一般的に再定式化したもので、質量が変化するシステムを理解するために不可欠です。宇宙力学、空気力学、流体力学において重要な役割を果たします。