Die Gleichung der allgemeinen Relativitätstheorie (1915)

Mathematische Formulierung der Einsteinschen Gleichung

Eine Tensor-Gleichung

Die Gleichung der allgemeinen Relativitätstheorie wird mathematisch mit Hilfe von Tensoren und Tensorrechnung ausgedrückt. Ein Tensor kann als Verallgemeinerung eines Vektors auf mehrere Dimensionen angesehen werden \( \rlap{\nwarrow}\nearrow \). Vereinfacht ist die Grundgleichung als Einsteinsche Gleichung bekannt und kann wie folgt geschrieben werden: \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)

Die Terme dieser Gleichung zerlegen sich wie folgt:

• \(R_{\mu\nu}\): Ricci-Tensor (oft Krümmungstensor genannt), der die Krümmung der Raumzeit als Funktion der Verteilung von Materie und Energie beschreibt.
• \(R\): Krümmungsskalar, erhalten durch Kontraktion des Ricci-Tensors mit dem metrischen Tensor; er stellt die globale Krümmung der Raumzeit an einem Punkt dar.
• \(g_{\mu\nu}\): metrischer Tensor, der die Metrik der Raumzeit definiert und beschreibt, wie Abstände und Zeitintervalle durch die Krümmung verzerrt werden.
• \(\Lambda\): kosmologische Konstante, ein von Einstein 1917 eingeführter Term, um das Universum statisch zu machen, dann wiedereingeführt, um die Beschleunigung der kosmischen Expansion zu erklären.
• \(G\): Gravitationskonstante, ungefähr \(6{,}67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\).
• \(c\): Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, ungefähr \(299\,792\,458\ \mathrm{m/s}\).
• \(T_{\mu\nu}\): Energie-Impuls-Tensor, der die Verteilung von Materie und Energie in der Raumzeit darstellt.
• \(\mu\), \(\nu\): Raumzeit-Indizes, die die vier Dimensionen durchlaufen (eine zeitliche und drei räumliche); sie geben die betrachtete Komponente jedes Tensors an.

N.B.:
Der deutsche Ausdruck „allgemeine Relativitätstheorie", dessen Bezeichnung „allgemeine Relativität" eine Lehnübersetzung ist, bedeutet tatsächlich „allgemeine Theorie der Relativität": Es ist die Theorie, die allgemein ist (sie umfasst die Gravitation und die beschleunigten Bezugssysteme), nicht die Relativität selbst.

Die physikalische Bedeutung der Gleichung

Geometrie und Materie

Diese Gleichung verknüpft die Geometrie der Raumzeit (linke Seite) mit der Verteilung der Materie und der Energie im Universum (rechte Seite). Sie beschreibt, wie Materie und Energie die Krümmung der Raumzeit bestimmen und wie diese Krümmung die Bewegung der Objekte und die Ausbreitung des Lichts beeinflusst. Mit anderen Worten: Die Masse krümmt die Raumzeit, und die Krümmung der Raumzeit leitet die Bewegung der Masse.

Die Krümmung der Raumzeit

Die Krümmung der Raumzeit ist keine einfache geometrische Verformung: Sie verändert die Bahn der Objekte und die Ausbreitung des Lichts. Massereiche Objekte folgen Geodäten, das heißt den kürzesten Wegen in einem gekrümmten Raum. Deshalb umkreist die Erde die Sonne: Sie folgt einer Geodäte in der durch die Sonnenmasse gekrümmten Raumzeit.

Vorhersagen und Überprüfungen der allgemeinen Relativitätstheorie

Die bemerkenswerten Vorhersagen

Die Gleichung der allgemeinen Relativitätstheorie hat zu außergewöhnlichen Vorhersagen geführt, insbesondere zur Existenz von Schwarzen Löchern, Gravitationswellen und Lichtablenkungen um massereiche Objekte. Sie hat auch unser Verständnis der Gravitation und der Struktur des Universums im großen Maßstab tiefgreifend verändert. Die allgemeine Relativitätstheorie ist eine der am besten bestätigten und überprüften Theorien der modernen Physik.

Tabelle der wichtigsten experimentellen Überprüfungen der allgemeinen Relativitätstheorie

Mehrere Beobachtungen haben die Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie bestätigt. Die Periheldrehung der Merkurbahn, die Lichtablenkung durch die Sonne während der Sonnenfinsternis von 1919 und die Gravitationswellen sind ebenso viele Beweise für die Gültigkeit der Theorie.