El secreto de la velocidad de la luz: el embalamiento electromagnético

Las 4 ecuaciones de Maxwell

El conjunto de los fenómenos electromagnéticos se reduce a un sistema de cuatro relaciones fundamentales: las ecuaciones de Maxwell. Por sí solas, estas ecuaciones lo predicen todo sobre la dinámica de los campos eléctrico y magnético.

1. Ley de Gauss para la electricidad: \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) (La divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga \(\rho\) → una carga eléctrica crea un campo eléctrico a su alrededor)
   
2. Ley de Gauss para el magnetismo: \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) (El flujo magnético neto a través de una superficie cerrada es nulo → las líneas del campo magnético forman bucles cerrados, no existen monopolos magnéticos)
   
3. Ley de Faraday: \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) (Toda variación del campo magnético en el tiempo crea un campo eléctrico rotacional)
   
4. Ley de Ampère–Maxwell: \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (Un campo eléctrico variable crea a su vez un campo magnético)

Las dos últimas ecuaciones son la clave del misterio del embalamiento. Un campo magnético variable en el tiempo (\( \partial \mathbf{B}/\partial t \)) crea un campo eléctrico rotacional. Simétricamente, un campo eléctrico variable (\( \partial \mathbf{E}/\partial t \)) crea un campo magnético rotacional. Es este acoplamiento dinámico el que se auto-sostiene a lo largo de su propagación.

Maxwell y el descubrimiento de la velocidad de la luz

Cuando James Clerk Maxwell (1831–1879) unificó las leyes de la electricidad y del magnetismo en el siglo XIX, descubrió un fenómeno sorprendente: una perturbación local de un campo eléctrico o magnético crea una onda que se propaga por sí sola en el vacío, sin necesidad de energía adicional.

La ecuación de onda y la predicción de la velocidad de la luz

Maxwell mostró que esta onda se desplaza a una velocidad finita, determinada por dos propiedades del vacío:

La fórmula \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \) da esta velocidad.

• μ₀: capacidad del vacío para transportar un campo magnético
• ε₀: capacidad del vacío para dejar pasar un campo eléctrico

La luz, una onda electromagnética

Combinando las leyes de Faraday y de Ampère-Maxwell, obtuvo una ecuación de onda. Introduciendo los valores de μ₀ y ε₀, encontró: \( c \approx 300\,000 \) km/s, ¡la velocidad de la luz!

Conclusión de Maxwell

En 1865, Maxwell concluyó que la luz es una onda electromagnética, al igual que las ondas de radio o las microondas. Un descubrimiento que revolucionó la física.

N.B.:
En la época de Maxwell (1865), la velocidad de la luz aún no se conocía con gran precisión. Las mediciones experimentales disponibles, realizadas en particular por Armand Fizeau (1819-1896) y Albert Michelson (1852-1931), permitían estimar \( v \) con un margen de error significativo. El cálculo teórico de Maxwell dio por tanto un valor muy cercano al que se confirmaría más tarde, lo que constituyó una validación impresionante de su teoría.

Cálculo de la velocidad de propagación de los campos E y B

Cuando Maxwell ensambló las leyes de la electricidad y del magnetismo, descubrió una estructura que se auto-sostiene en cuanto se perturba localmente un campo eléctrico o magnético. Este «embalamiento» es estable, sin amplificación, y no posee ninguna fuente de energía interna. El vacío transporta la onda sin alimentarla.

La ecuación de onda y la predicción de la velocidad de la luz

Este bucle dinámico entre \( \mathbf{B} \) y \( \mathbf{E} \) produce una estructura que se propaga en el vacío a velocidad finita.

El término \(\mu_0 \varepsilon_0\) de la cuarta ecuación fija la velocidad de la luz: \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \)

• \( \mu_0 \) = Constante de permeabilidad del vacío o capacidad del vacío para transportar un campo magnético
• \( \varepsilon_0 \) = Constante de permitividad eléctrica del vacío o capacidad del vacío para dejar «pasar» un campo eléctrico

Obtención de la ecuación de onda electromagnética

Combinando matemáticamente las leyes de Faraday y de Ampère-Maxwell (tomando el rotacional de una y utilizando la otra), se elimina el acoplamiento para obtener una ecuación que describe cada campo por separado.

Ecuación de onda para el campo eléctrico

Para el campo eléctrico, se encuentra: \( \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \) Es la forma clásica de la ecuación de onda. El término \( \mu_0 \varepsilon_0 \) se encuentra delante de la derivada segunda temporal. En física matemática, la ecuación de onda estándar se escribe \( \nabla^2 \psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \), donde \( v \) es la velocidad de propagación.

Identificación con la velocidad de una onda

Por identificación inmediata: \( \frac{1}{v^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \)

Resultado del cálculo: La luz es una onda electromagnética

Maxwell calculó este valor con las constantes conocidas de su época:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N} \cdot \text{A}^{-2} \)
• \( \varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^{2} \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} \)

El resultado es asombroso: \( v \approx 2.998 \times 10^{8} \, \text{m/s} \), ¡la velocidad de las ondas corresponde a la velocidad de la luz medida experimentalmente!

N.B.:
Esta demostración matemática supone el vacío, es decir, la ausencia de cargas y corrientes (\( \rho = 0, \, \mathbf{J} = 0 \)). El razonamiento consiste en tomar el rotacional de la ley de Faraday y utilizar la identidad vectorial \( \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \), combinándola con la ley de Gauss (\( \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \) en el vacío) y la ley de Ampère-Maxwell. Se obtiene así la misma ecuación de onda para el campo magnético \( \mathbf{B} \). Esta predicción teórica de James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1865 fue confirmada experimentalmente por Heinrich Hertz (1857-1894) en 1887, cuando produjo las primeras ondas de radio (ondas electromagnéticas).

Límite de las ecuaciones de Maxwell

Maxwell encontró que las ondas electromagnéticas se propagan a una cierta velocidad en el vacío, pero la demostración de que es una velocidad límite. Maxwell aún no conocía la relatividad. Por lo tanto, no tenía ninguna razón para pensar que fuera una velocidad límite universal. La noción de límite universal solo apareció con la relatividad especial, mucho después de Maxwell.

Solo con la relatividad especial (1905) de Albert Einstein (1879-1955) la velocidad de la luz en el vacío \( c \) fue reconocida como la **velocidad máxima a la que la información, la energía o cualquier interacción física puede propagarse**. En otras palabras, \( c \) es un **límite fundamental impuesto por la estructura del espacio-tiempo**, y no una simple consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.

Lo que hay que recordar

Los fenómenos electromagnéticos obedecen a las ecuaciones de Maxwell y se resumen así:

• Una carga eléctrica (carga eléctrica) crea un campo eléctrico a su alrededor.
• Un campo magnético variable en el tiempo engendra un campo eléctrico.
• Un campo eléctrico variable en el tiempo crea a su vez un campo magnético.
• Estos dos campos se auto-sostienen, propagándose en el espacio en forma de ondas electromagnéticas a la velocidad de la luz.

Así, la luz y todas las ondas electromagnéticas no son otra cosa que la manifestación de este fenómeno de auto-sostenimiento de los campos eléctrico y magnético en el vacío.