地球与太阳的距离是如何首次测量的

太阳系的相对大小

从相对距离到绝对尺度

17世纪初，科学家们对太阳系的尺寸一无所知。 得益于约翰内斯·开普勒定律（1571−1630），当时已知五颗行星相对于太阳的相对距离。换言之，距离是以一种未知的单位——即地球与太阳的距离——来知道的，但不知道地球与太阳的距离是多少公里。

开普勒第三定律

1618年提出的约翰内斯·开普勒第三定律展示了行星轨道的半长轴与其绕太阳公转周期之间的关系（见旁边的表格）。半长轴的立方等于公转周期的平方（T2 / R3 = k），这将水星的轨道置于0.39天文单位（天文单位于1958年才被创立），将土星的轨道置于距太阳9.55天文单位处。

N.B.：
开普勒第一定律「轨道定律」（1609年发表于《新天文学》），规定所有在轨天体都描述椭圆轨迹，太阳占据其中一个焦点。
开普勒第二定律「面积定律」（1609年发表于《新天文学》），规定在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第三定律「周期定律」（1619年发表于《世界的和谐》），规定行星的恒星周期（连续两次经过某颗恒星前方之间的时间）的平方与行星椭圆轨迹半长轴的立方成正比。

行星的轨道特征

下表列出了太阳系行星的轨道数据，例证了开普勒第三定律。

N.B.：
T² / R³ = k：k的理论表达式于1687年由艾萨克·牛顿（1643−1727）提出的万有引力方程而为人所知。

对整个系统的一次测量

对单个距离（行星-太阳）的测量将给出整个系统的尺度，因而给出天文学家们期待已久的以公里为单位的地球与太阳的距离。1687年，艾萨克·牛顿发现了引力定律，使他能够解释开普勒三定律。

地球与火星距离的测量

视差原理

无论看起来多么矛盾，正是通过测量地球与火星的距离，17世纪的天文学家和数学家们才得以对太阳系的尺寸有所认识。当时，观测主要归结为测量从地球看到的天体的角度。随后，三角学计算给出了距离。

地球与火星的距离是如何首次计算的？

巴黎-卡宴的同时观测

1672年9月，让-多米尼克·卡西尼（1625−1712）、让·皮卡尔即皮卡尔神父（1620−1682）以及让·里谢（1630−1696）在火星最接近地球时（此时从地球上看，火星位于太阳的对面）测量了火星的水平视差。要进行这一测量，必须从两个非常遥远的点观测火星相对于更遥远恒星的位置。

卡西尼在巴黎、里谢在卡宴测量了火星的视差。这一测量与地球赤道半径所形成的基线相关联，得出水平视差为p=24" ⇒ 地球-火星 = 54 746 000 km。要从巴黎和卡宴所做的观测确定火星的视差，必须尽可能精确地知道巴黎和卡宴之间的纬度差和经度差。

经度的确定

纬度易于测量，但经度在当时要困难得多。

然而卡西尼明确指出，他用多种方法测量了经度以获得平均值：

• 观测一次食，其不同阶段在天文汇编中以巴黎子午线的小时记录。
• 观测木星的伽利略卫星的食，这些每天发生数次。
• 观测太阳的子午线高度。

总体给出3小时39分±10分的平均值。因此，里谢和卡西尼在1672年9月期间观测了火星。火星将从宝瓶座的一颗恒星（Ψ Aquarii）附近经过。在图像中，点C'对应C（卡宴）的纬度和P（巴黎）的经度。卡西尼使用了两次同时的火星观测，一次从P，另一次从C'。从火星看巴黎-卡宴的角度是角度α=14"。但火星的视差是火星看地球半径的角度。巴黎-卡宴的角度与火星视差之间的比例计算得出24"±5"。

地球与火星距离的计算

一旦知道了火星的视差，三角学便可得出作为地球半径（R）函数的地球与火星的距离（D）：
D = R×3600/24×180/π 即 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

N.B.：
纬度是地球上一个点的北或南位置，换言之，是与赤道面的夹角（从赤道的0°到北极的90°和南极的-90°）。
经度是地球上一个点的东或西位置，对应与格林尼治子午线（本初子午线，经度0°）面的时间偏移。这一偏移从向西的+180°变化到向东的-180°。

地球与太阳距离的计算

从地球与火星的距离到天文单位

一旦知道了地球与火星的距离，借助开普勒第三定律便可计算出地球与太阳的距离。

卡西尼知道火星位于 \(0{,}38\ \text{天文单位} = \frac{3}{8}\ \text{天文单位}\)。 \[ \text{地球-太阳} = \frac{8}{3} \times 8600\,R = 23\,000\,R \pm 5\,000\ \text{地球半径}. \] 卡西尼以里格为单位给出了地球半径的值：\(R = 1500\) 里格。

开普勒第三定律的应用

当时，里格的定义因地区不同而有很多种。假设地球半径以皮卡尔神父的里格给出，自1671年起等于3707米。 \[ R = 1500 \times 3{,}707 = 5\,560{,}5\ \text{km} \] 因此： \[ \text{地球-太阳} = 127\,891\,500\ \text{km} \pm 27\,802\,500\ \text{km}. \]

这一卓越的结果构成了地球与太阳距离的首次测量。借助开普勒第三定律，这一距离将给出整个太阳系的尺度 \(T^2/R^3 = k\)。

从地球和火星的轨道计算距离

轨道之间的几何关系

\(C =\) 表示火星轨道的椭圆的中心
\(CM_{\text{mars}} =\) 火星轨道的半长轴
火星轨道的离心率 \(= \dfrac{CS_{\text{sun}}}{CM_{\text{mars}}} = 0{,}093\)
\(CM_{\text{mars}} = CS_{\text{sun}} + S_{\text{sun}}T_{\text{earth}} + T_{\text{earth}}M_{\text{mars}}\)
\(CM_{\text{mars}} = T_{\text{earth}}M_{\text{mars}} + \dfrac{S_{\text{sun}}T_{\text{earth}}}{1-CS_{\text{sun}}}\)
\(T_{\text{earth}}M_{\text{mars}} = 54\,790\,600\ \text{km}\)
\(PT_{\text{earth}}\)（地球周期） \(= 1\ \text{年} (365\ \text{天})\)
\(PM_{\text{mars}}\)（火星周期） \(= 1{,}88\ \text{年} (686\ \text{天})\)

开普勒第三定律的应用

\[ T_{\text{earth}}S_{\text{sun}} = \frac{T_{\text{earth}}M_{\text{mars}}}{1 - CS_{\text{sun}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{earth}}}\right)^{2/3} - 1} \]

计算结果

\[ 1 - CS_{\text{sun}}\left(\frac{PM_{\text{mars}}}{PT_{\text{earth}}}\right)^{2/3} - 1 = 0{,}38 \quad \text{即} \quad \frac{3}{8} \] \[ \Rightarrow T_{\text{earth}}S_{\text{sun}} = 54\,790\,600 \times \frac{8}{3} = 150\,000\,000\ \text{km} \]