最后更新：2023年11月20日

如何称量太阳的重量？

只需看一眼行星！

确实，由于太阳与行星之间的引力作用，我们可以推算出太阳的质量。

要称量太阳的质量，必须使用牛顿的万有引力定律。该定律指出，两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

太阳与行星之间的引力由以下方程给出：F = G * M * m / r^2

G = 万有引力常数，等于 6.674 × 10^-11 N·m²/kg² M = 太阳质量，单位为千克 m = 行星质量，单位为千克 r = 太阳与行星之间的距离，单位为米

我们也可以写出牛顿第二定律的方程，该定律指出力等于质量乘以加速度。 F = m * a 在行星绕太阳运行的轨道运动中，引力是作用在行星上的唯一力。因此，我们可以将引力表达式代入牛顿第二定律的方程中。 m * a = G * M * m / r^2 通过解这个方程，我们发现行星的质量 m 并不重要，因此得到： m * a * r^2 = G * M * m M = a * r^2 / G 这个方程使我们能够通过测量地球绕太阳的加速度以及太阳与地球之间的距离来计算太阳的质量 M。

地球绕太阳公转的速度约为30,000米/秒。通过以下公式可以计算出地球的向心加速度：a_c = v^2 / r 由于视差效应，太阳与地球之间的距离已被精确测定。地球与太阳之间的距离r约为1.5亿公里，即15 × 10^10米。 a_c = v^2 / r = 30,000^2 / 15 × 10^10 = 0.006米/秒² 0.006米/秒²这个数值非常小，但足以使地球保持在稳定的绕日轨道上。这意味着地球的速度每秒增加0.006米。向心加速度迫使地球沿椭圆路径运动。由于该加速度极其微弱，我们无法感知其存在。若向心加速度为零，地球将沿直线运动。

1795年，德国天文学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（1784-1846）利用这种方法估算出太阳的质量为1.99 × 10^30千克。精确值为1.9885 × 10^30千克。

万有引力定律的确认

另一种称量太阳的方法是使用能量守恒定律。该定律指出，孤立系统的总能量是恒定的。

对于日地系统，总能量是地球动能E_k与日地间引力势能E_p之和。因此日地系统的能量守恒方程如下： E_k + E_p = 常数

地球的动能是其运动所产生的能量。它与地球的质量及其速度的平方成正比。地球的动能由以下公式给出： E_k = 1/2 * m * v^2

地球与太阳之间的引力势能是由于两者之间的引力作用而产生的能量。它与地球质量、太阳质量成正比，与两者之间距离的平方成反比。势能由以下方程给出： E_p = -G*M*m/r

将动能 \(E_k\) 和势能 \(E_p\) 的表达式代入各自的公式后，我们得到以下方程： \[ \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r} = \text{常数} \] 其中 \(m\) 是地球的质量，\(v\) 是地球的速度，\(M\) 是太阳的质量，\(G\) 是引力常数。

假设地球的速度恒定，那么地球的动能也恒定。能量守恒方程则变为：-G * M * m / r = 常数

将方程两边乘以r得到：-G * M * m = const * r

将方程两边同时除以 -G * m，得到：M = - const * r / G * m

因此，常数 "const" 代表地球-太阳系统的总能量。由于地球的动能是常数，我们可以用 E_k 表示该常数：const = E_k + E_p 利用 E_p 的表达式，我们得到：const = E_k - G * M * m / r 假设地球速度恒定，我们得到：const = E_k + G * M * m / r 若地球速度恒定，则量 E_k + G*M*m/r 也必须是常数。因此可写出：E_k + G * M * m / r = 2 * E_k 解此方程求 const，得到：const = 2 * E_k

最后，将常数代入其值，我们得到：M = 2 * E_k * r / G

1832年，英国天文学家约翰·赫歇尔（John Herschel，1792-1871）利用这种方法估算出太阳的质量为1.99 × 10^30千克。精确值为1.9885 × 10^30千克。

两种方法得出的结果一致，这证实了万有引力定律的正确性。