一般相対性理論の方程式（1915年）

アインシュタイン方程式の数学的定式化

テンソル方程式

一般相対性理論の方程式は、テンソルとテンソル解析を用いて数学的に表現されます。 テンソルは、ベクトルを多次元に一般化したものと見なすことができます \( \rlap{\nwarrow}\nearrow \)。 簡略化すると、基本方程式はアインシュタイン方程式として知られ、次のように書くことができます：\(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)

この方程式の項は次のように分解されます：

• \(R_{\mu\nu}\)：リッチテンソル（しばしば曲率テンソルと呼ばれる）：物質とエネルギーの分布の関数として時空の曲率を記述します。
• \(R\)：曲率スカラー：リッチテンソルを計量テンソルで縮約して得られ、ある点における時空の全体的な曲率を表します。
• \(g_{\mu\nu}\)：計量テンソル：時空の計量を定義し、距離と時間間隔が曲率によってどのように歪むかを記述します。
• \(\Lambda\)：宇宙定数：アインシュタインが1917年に宇宙を静的にするために導入し、後に宇宙膨張の加速を説明するために再導入した項です。
• \(G\)：重力定数：約 \(6.67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)。
• \(c\)：真空中の光速：約 \(299\,792\,458\ \mathrm{m/s}\)。
• \(T_{\mu\nu}\)：エネルギー運動量テンソル：時空における物質とエネルギーの分布を表します。
• \(\mu\), \(\nu\)：時空の添字：4つの次元（1つの時間的次元と3つの空間的次元）を走査し、各テンソルの考慮される成分を示します。

N.B.：
ドイツ語の「allgemeine Relativitätstheorie」という表現は、その訳語である「一般相対性理論」が示すように、実際には「相対性の一般理論」を意味します。一般なのは理論そのものであり（重力と加速系を含む）、相対性そのものではありません。

方程式の物理的意味

幾何学と物質

この方程式は、時空の幾何学（左辺）を宇宙における物質とエネルギーの分布（右辺）に関連付けます。物質とエネルギーがどのように時空の曲率を決定し、この曲率が物体の運動と光の伝播にどのように影響するかを記述します。言い換えれば、質量は時空を曲げ、時空の曲率が質量の運動を導きます。

時空の曲率

時空の曲率は単なる幾何学的な変形ではありません。それは物体の軌道と光の伝播を変化させます。質量を持つ物体は測地線、すなわち曲がった空間における最短経路に沿って運動します。地球が太陽の周りを公転するのはそのためです。地球は太陽の質量によって曲げられた時空の中の測地線に沿って運動しているのです。

一般相対性理論の予測と検証

注目すべき予測

一般相対性理論の方程式は、ブラックホールの存在、重力波、質量を持つ物体の周りの光の偏向など、驚くべき予測をもたらしました。また、重力と大規模な宇宙の構造に関する我々の理解を深く変えました。一般相対性理論は、現代物理学の中で最も確認され検証された理論の一つです。

一般相対性理論の主な実験的検証の表

いくつかの観測が一般相対性理論の予測を確認しています。水星軌道の近日点移動、1919年の日食の際の太陽による光の偏向、重力波は、いずれも理論の妥当性の証拠となっています。