行星轨道速度的方程

轨道速度的定义

行星的轨道速度是指其沿绕恒星轨道运动的速度。它由引力与离心力之间的平衡决定。对于圆形轨道，动态平衡条件要求向心力 \( F_c = \frac{m v^2}{r} \) 与引力 \( F_g = \frac{G M m}{r^2} \) 相互抵消，其中 \( G \) 为引力常数，\( M \) 为恒星质量，\( r \) 为轨道半径。

方程的推导

通过令 \( F_c \) 与 \( F_g \) 相等，我们得到：

\( \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \)

行星质量 \( m \) 被消去，表明轨道速度与行星质量无关。

\( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \)

这一基本关系表达了轨道速度与到恒星距离的依赖关系。靠近太阳的行星（如水星）运动较快，而远离太阳的行星（如海王星）运动较慢。

物理解释

该方程展示了约翰内斯·开普勒（1571–1630）的经验定律与艾萨克·牛顿（1643–1727）的引力理论。轨道速度随距离的平方根递减，遵循 \( v \propto r^{-1/2} \)。它根据开普勒第三定律确定轨道周期 \( T \)：\( T^2 \propto r^3 \)。

对于太阳系中的每一颗行星，其平均轨道速度可以通过太阳质量 \( M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\, \mathrm{kg} \) 和以米表示的平均轨道半径计算得出。

• 来源：喷气推进实验室 – 太阳系动力学

应用与局限

方程 \( v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \) 假设轨道为完美圆形，并忽略了行星间的引力摄动。 实际上，轨道是椭圆形的：速度随位置变化，在近日点较高，在远日点较低。 这种变化遵循开普勒面积定律：矢径在相等时间内扫过相等面积。

数量级与能量含义

在圆形轨道上运行的行星的总轨道能量（动能 + 势能）为：

\( E = -\frac{G M m}{2 r} \)

负值表示该行星受其恒星的引力束缚：要逃离，即达到逃逸速度 \( v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} \)（等于轨道速度的 \(\sqrt{2}\) 倍），必须提供能量 \( \geq |E| \)。