惑星の軌道速度の方程式

軌道速度の定義

軌道の力学的均衡

惑星の軌道速度 （安定した軌道を維持するために必要な接線速度）とは、惑星が恒星の周りの軌道に沿って移動する速度です。 これは、重力 （恒星が及ぼす重力）と遠心力 （軌道運動による遠心力）の均衡から生じます。 円軌道の力学的均衡条件では、向心力 \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) が重力 \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) を補償する必要があります。ここで \( G \) は万有引力定数、\( M \) は恒星の質量、\( r \) は軌道半径です。

方程式の導出

力の等置

向心力 \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) と重力 \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) を等置すると、次が得られます：

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

軌道速度の公式

惑星の質量 \( m \) が消去され、軌道速度が惑星の質量に依存しないことが示されます：

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

この基本関係は、軌道速度が恒星からの距離に依存することを表しています。 太陽に近い惑星（水星など）は軌道速度が大きく、より遠い惑星（海王星など）はよりゆっくり移動します。

物理的解釈

ケプラーとニュートンの法則との関係

この方程式は、ヨハネス・ケプラー（1571-1630）の経験的法則と、アイザック・ニュートン（1643-1727）の重力理論を示しています。 軌道速度は距離の平方根に反比例して減少し、\( v \propto r^{-1/2} \) の法則に従います。 これはケプラーの第3法則により公転周期 \( T \) を規定します： \( T^2 \propto r^3 \)。

速度の距離依存性

軌道速度は距離の平方根に反比例して減少し、\( v \propto r^{-1/2} \) の法則に従います。これはケプラーの第3法則により公転周期 \( T \) を規定します：\( T^2 \propto r^3 \)。

太陽系惑星の軌道速度

次の表は、太陽質量と平均軌道半径から計算した、太陽系惑星の平均軌道速度を示しています。

注：
「恒星時周期」の列は、軌道速度の整合性を確認し、ケプラーの第3法則 \( T^2 \propto r^3 \) を例示するためのものです。\( v=\sqrt{GM/r} \) と \( T=2\pi r/v \) を組み合わせると、\( T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3 \) が得られます。したがって、惑星が太陽から遠いほど、恒星時周期は長くなり、軌道速度は小さくなります。

応用と限界

重力摂動

方程式 \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) は完全な円軌道を仮定し、惑星間の重力摂動を無視しています。

楕円軌道と面積の法則

実際には軌道は楕円であり、速度は位置によって変化します。近日点 （楕円軌道上で太陽に最も近い点）では大きく、遠日点 （楕円軌道上で太陽から最も遠い点）では小さくなります。 この変化はケプラーの面積の法則に従います：動径ベクトルは等しい時間に等しい面積を掃く。

桁の目安とエネルギー的意味

全軌道エネルギー

円軌道にある惑星の全軌道エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの和であり、次で表されます： \( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

脱出速度

負の値は、惑星が恒星に重力的に束縛されていることを示します。惑星を解放するには、\( \geq |E| \) のエネルギーを与える必要があり、つまり脱出速度 （重力場から脱出するために必要な最小速度）に達する必要があります：\( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \)。これは軌道速度の \(\sqrt{2}\) 倍です。