Dynamique de la Quantité de Mouvement

Qu'est-ce que la Quantité de Mouvement ?

La quantité de mouvement d'un objet est définie par: $$ \vec{p} = m \vec{v} $$

$ \vec{p} $ est la quantité de mouvement, exprimée en kg·m/s,
$ m $ est la masse de l'objet en kg,
$ \vec{v} $ est la vitesse de l'objet en m/s.

Le mouvement en mécanique classique

En mécanique classique, la deuxième loi de Newton représente la force nette appliquée à un objet: $$ \vec{F} = m \vec{a} $$ Cette loi décrit comment la force agit sur un objet pour modifier son mouvement en produisant une accélération. Elle est valable dans des référentiels inertiels (non accélérés) et pour des vitesses bien inférieures à celle de la lumière.

Cependant, cette formulation suppose que la masse $ m $ de l'objet est constante. Pour une description plus générale de la dynamique, notamment dans les systèmes où la masse varie (comme une fusée), il est nécessaire d'utiliser une approche plus fondamentale basée sur la quantité de mouvement $ \vec{p} $.

Théorème de la Quantité de Mouvement

"Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système."

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} $$

$ \vec{p} $ est la quantité de mouvement du système.
dt désigne un élément infinitésimal de temps, c'est-à-dire une très petite variation du temps.
sum(F) représente les forces extérieures.

Formulation générale du principe de la dynamique

La dynamique de la quantité de mouvement est un concept fondamental en physique qui décrit comment les forces agissent sur un système pour modifier son mouvement.

L'équation (∑F = ma + (dm/dt) * v) est une forme de la deuxième loi de Newton appliquée à un système à masse variable, comme une fusée qui éjecte du carburant.

$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

∑F: La somme des forces extérieures agissant sur le système (poussée générée par l'éjection des gaz + gravité + résistance de l'air).
ma: Le produit de la masse du système par son accélération.
(dm/dt) * v: Le terme qui représente la variation de la quantité de mouvement (p=mv) due à la variation de la masse du système.

Cette équation prend en compte une variation de la masse. Elle est particulièrement utile pour décrire le mouvement d'une fusée, car sa masse diminue continuellement en brûlant son carburant et en expulsant des gaz. Lorsque le carburant est éjecté, il emporte avec lui une certaine quantité de mouvement. Pour que la fusée décolle, elle doit gagner en quantité de mouvement dans la direction opposée à celle de l'éjection du carburant. C'est ce transfert de quantité de mouvement qui permet à la fusée d'accélérer et de décoller.

En d'autres termes, la poussée génère une augmentation continue de la vitesse, ce qui, à son tour, entraîne une augmentation de la quantité de mouvement, c'est-à-dire (dm/dt) * v, malgré la diminution de la masse. L'augmentation de la vitesse entraîne donc une augmentation de la quantité de mouvement, car �� est proportionnelle à ��. Et la diminution de la masse entraîne une diminution de la quantité de mouvement (dm/dt) * v, car �� est proportionnelle à m.

La clé pour comprendre pourquoi la quantité de mouvement augmente réside dans le fait que la vitesse de la fusée augmente plus rapidement que la masse ne diminue.

Détail du calcul de la dynamique

En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient: $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) $$ En appliquant la règle du produit: $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$ Comme l'accélération est définie par $ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $, cette équation devient: $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} + \frac{dm}{dt} \vec{v} $$

∑F: somme des forces extérieures qui s'exerce sur le système, exprimée en newtons (N),
ma: masse de l'objet (en kg) par l’accélération du centre de masse (en m/s²),
dm/dt: variation de la masse du système par unité de temps (en kg/s),
v: est la vitesse instantanée du centre de masse (en m/s).

Exemples dans le monde réel

L'équation de la dynamique montre que lorsque la masse varie, il faut prendre en compte un terme supplémentaire $ \frac{dm}{dt} \vec{v} $. Ce terme est crucial pour expliquer:

La poussée d'une fusée en vol, où la masse de l'engin diminue à cause de l'éjection du gaz de propulsion.
Le turboréacteur est un système dynamique à masse variable: la masse de fluide entrant diffère de la masse sortante après combustion et accélération. Cette différence est essentielle pour générer la poussée nécessaire à la propulsion de l’avion.
La propulsion des méduses qui expulsent de l'eau pour se déplacer dans un fluide en modifiant leur masse instantanée. La méduse perd de la masse, car elle expulse l’eau que sa cloche contenait
La masse d’un ballon à air chaud change en raison de la variation de température de l’air qu’il contient. Ce phénomène entraîne des échanges d’air avec l’extérieur, modifiant la masse totale et affectant la dynamique du vol.
L'éjection de matière par une étoile en explosion (supernova), où la variation de masse modifie la trajectoire et la vitesse des couches externes.
Les icebergs se détachant d’un glacier, où la perte de masse influe sur la stabilité et le déplacement de l’ensemble.
…

La dynamique de la quantité de mouvement est une reformulation plus générale de la loi de Newton, essentielle pour comprendre les systèmes où la masse varie. Elle joue un rôle clé en mécanique spatiale, en aérodynamique et en mécanique des fluides.