如何称量太阳？

只需观察一颗行星就能称量太阳！

借助太阳与行星之间的引力，我们可以推导出太阳的质量。

万有引力定律

要称量太阳，必须使用牛顿的万有引力定律。 该定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

太阳与行星之间的引力由以下方程给出：

\(G\) = 万有引力常数，等于\(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\)
\(M\) = 太阳的质量（千克）
\(m\) = 行星的质量（千克）
\(r\) = 太阳与行星之间的距离（米）

太阳质量的计算

我们也可以写出牛顿第二定律的方程，即力等于质量乘以加速度。

在行星绕太阳的轨道运动的情况下，引力是作用在行星上的唯一力。 因此，我们可以将引力的表达式代入牛顿第二定律的方程中。

解这个方程会发现行星的质量\(m\)无关紧要，于是我们得到：

这个方程使我们能够通过测量地球绕太阳的向心加速度以及太阳与地球之间的距离来计算太阳的质量\(M\)。

地球绕太阳的速度约为\(30\,000\ \mathrm{m/s}\)。 用下面的方程，我们可以计算地球的向心加速度。

由于视差，太阳与地球之间的距离已知得非常精确。 地球与太阳之间的距离\(r\)约为1.5亿公里，即\(15 \times 10^{10}\)米。

这个\(0.006\ \mathrm{m/s^{2}}\)的值非常小，但足以使地球保持在绕太阳的稳定轨道上。 这意味着地球的速度每秒增加\(0.006\)米每秒。 向心加速度是迫使地球沿椭圆轨迹运行的原因。 这个加速度如此微弱，以至于我们无法感觉到。 如果向心加速度为零，地球将继续直线前进。

1795年，德国天文学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（1784-1846）使用这种方法估计太阳的质量为\(1.99 \times 10^{30}\)千克。 精确值为\(1.9885 \times 10^{30}\)千克。

万有引力定律的验证

能量守恒

称量太阳的另一种方法是使用能量守恒定律。 该定律指出，孤立系统的总能量是恒定的。

在太阳-地球系统的情况下，总能量是地球的动能\(E_k\)与地球和太阳之间的引力势能\(E_p\)之和。 因此，地球-太阳系统的能量守恒方程为：

地球的动能是其运动的能量。 它与地球的质量及其速度的平方成正比。 地球的动能由以下方程给出：

地球与太阳之间的引力势能是由于两个物体之间的重力而产生的能量。 它与地球的质量、太阳的质量以及两个物体之间距离的倒数成正比。 势能由以下方程给出：

将\(E_k\)和\(E_p\)的表达式替换为各自的公式，我们得到以下方程：

\(m\)是地球的质量，\(v\)是地球的速度，\(M\)是太阳的质量，\(G\)是引力常数。

如果我们假设地球的速度是恒定的，那么地球的动能也是恒定的。 能量守恒方程变为：

将方程两边乘以\(r\)，我们得到：

将方程两边除以\(-G \, m\)，我们得到：

因此，常数\(\text{const}\)代表地球-太阳系统的总能量。 由于地球的动能是恒定的，我们可以用\(E_k\)来表示这个常数：

使用\(E_p\)的表达式，我们得到：

假设地球的速度是恒定的，我们得到：

如果地球的速度是恒定的，那么量\(E_k + G \, \frac{M \, m}{r}\)也必须是恒定的。因此我们可以写出：

解这个方程求\(\text{const}\)，我们得到：

最后，将常数替换为其值，我们得到：

一致的结果

1832年，英国天文学家约翰·赫歇尔（1792-1871）使用这种方法估计太阳的质量为\(1.99 \times 10^{30}\)千克。 精确值为\(1.9885 \times 10^{30}\)千克。

两种方法给出相同的结果，这证实了万有引力定律的有效性。

称量太阳的方法比较表

下表比较了本文中介绍的两种确定太阳质量的方法。