地球と太陽の距離が初めて測定された方法

太陽系の相対的な大きさ

相対距離から絶対的な縮尺へ

17世紀初頭、科学者たちは太陽系の大きさについて何も知らなかった。 ヨハネス・ケプラーの法則（1571−1630）のおかげで、当時の5つの惑星の太陽に対する相対距離は知られていた。言い換えれば、距離は未知の単位、すなわち地球と太陽の距離で知られていたが、地球と太陽の距離が何kmであるかは知られていなかった。

ケプラーの第3法則

1618年に定式化されたヨハネス・ケプラーの第3法則は、惑星の軌道の半長軸と太陽の周りの公転周期との関係を示している（隣の表）。半長軸の立方は公転周期の平方に等しく（T2 / R3 = k）、水星の軌道を0.39 au（天文単位は1958年にはるかに遅れて作られた）に、土星の軌道を太陽から9.55天文単位に位置づける。

N.B.：
ケプラーの第1法則「軌道の法則」（1609年『新天文学』で公表）は、軌道を回るすべての天体が楕円軌道を描き、太陽がその焦点の1つを占めると述べている。
ケプラーの第2法則「面積の法則」（1609年『新天文学』で公表）は、等しい時間に等しい面積が掃き出されると述べている。
ケプラーの第3法則「周期の法則」（1619年『世界の調和』で公表）は、惑星の恒星周期（恒星の前を連続して2回通過する間の時間）の平方は、惑星の楕円軌道の半長軸の立方に直接比例すると述べている。

惑星の軌道特性

以下の表は、太陽系の惑星の軌道データを示し、ケプラーの第3法則を例証している。

N.B.：
T² / R³ = k：kの理論的表現は、アイザック・ニュートン（1643−1727）によって定式化された万有引力の方程式によって1687年に知られるようになった。

システム全体に対するただ一度の測定

ただ一つの距離（惑星-太陽）の測定がシステム全体の縮尺を与え、したがって天文学者たちが待ち望んだkm単位の地球と太陽の距離を与える。1687年、アイザック・ニュートンは引力の法則を発見し、ケプラーの3法則を説明することができた。

地球と火星の距離の測定

視差の原理

いかに逆説的に思えようとも、17世紀の天文学者と数学者たちが太陽系の大きさについての考えを得ることができたのは、地球と火星の距離の測定によってであった。当時、観測は主に地球から見た天体の角度の測定に要約されていた。その後、三角法の計算が距離を与えた。

地球と火星の距離は初めてどのように計算されたのか？

パリ＝カイエンヌの同時観測

1672年9月、ジャン＝ドミニク・カッシーニ（1625−1712）、ジャン・ピカールことアベ・ピカール（1620−1682）、およびジャン・リシェ（1630−1696）は、火星が地球に最も近づいたときに（火星はそのとき、地球から見て太陽の反対側にある）火星の水平視差を測定した。この測定を行うには、はるかに遠い恒星に対する火星の位置を、非常に離れた2地点から観測する必要がある。

パリのカッシーニとカイエンヌのリシェは火星の視差を測定した。この測定は地球の赤道半径によって形成される基線に関連して、p=24"の水平視差をもたらす ⇒ 地球-火星 = 54 746 000 km。パリとカイエンヌから行われた観測から火星の視差を決定するには、パリとカイエンヌの緯度の差と経度の差を最大限の精度で知る必要がある。

経度の決定

緯度は測定が容易であるが、経度は当時はるかに困難であった。

しかしカッシーニは、平均を得るためにいくつかの方法で経度を測定したと明記している：

• 食の観測。その異なる段階が天文編纂物においてパリ子午線の時刻で記録されている。
• 木星のガリレオ衛星の食の観測。これは1日に数回起こる。
• 太陽の子午線高度の観測。

全体は3時間39分±10分の平均を与える。したがってリシェとカッシーニは1672年9月の間に火星を観測した。火星はみずがめ座の恒星（Ψ Aquarii）の近くを通過する。画像では、点C'はC（カイエンヌ）の緯度とP（パリ）の経度に対応している。カッシーニは火星の2つの同時観測、1つはPから、もう1つはC'から用いている。火星から見たパリ・カイエンヌの角度は角度α=14"である。しかし火星の視差は、火星が地球の半径を見る角度である。パリ・カイエンヌの角度と火星の視差との間の比例計算は24"±5"を与える。

地球と火星の距離の計算

火星の視差がわかれば、三角法により地球の半径（R）の関数として地球と火星の距離（D）が得られる：
D = R×3600/24×180/π すなわち 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

N.B.：
緯度は地球上の点の北または南の位置であり、言い換えれば赤道面との角度である（赤道で0°から北極で90°、南極で-90°）。
経度は地球上の点の東西の位置であり、グリニッジ子午線（本初子午線、経度0°）の面との時間のずれに対応する。このずれは西へ+180°から東へ-180°まで変化する。

地球と太陽の距離の計算

地球と火星の距離から天文単位へ

地球と火星の距離がわかるとすぐに、ケプラーの第3法則のおかげで地球と太陽の距離を計算することができた。

カッシーニは火星が \(0{,}38\ \text{au} = \frac{3}{8}\ \text{au}\) にあることを知っていた。 \[ \text{地球-太陽} = \frac{8}{3} \times 8600\,R = 23\,000\,R \pm 5\,000\ \text{地球半径}. \] カッシーニは地球半径の値をリーグで与えている：\(R = 1500\) リーグ。

ケプラーの第3法則の適用

当時、地域によってリーグの定義が多数あった。地球半径がアベ・ピカールのリーグで与えられていると仮定しよう。これは1671年以降3707メートルに等しい。 \[ R = 1500 \times 3{,}707 = 5\,560{,}5\ \text{km} \] したがって： \[ \text{地球-太陽} = 127\,891\,500\ \text{km} \pm 27\,802\,500\ \text{km}. \]

この顕著な結果は、地球と太陽の距離の初測定を構成する。ケプラーの第3法則のおかげで、この距離は太陽系全体の縮尺 \(T^2/R^3 = k\) を与えるであろう。

地球と火星の軌道からの距離の計算

軌道間の幾何学的関係

\(C =\) 火星の軌道を表す楕円の中心
\(CM_{\text{mars}} =\) 火星の軌道の半長軸
火星の軌道の離心率 \(= \dfrac{CS_{\text{sun}}}{CM_{\text{mars}}} = 0{,}093\)
\(CM_{\text{mars}} = CS_{\text{sun}} + S_{\text{sun}}T_{\text{earth}} + T_{\text{earth}}M_{\text{mars}}\)
\(CM_{\text{mars}} = T_{\text{earth}}M_{\text{mars}} + \dfrac{S_{\text{sun}}T_{\text{earth}}}{1-CS_{\text{sun}}}\)
\(T_{\text{earth}}M_{\text{mars}} = 54\,790\,600\ \text{km}\)
\(PT_{\text{earth}}\)（地球の周期） \(= 1\ \text{年} (365\ \text{日})\)
\(PM_{\text{mars}}\)（火星の周期） \(= 1{,}88\ \text{年} (686\ \text{日})\)

ケプラーの第3法則の適用

\[ T_{\text{earth}}S_{\text{sun}} = \frac{T_{\text{earth}}M_{\text{mars}}}{1 - CS_{\text{sun}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{earth}}}\right)^{2/3} - 1} \]

計算結果

\[ 1 - CS_{\text{sun}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{earth}}}\right)^{2/3} - 1 = 0{,}38 \quad \text{すなわち} \quad \frac{3}{8} \] \[ \Rightarrow T_{\text{earth}}S_{\text{sun}} = 54\,790\,600 \times \frac{8}{3} = 150\,000\,000\ \text{km} \]