ボルツマン方程式（1877）、あるいは混沌から生まれた秩序

エントロピーの方程式

無秩序と不確実性の尺度

エントロピーの方程式は、オーストリアの物理学者ルートヴィヒ・ボルツマンによって開発された。 エントロピー（S）は、物理系の無秩序または不確実性を測る強力な概念である。
ボルツマンのエントロピー方程式は、温度、圧力、エネルギーといった系の熱力学的性質とエントロピーの関係を理解するために不可欠である。 熱力学的平衡過程の研究、物理系の進化、そして熱力学法則の統計的解釈において決定的な役割を果たす。

ボルツマンの公式

ボルツマンのエントロピー方程式は一般に次のように表される：S = klog(W)

• S は系のエントロピーである。
• k はボルツマン定数であり、熱エネルギーと温度を結びつける物理学の基本定数である（k ≈ 1.38 x 10^-23 J/K）。
• log は自然対数関数（またはネイピア対数）を表す。
• W は、あるエネルギー準位において系がアクセス可能なミクロ状態の数である。

S = klog(W) とはどういう意味か？

エントロピーと状態の多重度

この方程式は、エントロピーが系の可能なミクロ状態の数の対数に比例することを示している。

系が多数の無秩序なミクロ状態を取り得る場合、その系は高いエントロピーを持つと言われ（より無秩序）、アクセス可能なミクロ状態が少ない系はより低いエントロピーを持つ（より秩序立っている）。

対数の役割

対数は大きな値をより小さな値に変換し、物理学や数学における特定の計算をより適切に扱うことを可能にする。 ボルツマン方程式で W を直接使用すると、解釈が困難な巨大なエントロピー値が得られるであろう。 したがって、対数はこれらの値をより扱いやすくし、エントロピーの加法性のような本質的な数学的性質を尊重するのに役立つ。 要するに、対数は「はるかに小さい」ものであっても、ミクロ状態の数が膨大な系について推論するためのより実用的な尺度を与えてくれるのである。 それはちょうど、天文学的な距離をキロメートルではなく光年で測るようなものである！

ボルツマン方程式：原子の性質の理解における決定的な役割

二つのスケールの架け橋

ボルツマン方程式は原子の発見の直接の起源ではないが、物質の原子的性質の理論的理解と、原子の存在を確認した統計物理学の発展において決定的な役割を果たした。

S = klog(W) は、微視的振る舞い（原子の運動）を巨視的性質（圧力、温度、エントロピー）に結びつける。

エントロピー概念の重要性

エントロピーは、熱力学、統計力学、情報理論、情報科学、複雑系科学など、科学の様々な分野で用いられる基本概念である。

エントロピーの定義は文脈によって若干異なることがあるが、これらの分野で共通の考え方を共有している。

熱力学において

エントロピーは、物理系における無秩序または分子運動の程度の尺度である。 それは系内のエネルギー分布と仕事を行う能力に関連している。 エントロピーは示量性の量であり、系内の物質の量に依存することを意味する。 熱力学第二法則によれば、孤立系のエントロピーは自然過程において時間とともに減少することはない。

統計力学において

エントロピーは、系のアクセス可能な状態の微視的確率に関連付けられている。 それは系の位相空間における粒子、分子、または配置の分布に関係している。 ボルツマンエントロピーは、あるエネルギー準位における系のアクセス可能なミクロ状態の数の対数として定義される。

情報理論において

エントロピーは、確率変数または情報源の不確実性や予測不可能性を定量化するために用いられる。 情報源が予測不可能であるほど、そのエントロピーは高くなる。 シャノンエントロピーは、情報理論で最も一般的に用いられる尺度である。

いずれの場合も、エントロピーは系における情報、無秩序、多様性、または不確実性の量の尺度である。

混沌の中の秩序：熱力学的な錯覚か？

局所的な秩序と全体的なエントロピー

しかし、宇宙では、ますます秩序立った構造が観察される。それらは最初はより組織化されていない過程から形成される。 これは、熱力学第二法則が示唆するように、無秩序の尺度であるエントロピーが常に増大しなければならないという直感的な考えに反するように思われる。

局所的な秩序の増大（銀河や恒星の形成など）は、熱力学第二法則の違反を意味しない。 この原理は系全体に関わるものであり、孤立系全体、すなわち宇宙の全エントロピーは時間とともに減少することはないと述べている。

銀河や恒星の形成を観察するとき、私たちは大規模なエネルギーや関与する過程を含む系全体を考慮しなければならない。 したがって、小規模で無秩序の減少のように見えるものは、実際にはより広いスケールでのエネルギーとエントロピーの単純な再分配である。

宇宙に現れる構造はしたがって異常ではなく、局所的な組織化が常にどこか他の場所でのエネルギーの散逸を伴う基本的な物理過程の現れである。

散逸のメカニズム

エネルギーの散逸は主に熱放射の形で起こる。 恒星や銀河のような秩序立った構造が局所的に形成されるとき、全体系はそのエントロピーを増大させる。例えば：

• 熱放射：ガス雲が収縮して恒星を形成するとき、それは熱と光の形で大量のエネルギーを放出する。 このエネルギーは宇宙空間に放射され、全体系のエントロピーの増大に寄与する。
• 核反応：恒星では、核融合反応が物質をエネルギーに変換し（E=mc²を経由して）、このエネルギーは光と熱の形で分散される。 恒星の秩序立った構造はこれらのエネルギー過程のおかげで存在するが、放射されたエネルギーを通じて絶え間ないエントロピーの流れも生み出す。
• 重力相互作用：重力そのものがエントロピーを増幅させることがある。例えば、物体が重力引力の効果の下で集まるとき、一部の粒子は膨大なエネルギーを得て放出されることがあり、大規模なエネルギー散逸に寄与する。

要するに、宇宙は放射やその他の散逸過程の形でエネルギーを再分配することにより、秩序立った構造の創造のバランスをとり、熱力学第二法則が常に尊重されることを保証している。 錯覚どころか、この見かけ上の秩序は宇宙の混沌の自然な一面なのである。