等価原理：重力質量と慣性質量

等価原理とは何か

等価原理の定義

等価原理は、アルベルト・アインシュタイン（1879-1955）の一般相対性理論の基本概念である。局所的に、小さな時空領域では、重力場の効果は一定の加速度の効果と区別できない、と述べる。言い換えれば、窓のないキャビンに閉じ込められた観測者は、自分が感じる重力と、それに相当する一定の加速度とを区別できない。この区別不能性は慣性力（動き出すエレベーター、ブレーキをかける車、回転木馬、自転する地球）にも及び、力学的であれそうでなかれ、いかなる局所実験も判定を下せない。

慣性質量と重力質量

より正確には、等価原理は性質の異なる二つの量の等価性として表される。慣性質量は、力を加えたときに物体が加速されにくい度合いを測る。これはニュートンの第二法則 \( F = m_i\,a \) に現れる。重力質量は、物体が受ける重力吸引を測る。これはニュートンの万有引力の法則 \( F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2} \) に現れ、天体表面では重さ \( F_{grav} = m_g \cdot g \) に現れる。ここで \( g \) は重力場の強さである。

これらの式を等しいと置くと、重力のみを受ける物体の加速度が得られる。

\[ a = \frac{m_g}{m_i}\, g \]

\( m_g = m_i \) ならば比は1となり、加速度はすべての物体で \( g \) となる。質量は計算から消える。この等価性は単なる数値的な偶然ではなく、アインシュタインの重力理論全体の基礎である。

自由落下の普遍性

その結果、重力のみを受ける物体の軌道は、その質量にも内部組成にも依存しない。真空中では、すべての物体は同じ加速度で落下する。月と小石が地球の周りの同じ軌道に置かれたなら、それらはまったく同じように軌道を巡る。安定軌道では、すべての物体は永続的な自由落下にある。国際宇宙ステーションの高度（約400 km）でも、重力は地表の値のほぼ90％ある。宇宙飛行士が浮かぶのは、ステーションと彼らが一緒に落下しているからである。この普遍性はガリレオ的・ニュートン的物理学ですでに知られていたが、一般相対性理論によって基礎原理となる。

1907年のアインシュタインの仮説

「相対性原理が、互いに加速する系についても成り立つと考えられるだろうか。」
この問いは、アルベルト・アインシュタインが1907年の論文「相対性原理とそこから導かれる帰結について」で提起した。同論文はJahrbuch der Radioaktivität und Elektronikに掲載された。アインシュタインはそこで、相対性原理が一様な速度の運動だけでなく、互いに加速する運動にも関わると仮定する。重力場が相対性原理から逃れる理由はない、というのである。
「われわれは、重力場と基準系の対応する加速度との間の完全な物理的等価性を仮定しよう。」
この第二文で、アインシュタインは重力場と基準系の加速度との完全な等価性を postulate する。

アインシュタインは後に、この考えは1907年にベルンで、家の屋根から落ちる人を想像しているときに浮かんだと語った。落下中、その人は自分の重さを感じない。彼はこれを人生で最も幸福な考えと呼んだ。

等価性から一般相対性理論へ

等価原理は一般相対性理論の数学的定式化の中心にある。これを適用して、アインシュタインは1907年から1915年にかけて、古典的ニュートン的 conception を置き換える重力理論を発展させた。
1915年11月に提示された一般相対性理論の場の方程式は、次のように書かれる。

\[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

ここで \( G_{\mu\nu} \) は時空の曲率を表すアインシュタインテンソル、\( g_{\mu\nu} \) は計量テンソル、\( \Lambda \) は宇宙定数（1917年にアインシュタインが導入）、\( G \) は重力定数、\( c \) は光速、\( T_{\mu\nu} \) は物質とエネルギーの分布を表すエネルギー・運動量テンソルである。

N.B.:
最も注目すべきは、アインシュタインが理論の完全な発展以前の1907年すでに、時計が重力場の影響を受けるはずだと推論したことである。「時計の中で進行する過程は、重力ポテンシャルが大きいほど速く進む。」原子の振動数は時計であり（当時原子時計は存在しなかった）、アインシュタインはこれらの振動数が重力ポテンシャルによって変化すると仮定し、「太陽表面から来る光は、地球上で同一の物質から放出される光よりも約 \( 2 \times 10^{-6} \) 大きい波長を持つ」と推論した。この重力赤方偏移は、1959-1960年にロバート・パウンドとグレン・レブカによって、ハーバード大学の高さ22.5 mの塔で初めて実験室測定された。

重力質量と慣性質量の関係

エレベーターの思考実験

アインシュタインは、完全に閉じたエレベーターのキャビンに閉じ込められ、外を見る可能性がまったくない人を想像した。そのとき、二組の状況は区別できない。

• 地球の地面に置かれたキャビンで、乗員が自分の重さを感じる場合と、何も質量のない空の宇宙空間に置かれ、上向きに9.81 m/s²で加速するキャビン。
• 重力場の中で自由落下するキャビンで、乗員が浮かぶ場合と、何も質量のない空の宇宙空間で静止しているか等速運動するキャビン。

いずれの場合も、その人は自分が重力を感じているのか、加速度による慣性力を感じているのかを区別できない。加速するキャビン内で落としたボールは、地球上とまったく同じ軌道を描く。

一般相対性理論における等価原理

時空の曲率と測地線

一般相対性理論では、重力はもはや古典的な力とはみなされず、質量とエネルギーによって生み出される時空の曲率の現れとみなされる。物体はもはや「引き寄せられ」ない。それらは測地線、すなわち曲がった時空における可能な限りまっすぐな軌道に沿って運動する。だからこそ自由落下する物体は重力を感じず、この幾何学的な読み方が一般相対性理論をニュートン物理学から根本的に区別する。

なぜ等価原理は局所的でしかないのか

等価原理は、十分に小さな時空領域で、十分に短い時間だけ成り立つ。地球へ自由落下する大きなキャビンでは、数メートル離して落とした二つの球は、どちらも地球の中心へ落ちるため、ゆっくり近づく。上下に置いた二つの球は、下の方がより強く引かれるため離れる。この重力場のある点から別の点への変化が潮汐力である。潮汐力は真の時空の曲率の存在を明かし、基準系の変更では消せない。だから重力は局所的にのみ加速度と等価なのである。

等価原理の三つの定式化

何を検証するかによって、物理学者は次第により一般的になる三つの命題を区別する。だから「等価原理」が複数形で語られることがある。

弱い等価原理

弱い等価原理（WEP、Weak Equivalence Principle）は自由落下の普遍性である。同じ重力場ではすべての物体が同じ加速度で落下し、これは重力質量と慣性質量の等価性に等しい。それはエトヴェシュ・パラメータ \( \eta = 2\,\dfrac{a_A - a_B}{a_A + a_B} \) で測定される。これは組成の異なる二つの物体AとBの加速度の相対差である。原理が正確なら \( \eta = 0 \) である。

アインシュタインの等価原理

アインシュタインの等価原理（EEP）は、前の原理に二つの要求を加える。自由落下する基準系では、すべての非重力法則が局所的に特殊相対性理論の形をとる（局所ローレンツ不変性）。また、あらゆる非重力実験の結果は場所にも時代にも依存しない（局所位置不変性）。この最後の条件は特に重力赤方偏移の普遍性を含意する。

強い等価原理

強い等価原理（SEP）は、その命題を、惑星や恒星のように自身の重力によって凝集している物体へ拡張する。物体の重力結合エネルギーは、その重力質量にも慣性質量にも同じように寄与しなければならない。一般相対性理論はこの原理を満たすが、すべての代替重力理論がそうではない。月レーザー測距によって検証され、組成や結合エネルギーの異なる地球と月が、太陽へ同じように落下することを確かめる。

等価原理の実験的検証

ガリレオからエトヴェシュまで

ガリレオはまず斜面に沿って球の時間を測ることで自由落下の普遍性を導いたとされる。有名なピサの斜塔の実験はおそらく伝説である。1687年、ニュートンは同じ長さの振り子に異なる物質の球を取り付け、その振動を比較し、千分の一程度の精度で同じ周期を見出した。19世紀末から、ハンガリーの物理学者ローランド・エトヴェシュは単振り子をはるかに感度の高いねじれ秤に置き換え、\( 10^{-9} \) 程度の精度に達した。

アポロ15号のハンマーと羽根

1971年8月2日、アポロ15号の宇宙飛行士デイヴィッド・スコットは、ほぼ完全な真空の月面でハンマーとハヤブサの羽根を同時に落とした。二つの物体は同じ瞬間に地面に触れた。この劇的な実演は実験室試験の精度を持たないが、自由落下の普遍性を直接示している。

現代のねじれ秤

ワシントン大学のアメリカのEöt-Washグループは、連続回転するねじれ秤を用いている。2008年、ベリリウムとチタンを比較し、エトヴェシュ・パラメータ \( (0{,}3 \pm 1{,}8) \times 10^{-13} \) を得た。これは地上実験で \( 10^{-13} \) 程度の精度水準である。

MICROSCOPE：宇宙での自由落下試験

地球上では、自由落下は落下塔で数秒しか続かず、摂動が精度を制限する。軌道上では、衛星とその内容物は永続的な自由落下にある。CNESのマイクロ衛星MICROSCOPE（MICROSatellite à traînée Compensée pour l'Observation du Principe d'Équivalence）は、2016年4月25日に高度約700 kmの軌道に打ち上げられ、二つの同心円筒を搭載していた。一方はチタン合金、他方は白金合金である。静電加速度計が二つの円筒を同じ位置に保つために必要な力を測定した。もし加速度が異なれば、これらの力も異なったはずである。冷ガスマイクロスラスタが残留大気の摩擦を補償した。衛星は2018年10月16日に停止された。

MICROSCOPEの最終結果（2022年）

2017年に発表された最初の結果はすでに \( 2 \times 10^{-14} \) 程度の精度に達していた。約5か月の自由落下データを分析した後、3分の2はチタン-白金ペア、3分の1は白金のみの参照ペアで、MICROSCOPE共同研究は2022年に最終結果を発表した。

\[ \eta(\mathrm{Ti},\mathrm{Pt}) = \left[ -1{,}5 \pm 2{,}3\,(\mathrm{stat}) \pm 1{,}5\,(\mathrm{syst}) \right] \times 10^{-15} \]

弱い等価原理の破れは検出されなかった。統計誤差と系統誤差を二乗和で組み合わせると、原理は \( 2{,}7 \times 10^{-15} \) の水準で検証される。

三世紀で十二桁

重力質量と慣性質量の等価性の試験精度は、ニュートン以来約1兆倍に高まった。

• 1687年：ニュートンの振り子、約 \( 10^{-3} \)。
• 1900年頃：エトヴェシュのねじれ秤、約 \( 10^{-9} \)。
• 2008年：Eöt-Wash回転ねじれ秤、約 \( 10^{-13} \)。
• 2017年：MICROSCOPEの最初の結果、約 \( 2 \times 10^{-14} \)。
• 2022年：MICROSCOPEの最終結果、\( 2{,}7 \times 10^{-15} \)。

原子による量子試験

巨視的物体による試験は、レーザー冷却原子による試験で補完される。これは量子物体に対する等価原理を探るものである。2026年、Ming-Sheng Zhan率いる中国のチームはScience Advancesに、中国宇宙ステーション onboard で二つのルビジウム同位体（\( ^{85}\mathrm{Rb} \) と \( ^{87}\mathrm{Rb} \)）を用いた、軌道上での最初の原子干渉法試験を発表した。280日分のデータの後、結果は \( (-2{,}7 \pm 4{,}7) \times 10^{-7} \) で、ゼロと整合し、微小重力下での以前の原子干渉法試験より3桁優れている。これらの試験は今のところ巨視的質量による試験よりはるかに精度が低いが、将来の宇宙ミッションへの道を開く。

なぜ等価原理を検証し続けるのか

一般相対性理論は、量子力学が支配する他の三つの基本相互作用を記述しないからである。重力と量子物理学を統一しようとするほとんどの理論、たとえば弦理論は、未知の水準で等価原理の破れを予測する。したがって精度の向上ごとに、可能な理論の空間が狭まる。ONERAとGéoAzur研究所はCNESの後援の下、MICROSCOPEの後継機で百倍の精度を目指す予備研究を開始し、STE-QUESTのような宇宙での冷原子プロジェクトが欧州宇宙機関に提案されている。これらのプロジェクトは宇宙分野で常に長期間を要するが、検討中である。

N.B.:
弱い等価原理は物理学全体について証明された法則ではない。一般相対性理論の postulate であり、統一理論がそれを覆す可能性がある。したがってここでの原理は獲得された真理ではない。だからこそ、ますます高い精度で検証し続けることに意味がある。