Description de l'image : Au cours de son vol, une fusée perd de la masse en consommant son carburant. Cependant, sa quantité de mouvement évolue sous l'effet de la poussée, mettant en évidence la pertinence de la forme généralisée du principe fondamental de la dynamique.
La quantité de mouvement d'un objet est définie par : $$ \vec{p} = m \vec{v} $$
En mécanique classique, la deuxième loi de Newton représente la force nette appliquée à un objet : $$ \vec{F} = m \vec{a} $$ Cette loi décrit comment la force agit sur un objet pour modifier son mouvement en produisant une accélération. Elle est valable dans des référentiels inertiels (non accélérés) et pour des vitesses bien inférieures à celle de la lumière.
Cependant, cette formulation suppose que la masse \( m \) de l'objet est constante. Pour une description plus générale de la dynamique, notamment dans les systèmes où la masse varie (comme une fusée), il est nécessaire d'utiliser une approche plus fondamentale basée sur la quantité de mouvement \( \vec{p} \).
"Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système."
$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} $$
La dynamique de la quantité de mouvement est un concept fondamental en physique qui décrit comment les forces agissent sur un système pour modifier son mouvement.
L'équation (∑F = ma + (dm/dt) * v) est une forme de la deuxième loi de Newton appliquée à un système à masse variable, comme une fusée qui éjecte du carburant.
$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$
Cette équation prend en compte une variation de la masse. Elle est particulièrement utile pour décrire le mouvement d'une fusée, car sa masse diminue continuellement en brûlant son carburant et en expulsant des gaz. Lorsque le carburant est éjecté, il emporte avec lui une certaine quantité de mouvement. Pour que la fusée décolle, elle doit gagner en quantité de mouvement dans la direction opposée à celle de l'éjection du carburant. C'est ce transfert de quantité de mouvement qui permet à la fusée d'accélérer et de décoller.
En d'autres termes, la poussée génère une augmentation continue de la vitesse, ce qui, à son tour, entraîne une augmentation de la quantité de mouvement, c'est-à-dire (dm/dt) * v, malgré la diminution de la masse. L'augmentation de la vitesse entraîne donc une augmentation de la quantité de mouvement, car 𝑝 est proportionnelle à 𝑣. Et la diminution de la masse entraîne une diminution de la quantité de mouvement (dm/dt) * v, car 𝑝 est proportionnelle à m.
La clé pour comprendre pourquoi la quantité de mouvement augmente réside dans le fait que la vitesse de la fusée augmente plus rapidement que la masse ne diminue.
En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient : $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) $$ En appliquant la règle du produit : $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$ Comme l'accélération est définie par \( \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \), cette équation devient : $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$
L'équation de la dynamique montre que lorsque la masse varie, il faut prendre en compte un terme supplémentaire \( \frac{dm}{dt} \vec{v} \). Ce terme est crucial pour expliquer :
La dynamique de la quantité de mouvement est une reformulation plus générale de la loi de Newton, essentielle pour comprendre les systèmes où la masse varie. Elle joue un rôle clé en mécanique spatiale, en aérodynamique et en mécanique des fluides.
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