Das Äquivalenzprinzip: schwere Masse und träge Masse

Was ist das Äquivalenzprinzip?

Definition des Äquivalenzprinzips

Das Äquivalenzprinzip ist ein grundlegendes Konzept der allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein (1879-1955). Es besagt, dass lokal, in einem kleinen Raumzeitvolumen, die Wirkungen eines Gravitationsfeldes nicht von denen einer konstanten Beschleunigung zu unterscheiden sind. Mit anderen Worten: Ein Beobachter, der in einer fensterlosen Kabine eingeschlossen ist, kann nicht zwischen der Schwerkraft, die er spürt, und einer äquivalenten konstanten Beschleunigung unterscheiden. Diese Ununterscheidbarkeit erstreckt sich auf Trägheitskräfte (anfahrender Aufzug, bremsendes Auto, Karussell, rotierende Erde), und kein lokales Experiment, ob mechanisch oder anders, erlaubt eine Entscheidung.

Träge Masse und schwere Masse

Genauer gesagt drückt sich das Äquivalenzprinzip durch die Gleichheit zweier Größen unterschiedlicher Natur aus. Die träge Masse misst den Widerstand eines Objekts gegen Beschleunigung, wenn eine Kraft ausgeübt wird: Sie erscheint im zweiten Newtonschen Gesetz, \( F = m_i\,a \). Die schwere Masse misst die gravitative Anziehung, die ein Objekt erfährt: Sie erscheint im Newtonschen Gravitationsgesetz, \( F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2} \), und an der Oberfläche eines Himmelskörpers im Gewicht \( F_{grav} = m_g \cdot g \), wobei \( g \) die Stärke des Gravitationsfeldes ist.

Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke erhält man die Beschleunigung eines Körpers, der allein der Schwerkraft unterliegt:

\[ a = \frac{m_g}{m_i}\, g \]

Wenn \( m_g = m_i \), ist das Verhältnis 1 und die Beschleunigung ist \( g \) für alle Körper: Die Masse verschwindet aus der Berechnung. Diese Gleichheit ist kein einfacher numerischer Zufall, sondern die Grundlage der gesamten Gravitationstheorie Einsteins.

Universalität des freien Falls

Daraus folgt, dass die Bahn eines Objekts, das allein der Schwerkraft unterliegt, weder von seiner Masse noch von seiner inneren Zusammensetzung abhängt. Im Vakuum fallen daher alle Objekte mit derselben Beschleunigung. Wären der Mond und ein Kieselstein auf derselben Umlaufbahn um die Erde platziert, würden sie sie genau gleich durchlaufen: Auf einer stabilen Umlaufbahn befinden sich alle Körper im permanenten freien Fall. In der Höhe der Internationalen Raumstation (etwa 400 km) beträgt die Schwerkraft noch fast 90 % ihres Wertes am Boden; wenn Astronauten schweben, dann deshalb, weil die Station und sie gemeinsam fallen. Diese Universalität war bereits der galileischen und newtonschen Physik bekannt und wird mit der allgemeinen Relativitätstheorie zu einem grundlegenden Prinzip.

Einsteins Hypothese von 1907

„Ist es denkbar, dass das Relativitätsprinzip auch für beschleunigte Systeme relativ zueinander gilt?“
Diese Frage stellte Albert Einstein in seinem Artikel von 1907 mit dem Titel „Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen“, veröffentlicht im Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. Einstein nimmt dort an, dass das Relativitätsprinzip nicht nur für Bewegungen mit gleichförmiger Geschwindigkeit gilt, sondern auch für relativ zueinander beschleunigte Bewegungen: Es gibt keinen Grund, warum das Gravitationsfeld dem Relativitätsprinzip entgehen sollte.
„Wir wollen die Hypothese der vollständigen physikalischen Äquivalenz zwischen einem Gravitationsfeld und der entsprechenden Beschleunigung des Bezugssystems machen.“
In diesem zweiten Satz postuliert Einstein eine vollständige Äquivalenz zwischen dem Gravitationsfeld und der Beschleunigung des Bezugssystems.

Einstein erzählte später, diese Idee sei ihm 1907 in Bern gekommen, als er sich einen Mann vorstellte, der vom Dach eines Hauses fällt: Während seines Falls spürt dieser Mann sein eigenes Gewicht nicht. Er bezeichnete sie als den glücklichsten Gedanken seines Lebens.

Von der Äquivalenz zur allgemeinen Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip steht im Herzen der mathematischen Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie. Durch seine Anwendung entwickelte Einstein zwischen 1907 und 1915 eine Gravitationstheorie, die die klassische newtonsche Auffassung ersetzt.
Die Feldgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie, im November 1915 vorgestellt, lautet:

\[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

wobei \( G_{\mu\nu} \) der Einstein-Tensor ist, der die Krümmung der Raumzeit beschreibt, \( g_{\mu\nu} \) der metrische Tensor, \( \Lambda \) die kosmologische Konstante (von Einstein 1917 eingeführt), \( G \) die Gravitationskonstante, \( c \) die Lichtgeschwindigkeit und \( T_{\mu\nu} \) der Energie-Impuls-Tensor, der die Verteilung von Materie und Energie beschreibt.

N.B.:
Bemerkenswert ist, dass Einstein bereits 1907, noch vor der vollständigen Entwicklung seiner Theorie, folgerte, dass Uhren vom Gravitationsfeld beeinflusst werden müssen: „Der in der Uhr ablaufende Prozess verläuft umso schneller, je größer das Gravitationspotential ist.“ Da atomare Frequenzen Uhren sind (Atomuhren existierten damals nicht), nahm Einstein an, dass diese Frequenzen durch das Gravitationspotential verändert werden, und folgerte, dass „das von der Sonnenoberfläche kommende Licht eine um etwa \( 2 \times 10^{-6} \) größere Wellenlänge besitzt als das von identischen Substanzen auf der Erde emittierte Licht“. Diese gravitative Rotverschiebung wurde erstmals 1959-1960 von Robert Pound und Glen Rebka im Labor an einem 22,5 m hohen Turm der Harvard University gemessen.

Die Beziehung zwischen schwerer Masse und träger Masse

Das Gedankenexperiment mit dem Aufzug

Einstein stellte sich eine Person vor, die in einer vollständig geschlossenen Aufzugkabine eingesperrt ist, ohne jede Möglichkeit, nach draußen zu sehen. Zwei Paare von Situationen sind dann ununterscheidbar:

• eine auf dem Erdboden stehende Kabine, in der der Insasse sein Gewicht spürt, und eine im leeren Raum, fern von jeder Masse, nach oben mit 9,81 m/s² beschleunigte Kabine;
• eine im freien Fall in einem Gravitationsfeld befindliche Kabine, in der der Insasse schwebt, und eine ruhende oder gleichförmig bewegte Kabine im leeren Raum, fern von jeder Masse.

In allen Fällen kann die Person nicht unterscheiden, ob sie eine Gravitationskraft oder eine Trägheitskraft aufgrund der Beschleunigung spürt. Ein in der beschleunigten Kabine fallengelassener Ball folgt genau derselben Bahn wie auf der Erde.

Das Äquivalenzprinzip in der allgemeinen Relativitätstheorie

Krümmung der Raumzeit und Geodäten

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation nicht mehr als klassische Kraft betrachtet, sondern als Manifestation der Krümmung der Raumzeit, die durch Masse und Energie erzeugt wird. Objekte werden nicht mehr „angezogen“: Sie folgen einer Geodäte, also der möglichst geraden Bahn in einer gekrümmten Raumzeit. Deshalb spürt ein Objekt im freien Fall keine Gravitationskraft, und es ist diese geometrische Lesart, die die allgemeine Relativitätstheorie radikal von der newtonschen Physik unterscheidet.

Warum ist das Äquivalenzprinzip nur lokal gültig?

Das Äquivalenzprinzip gilt nur in einem ausreichend kleinen Raumzeitgebiet und für eine ausreichend kurze Dauer. In einer großen, zur Erde frei fallenden Kabine nähern sich zwei einige Meter voneinander entfernt fallengelassene Kugeln langsam an, weil beide zum Erdmittelpunkt fallen; zwei übereinander angeordnete Kugeln entfernen sich voneinander, weil die untere stärker angezogen wird. Diese Variationen des Gravitationsfeldes von einem Punkt zum anderen sind die Gezeitenkräfte: Sie verraten das Vorhandensein einer wahren Krümmung der Raumzeit und können nicht durch einen Wechsel des Bezugssystems beseitigt werden. Deshalb ist die Schwerkraft nur lokal einer Beschleunigung äquivalent.

Die drei Formulierungen des Äquivalenzprinzips

Je nachdem, was getestet wird, unterscheiden Physiker drei immer allgemeinere Aussagen. Deshalb spricht man manchmal im Plural von den „Prinzipien“ der Äquivalenz.

Das schwache Äquivalenzprinzip

Das schwache Äquivalenzprinzip (WEP, Weak Equivalence Principle) ist die Universalität des freien Falls: In demselben Gravitationsfeld fallen alle Körper mit derselben Beschleunigung, was der Gleichheit von schwerer Masse und träger Masse entspricht. Es wird durch den Eötvös-Parameter \( \eta = 2\,\dfrac{a_A - a_B}{a_A + a_B} \) gemessen, die relative Differenz zwischen den Beschleunigungen zweier Körper A und B unterschiedlicher Zusammensetzung. Wenn das Prinzip exakt gilt, ist \( \eta = 0 \).

Einsteins Äquivalenzprinzip

Einsteins Äquivalenzprinzip (EEP) fügt dem vorigen zwei Forderungen hinzu: In einem frei fallenden Bezugssystem nehmen alle nichtgravitativen Gesetze der Physik lokal die Form an, die ihnen die spezielle Relativitätstheorie gibt (lokale Lorentz-Invarianz), und das Ergebnis jedes nichtgravitativen Experiments hängt weder vom Ort noch von der Zeit ab (lokale Positionsinvarianz). Diese letzte Bedingung impliziert insbesondere die Universalität der gravitativen Rotverschiebung.

Das starke Äquivalenzprinzip

Das starke Äquivalenzprinzip (SEP) erweitert die Aussage auf Körper, deren Zusammenhalt durch ihre eigene Schwerkraft gewährleistet wird, wie Planeten und Sterne: Die gravitative Bindungsenergie eines Körpers muss in gleicher Weise zu seiner schweren Masse und zu seiner trägen Masse beitragen. Die allgemeine Relativitätstheorie erfüllt dieses Prinzip, was nicht für alle alternativen Gravitationstheorien gilt. Es wird durch Lunar Laser Ranging getestet, das überprüft, dass Erde und Mond mit unterschiedlichen Zusammensetzungen und Bindungsenergien in gleicher Weise zur Sonne fallen.

Experimentelle Tests des Äquivalenzprinzips

Von Galileo bis Eötvös

Galileo soll die Universalität des freien Falls zuerst durch das Messen der Fallzeiten von Kugeln auf schiefen Ebenen abgeleitet haben; das berühmte Experiment vom Turm zu Pisa ist wahrscheinlich eine Legende. 1687 verglich Newton die Schwingungen gleich langer Pendel mit Kugeln aus unterschiedlichen Materialien und fand dieselbe Periode mit einer Genauigkeit in der Größenordnung eines Tausendstels. Ab dem Ende des 19. Jahrhunderts ersetzte der ungarische Physiker Loránd Eötvös das einfache Pendel durch die viel empfindlichere Torsionswaage und erreichte eine Genauigkeit in der Größenordnung von \( 10^{-9} \).

Hammer und Feder von Apollo 15

Am 2. August 1971 ließ der Astronaut David Scott von der Apollo-15-Mission gleichzeitig einen Hammer und eine Falkenfeder auf der Mondoberfläche im nahezu vollständigen Vakuum fallen. Beide Objekte berührten den Boden im selben Augenblick. Diese spektakuläre Vorführung hat nicht die Präzision eines Labortests, veranschaulicht aber unmittelbar die Universalität des freien Falls.

Moderne Torsionswaagen

Die amerikanische Eöt-Wash-Gruppe der University of Washington verwendet eine kontinuierlich rotierende Torsionswaage. 2008 verglich sie Beryllium und Titan und erhielt einen Eötvös-Parameter von \( (0{,}3 \pm 1{,}8) \times 10^{-13} \), also eine Genauigkeit in der Größenordnung von \( 10^{-13} \) für am Boden durchgeführte Experimente.

MICROSCOPE: ein Freifalltest im Weltraum

Auf der Erde dauert der freie Fall in einem Fallturm nur wenige Sekunden, und Störungen begrenzen die Genauigkeit. Im Orbit befinden sich ein Satellit und sein Inhalt im permanenten freien Fall. Der CNES-Mikrosatellit MICROSCOPE (MICROSatellite à traînée Compensée pour l'Observation du Principe d'Équivalence), am 25. April 2016 auf eine Umlaufbahn in etwa 700 km Höhe gestartet, trug zwei konzentrische Zylinder, einen aus einer Titanlegierung, den anderen aus einer Platinlegierung. Ein elektrostatischer Beschleunigungsmesser maß die Kraft, die nötig war, um die beiden Zylinder am selben Ort zu halten: Hätten sich ihre Beschleunigungen unterschieden, hätten sich auch diese Kräfte unterschieden. Kaltgas-Mikrotriebwerke glichen die Reibung der Restatmosphäre aus. Der Satellit wurde am 16. Oktober 2018 deaktiviert.

Das Endergebnis von MICROSCOPE (2022)

Die ersten Ergebnisse, 2017 veröffentlicht, hatten bereits eine Genauigkeit in der Größenordnung von \( 2 \times 10^{-14} \) erreicht. Nach der Analyse von etwa fünf Monaten Freifalldaten, zwei Drittel mit dem Titan-Platin-Paar und ein Drittel mit einem Referenzpaar aus reinem Platin, veröffentlichte die MICROSCOPE-Kollaboration 2022 das Endergebnis:

\[ \eta(\mathrm{Ti},\mathrm{Pt}) = \left[ -1{,}5 \pm 2{,}3\,(\mathrm{stat}) \pm 1{,}5\,(\mathrm{syst}) \right] \times 10^{-15} \]

Es wird keine Verletzung des schwachen Äquivalenzprinzips festgestellt. Durch quadratische Kombination der statistischen und systematischen Fehler wird das Prinzip auf dem Niveau von \( 2{,}7 \times 10^{-15} \) bestätigt.

Zwölf Größenordnungen in drei Jahrhunderten

Die Genauigkeit der Tests der Gleichheit von schwerer Masse und träger Masse wurde seit Newton somit um etwa eine Billion gesteigert:

• 1687: Newtons Pendel, etwa \( 10^{-3} \).
• Um 1900: Eötvös-Torsionswaagen, etwa \( 10^{-9} \).
• 2008: rotierende Eöt-Wash-Torsionswaage, etwa \( 10^{-13} \).
• 2017: erste MICROSCOPE-Ergebnisse, etwa \( 2 \times 10^{-14} \).
• 2022: MICROSCOPE-Endergebnis, \( 2{,}7 \times 10^{-15} \).

Quantentests mit Atomen

Tests mit makroskopischen Objekten werden durch Tests mit lasergekühlten Atomen ergänzt, welche das Äquivalenzprinzip für quantenmechanische Objekte untersuchen. Im Jahr 2026 veröffentlichte ein chinesisches Team unter der Leitung von Ming-Sheng Zhan in Science Advances den ersten Test im Orbit mittels Atominterferometrie, durchgeführt an Bord der chinesischen Raumstation mit zwei Rubidiumisotopen (\( ^{85}\mathrm{Rb} \) und \( ^{87}\mathrm{Rb} \)). Nach 280 Tagen Daten beträgt das Ergebnis \( (-2{,}7 \pm 4{,}7) \times 10^{-7} \), vereinbar mit null, also drei Größenordnungen besser als frühere Atominterferometrietests in Mikrogravitation. Diese Tests bleiben vorerst weit weniger präzise als die mit makroskopischen Massen, öffnen aber den Weg zu künftigen Weltraummissionen.

Warum das Äquivalenzprinzip weiter testen?

Weil die allgemeine Relativitätstheorie die anderen drei fundamentalen Wechselwirkungen nicht beschreibt, die von der Quantenmechanik regiert werden. Die meisten Theorien, die Gravitation und Quantenphysik zu vereinigen versuchen, wie die Stringtheorie, sagen eine Verletzung des Äquivalenzprinzips auf einem noch unbekannten Niveau voraus. Jeder Präzisionsgewinn verringert daher den Raum der möglichen Theorien. ONERA und das Labor GéoAzur haben unter der Ägide des CNES vorbereitende Studien für einen Nachfolger von MICROSCOPE begonnen, der eine hundertmal bessere Genauigkeit anstrebt, und Kaltatom-Weltraumprojekte wie STE-QUEST werden der Europäischen Weltraumorganisation vorgeschlagen. Diese Projekte, die im Raumfahrtbereich immer lange brauchen, sind in Untersuchung.

N.B.:
Das schwache Äquivalenzprinzip ist kein für die gesamte Physik bewiesenes Gesetz: Es ist ein Postulat der allgemeinen Relativitätstheorie, das Vereinheitlichungstheorien infrage stellen könnten. Ein Prinzip ist hier also keine gesicherte Wahrheit, daher das Interesse, es weiterhin mit immer größerer Präzision zu testen.