Die Gleichung der Bahngeschwindigkeit eines Planeten

Definition der Bahngeschwindigkeit

Dynamisches Gleichgewicht der Umlaufbahn

Die Bahngeschwindigkeit (Tangentialgeschwindigkeit, die zum Aufrechterhalten einer stabilen Umlaufbahn erforderlich ist) eines Planeten ist die Geschwindigkeit, mit der er sich entlang seiner Umlaufbahn um seinen Stern bewegt. Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft (vom Stern ausgeübte Gravitationskraft) und der Zentrifugalkraft (Zentrifugalkraft aufgrund der Bahnbewegung). Die Bedingung des dynamischen Gleichgewichts für eine Kreisbahn verlangt, dass die Zentripetalkraft \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) die Gravitationskraft \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) kompensiert, wobei \( G \) die Gravitationskonstante, \( M \) die Masse des Sterns und \( r \) der Bahnradius ist.

Herleitung der Gleichung

Gleichsetzung der Kräfte

Durch Gleichsetzen der Zentripetalkraft \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) und der Gravitationskraft \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) erhält man:

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

Formel der Bahngeschwindigkeit

Die Masse des Planeten \( m \) kürzt sich heraus, was zeigt, dass die Bahngeschwindigkeit nicht von der Masse des Planeten abhängt:

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

Diese grundlegende Beziehung drückt die Abhängigkeit der Bahngeschwindigkeit von der Entfernung zum Stern aus. Ein Planet nahe der Sonne (wie Merkur) hat eine hohe Bahngeschwindigkeit, während ein weiter entfernter Planet (wie Neptun) sich langsamer bewegt.

Physikalische Interpretation

Zusammenhang mit den Keplerschen und Newtonschen Gesetzen

Diese Gleichung veranschaulicht die empirischen Gesetze von Johannes Kepler (1571-1630) und die Gravitationstheorie von Isaac Newton (1643-1727). Die Bahngeschwindigkeit nimmt mit der Quadratwurzel der Entfernung ab, gemäß dem Gesetz \( v \propto r^{-1/2} \). Sie bestimmt die Umlaufzeit \( T \) durch das dritte Keplersche Gesetz: \( T^2 \propto r^3 \).

Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Entfernung

Die Bahngeschwindigkeit nimmt mit der Quadratwurzel der Entfernung ab, gemäß dem Gesetz \( v \propto r^{-1/2} \). Sie bestimmt die Umlaufzeit \( T \) durch das dritte Keplersche Gesetz: \( T^2 \propto r^3 \).

Bahngeschwindigkeiten der Planeten des Sonnensystems

Die folgende Tabelle zeigt die mittleren Bahngeschwindigkeiten der Planeten des Sonnensystems, berechnet aus der Sonnenmasse und dem mittleren Bahnradius.

Hinweis:
Die Spalte „Siderische Periode“ ermöglicht es, die Konsistenz der Bahngeschwindigkeiten zu prüfen und das dritte Keplersche Gesetz zu veranschaulichen: \( T^2 \propto r^3 \). Durch Kombination von \( v=\sqrt{GM/r} \) und \( T=2\pi r/v \) erhält man \( T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3 \). Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger ist seine siderische Periode und desto geringer ist seine Bahngeschwindigkeit.

Anwendungen und Grenzen

Gravitative Störungen

Die Gleichung \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) setzt eine vollkommen kreisförmige Umlaufbahn voraus und vernachlässigt gravitative Störungen zwischen den Planeten.

Elliptische Bahnen und Flächengesetz

In Wirklichkeit sind die Bahnen elliptisch: Die Geschwindigkeit variiert je nach Position, ist im Perihel (der Sonne nächster Punkt einer elliptischen Umlaufbahn) größer und im Aphel (der Sonne fernster Punkt einer elliptischen Umlaufbahn) kleiner. Diese Variation folgt dem Keplerschen Flächengesetz: Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Größenordnungen und energetische Bedeutung

Gesamte Bahnenergie

Die gesamte Bahnenergie eines Planeten auf einer Kreisbahn, die Summe seiner kinetischen Energie und seiner potenziellen Energie, beträgt: \( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

Fluchtgeschwindigkeit

Der negative Wert zeigt, dass der Planet gravitativ an seinen Stern gebunden ist: Es muss eine Energie \( \geq |E| \) zugeführt werden, um ihn zu befreien, das heißt, um die Fluchtgeschwindigkeit (Mindestgeschwindigkeit, um ein Gravitationsfeld zu verlassen) zu erreichen: \( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \), also \(\sqrt{2}\) mal die Bahngeschwindigkeit.