Wie der Abstand Erde-Sonne zum ersten Mal gemessen wurde

Relative Größe des Sonnensystems

Von relativen Abständen zum absoluten Maßstab

Zu Beginn des 17. Jahrhunderts hatten die Wissenschaftler keine Vorstellung von den Dimensionen des Sonnensystems. Dank der Gesetze von Johannes Kepler (1571−1630) kannte man die relativen Abstände der fünf damaligen Planeten in Bezug auf die Sonne. Mit anderen Worten, man kannte die Abstände in einer unbekannten Einheit, dem Abstand Erde-Sonne, aber man kannte den Abstand Erde-Sonne in km nicht.

Das dritte Keplersche Gesetz

Das 3. Gesetz von Johannes Kepler, formuliert 1618, zeigt die Beziehung zwischen der großen Halbachse der Umlaufbahn eines Planeten und seiner Umlaufzeit um die Sonne (Tabelle daneben). Der Kubus der großen Halbachse ist gleich dem Quadrat der Umlaufzeit (T2 / R3 = k), was die Umlaufbahn des Merkur bei 0,39 AE (astronomische Einheit, viel später 1958 geschaffen) und die des Saturn bei 9,55 astronomischen Einheiten von der Sonne positioniert.

N.B.:
Das erste Keplersche Gesetz „Gesetz der Umlaufbahnen" (veröffentlicht 1609 in Astronomia nova), besagt, dass alle umlaufenden Körper elliptische Bahnen beschreiben, wobei die Sonne einen der Brennpunkte einnimmt.
Das zweite Keplersche Gesetz „Flächensatz" (veröffentlicht 1609 in Astronomia nova), besagt, dass in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstrichen werden.
Das dritte Keplersche Gesetz „Gesetz der Umlaufzeiten" (veröffentlicht 1619 in Harmonices Mundi), besagt, dass das Quadrat der siderischen Umlaufzeit eines Planeten (Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen vor einem Stern) direkt proportional zum Kubus der großen Halbachse der elliptischen Bahn des Planeten ist.

Umlaufbahneigenschaften der Planeten

Die folgende Tabelle zeigt die Umlaufbahndaten der Planeten des Sonnensystems und veranschaulicht das dritte Keplersche Gesetz.

N.B.:
T² / R³ = k: der theoretische Ausdruck von k wurde 1687 dank der Gleichungen der universellen Gravitation bekannt, die von Isaac Newton (1643−1727) formuliert wurden.

Eine einzige Messung für das gesamte System

Die Messung eines einzigen Abstands (Planet-Sonne) liefert den Maßstab des gesamten Systems und damit den von den Astronomen lang erwarteten Abstand Erde-Sonne in km. Im Jahr 1687 entdeckt Isaac Newton das Gravitationsgesetz, das ihm erlaubt, die drei Keplerschen Gesetze zu erklären.

Messung des Abstands Erde-Mars

Das Prinzip der Parallaxe

So paradox es auch erscheinen mag, war es durch die Messung des Abstands Erde-Mars, dass die Astronomen und Mathematiker des 17. Jahrhunderts sich eine Vorstellung von den Dimensionen des Sonnensystems machen konnten. Zu dieser Zeit bestand die Beobachtung hauptsächlich in der Messung der Winkel der von der Erde aus gesehenen Himmelsobjekte. Danach lieferten trigonometrische Berechnungen die Abstände.

Wie wurde der Abstand Erde-Mars zum ersten Mal berechnet?

Die gleichzeitige Beobachtung Paris-Cayenne

Im September 1672 maßen Jean-Dominique Cassini (1625−1712), Jean Picard, genannt Abbé Picard (1620−1682), und Jean Richer (1630−1696) die horizontale Parallaxe des Mars, als dieser Planet der Erde am nächsten kam (Mars befindet sich dann, von der Erde aus gesehen, auf der der Sonne gegenüberliegenden Seite). Um diese Messung durchzuführen, müssen die Positionen des Mars relativ zu den viel weiter entfernten Sternen von zwei sehr weit entfernten Punkten aus beobachtet werden.

Cassini von Paris und Richer von Cayenne maßen die Parallaxe des Mars. Diese auf die durch den Äquatorradius der Erde gebildete Basis bezogene Messung ergibt eine horizontale Parallaxe von p=24" ⇒ Erde-Mars = 54 746 000 km. Um die Parallaxe des Mars aus den von Paris und Cayenne aus gemachten Beobachtungen zu bestimmen, ist es notwendig, den Unterschied zwischen den Breitengraden und den Unterschied zwischen den Längengraden von Paris und Cayenne mit größtmöglicher Genauigkeit zu kennen.

Die Bestimmung der Längengrade

Der Breitengrad ist leicht zu messen, aber der Längengrad ist zu dieser Zeit viel schwieriger.

Cassini präzisiert jedoch, dass er den Längengrad mit mehreren Methoden gemessen hat, um einen Mittelwert zu erhalten:

• Die Beobachtung einer Sonnenfinsternis, deren verschiedene Phasen in Stunden des Pariser Meridians in astronomischen Sammlungen vermerkt sind.
• Die Beobachtung der Finsternisse der galileischen Jupitermonde, die mehrmals täglich auftreten.
• Die Beobachtung der Meridianhöhen der Sonne.

Das Ganze ergibt einen Mittelwert von 3 h 39 min ±10 min. Richer und Cassini beobachten daher den Planeten Mars während des Monats September 1672. Mars wird in die Nähe eines Sterns des Wassermanns (Ψ Aquarii) ziehen. Auf dem Bild entspricht der Punkt C' dem Breitengrad von C (Cayenne) und dem Längengrad von P (Paris). Cassini verwendet zwei gleichzeitige Beobachtungen des Mars, eine von P, die andere von C'. Der Winkel Paris Cayenne vom Mars aus ist der Winkel α=14". Aber die Parallaxe des Mars ist der Winkel, unter dem Mars den Radius der Erde sieht. Die Proportionalitätsberechnung zwischen dem Winkel Paris Cayenne und der Parallaxe des Mars ergibt 24" ± 5".

Die Berechnung des Abstands Erde-Mars

Sobald die Parallaxe des Mars bekannt ist, ermöglicht die Trigonometrie, den Abstand Erde-Mars (D) als Funktion des Radius (R) der Erde zu erhalten:
D = R×3600/24×180/π d. h. 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

N.B.:
Der Breitengrad ist die Nord- oder Südposition eines Punktes auf der Erde; mit anderen Worten, es ist der Winkel zur Äquatorebene (von 0° am Äquator bis 90° am Nordpol und -90° am Südpol).
Der Längengrad ist die Ost-West-Position eines Punktes auf der Erde, was einem Zeitversatz zur Ebene des Greenwich-Meridians (Nullmeridian, Längengrad 0°) entspricht. Dieser Versatz variiert von +180° nach Westen bis -180° nach Osten.

Berechnung des Abstands Erde-Sonne

Vom Abstand Erde-Mars zur astronomischen Einheit

Sobald der Abstand Erde-Mars bekannt war, konnte der Abstand Erde-Sonne dank des dritten Keplerschen Gesetzes berechnet werden.

Cassini wusste, dass Mars bei \(0{,}38\ \text{AE} = \frac{3}{8}\ \text{AE}\) stand. \[ \text{Erde-Sonne} = \frac{8}{3} \times 8600\,R = 23\,000\,R \pm 5\,000\ \text{Erdradien}. \] Cassini gibt uns den Wert des Erdradius in Meilen: \(R = 1500\) Meilen.

Anwendung des dritten Keplerschen Gesetzes

Zu dieser Zeit gab es je nach Region eine große Anzahl von Definitionen der Meile. Nehmen wir an, dass der Erdradius in der Meile des Abbé Picard angegeben ist, die ab 1671 3707 Meter entspricht. \[ R = 1500 \times 3{,}707 = 5\,560{,}5\ \text{km} \] daher: \[ \text{Erde-Sonne} = 127\,891\,500\ \text{km} \pm 27\,802\,500\ \text{km}. \]

Dieses bemerkenswerte Ergebnis stellt die erste Messung des Abstands Erde-Sonne dar. Dank des dritten Keplerschen Gesetzes liefert dieser Abstand den Maßstab des gesamten Sonnensystems \(T^2/R^3 = k\).

Berechnung der Abstände aus den Umlaufbahnen der Erde und des Mars

Geometrische Beziehungen zwischen den Umlaufbahnen

\(C =\) Mittelpunkt der Ellipse, die die Umlaufbahn des Mars darstellt
\(CM_{\text{mars}} =\) Große Halbachse der Umlaufbahn des Mars
Exzentrizität der Umlaufbahn des Mars \(= \dfrac{CS_{\text{sonne}}}{CM_{\text{mars}}} = 0{,}093\)
\(CM_{\text{mars}} = CS_{\text{sonne}} + S_{\text{sonne}}T_{\text{erde}} + T_{\text{erde}}M_{\text{mars}}\)
\(CM_{\text{mars}} = T_{\text{erde}}M_{\text{mars}} + \dfrac{S_{\text{sonne}}T_{\text{erde}}}{1-CS_{\text{sonne}}}\)
\(T_{\text{erde}}M_{\text{mars}} = 54\,790\,600\ \text{km}\)
\(PT_{\text{erde}}\) (Umlaufzeit der Erde) \(= 1\ \text{Jahr} (365\ \text{Tage})\)
\(PM_{\text{mars}}\) (Umlaufzeit des Mars) \(= 1{,}88\ \text{Jahr} (686\ \text{Tage})\)

Anwendung des dritten Keplerschen Gesetzes

\[ T_{\text{erde}}S_{\text{sonne}} = \frac{T_{\text{erde}}M_{\text{mars}}}{1 - CS_{\text{sonne}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{erde}}}\right)^{2/3} - 1} \]

Ergebnis der Berechnung

\[ 1 - CS_{\text{sonne}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{erde}}}\right)^{2/3} - 1 = 0{,}38 \quad \text{d. h.} \quad \frac{3}{8} \] \[ \Rightarrow T_{\text{erde}}S_{\text{sonne}} = 54\,790\,600 \times \frac{8}{3} = 150\,000\,000\ \text{km} \]