Die Maxwell-Gleichungen: Licht ist eine Welle

Wissenschaftliche Zusammenfassung

Dieser Artikel von Astronoo stellt die Maxwell-Gleichungen vor, vier mathematische Beziehungen, die Elektrizität, Magnetismus und Optik vereinen. In ausführlicher Form 1865 veröffentlicht und dann 1884 von Oliver Heaviside auf vier Vektorgleichungen reduziert, verbinden sie das elektrische Feld, das magnetische Feld, die Ladungsdichte und die Stromdichte. Der Artikel erläutert nacheinander das Gaußsche Gesetz, die Abwesenheit magnetischer Monopole, das Faradaysche Gesetz und das Ampère-Maxwell-Gesetz. Er zeigt, wie diese Gleichungen die Existenz elektromagnetischer Wellen implizieren, die sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, was das Licht als elektromagnetische Welle identifiziert.

Wie erklären die Maxwell-Gleichungen, dass Licht eine Welle ist?

Dieser Artikel ist den Maxwell-Gleichungen gewidmet, einem Satz von vier Gleichungen, die beschreiben, wie das elektrische und das magnetische Feld entstehen, sich verändern und sich ausbreiten. Doch wie ermöglichen es diese vier Beziehungen zu behaupten, dass Licht eine Welle ist? Die Antwort liegt in ihrer eigenen Struktur: Zwei von ihnen besagen, dass Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen und Ströme ein magnetisches Feld, während die beiden anderen zeigen, dass ein veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Feld erzeugt, und umgekehrt. Diese Kopplung ermöglicht es beiden Feldern, sich gegenseitig zu erneuern und gemeinsam durch das Vakuum voranzuschreiten, wodurch eine elektromagnetische Welle entsteht, die sich mit endlicher Geschwindigkeit fortbewegt. Indem Maxwell diese Geschwindigkeit aus im Labor gemessenen Konstanten berechnete, erhielt er einen Wert, der dem des damals bereits bekannten Lichts sehr nahe kam. Er schloss daraus, dass Licht kein von Elektrizität und Magnetismus verschiedenes Phänomen ist, sondern eine besondere Erscheinungsform des Elektromagnetismus. Diese Vereinheitlichung ebnete den Weg für Radio, Radar und die gesamte Wellenphysik.

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Die 4 Maxwell-Gleichungen

Von zwanzig Gleichungen 1865 zu vier 1884

Maxwell veröffentlichte seine Theorie erstmals 1865 in Form von zwanzig Gleichungen mit zwanzig Unbekannten, dann 1873 in Form von acht Gleichungen. Erst 1884 formulierte Oliver Heaviside (1850-1925) diese Gleichungen in Form von vier Vektor- und Skalargleichungen um.

Die Maxwell-Gleichungen sind also eine Menge von vier mathematischen Gleichungen, die die grundlegenden Eigenschaften elektromagnetischer Felder beschreiben und für das Verständnis von Elektrizität und Magnetismus unerlässlich sind. Sie bilden heute das Fundament des klassischen Elektromagnetismus.

Elektrisches Feld und magnetisches Feld: die Bausteine

Das elektrische Feld \(\vec{E}\) wird von geladenen Teilchen erzeugt, deren Dichte mit \(\rho\) bezeichnet wird. Das magnetische Feld \(\vec{B}\) wird von Strömen erzeugt, das heißt von bewegten Ladungen, die mit \(\vec{J}\) bezeichnet werden. Wenn ein Strom durch einen Kupferdraht fließt, entsteht ein magnetisches Feld: Dieser Strom lenkt die Nadel eines in der Nähe befindlichen Kompasses ab. Sehr viele Phänomene sind gleichzeitig elektrisch und magnetisch (Wellen einschließlich Licht, Elektrostatik, Batterien, elektromagnetische Induktion, Elektromagnete usw.).

Die Maxwell-Gleichungen werden oft in Vektorschreibweise geschrieben, um die elektromagnetischen Felder (\(\vec{E}\) und \(\vec{B}\)) darzustellen.

Erste Gleichung: das Gaußsche Gesetz

Die erste Maxwell-Gleichung, auch Gaußsches Gesetz genannt, beschreibt, wie der elektrische Fluss eine geschlossene Oberfläche durchdringt.

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

\(\nabla \cdot \vec{E}\) ist die Divergenz des elektrischen Feldes, die den Betrag des aus einer gegebenen Oberfläche austretenden elektrischen Flusses misst.
\(\rho\) ist die elektrische Ladungsdichte im betrachteten Bereich, und \(\varepsilon_0\) die Permittivität des Vakuums, eine physikalische Konstante.

Zweite Gleichung: es gibt keinen magnetischen Monopol

Die zweite Maxwell-Gleichung, auch Gaußsches Gesetz für den Magnetismus genannt, besagt, dass der gesamte magnetische Fluss durch eine geschlossene Gaußsche Oberfläche immer null ist, was die Abwesenheit magnetischer Monopole widerspiegelt: Magnetfeldlinien schließen sich immer in sich selbst.

\[ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \]

\(\nabla \cdot \vec{B}\) ist die Divergenz des magnetischen Feldes, die den Betrag des aus einer gegebenen Oberfläche austretenden magnetischen Flusses misst.

Dritte Gleichung: das Faradaysche Gesetz

Die dritte Maxwell-Gleichung, auch Faradaysches Gesetz genannt, beschreibt, wie ein bewegtes Magnetfeld ein elektrisches Feld erzeugen kann. Sie verbindet die Rotation des elektrischen Feldes mit der zeitlichen Änderung des magnetischen Feldes.

\[ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \]

\(\nabla \times \vec{E}\) ist die Rotation des elektrischen Feldes, die die Zirkulation des elektrischen Feldes um eine gegebene Schleife misst.
\(\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) ist die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes.

Vierte Gleichung: das Ampère-Maxwell-Gesetz

Die vierte Maxwell-Gleichung, auch Ampère-Maxwell-Gesetz genannt, beschreibt, wie ein bewegtes elektrisches Feld ein magnetisches Feld erzeugen kann. Sie verbindet die Rotation des magnetischen Feldes mit dem elektrischen Strom und dem Verschiebungsstrom.

\[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \]

\(\nabla \times \vec{B}\) ist die Rotation des magnetischen Feldes, die die Zirkulation des magnetischen Feldes um eine gegebene Schleife misst.
\(\mu_0\) ist die Permeabilität des Vakuums, eine weitere physikalische Konstante.
\(\vec{J}\) ist die elektrische Stromdichte im betrachteten Bereich, und \(\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes.

Felder, die sich gegenseitig erzeugen

Die Maxwell-Gesetze beschreiben das Verhalten der elektrischen und magnetischen Felder und die Beziehung zwischen beiden. So zeigen die Maxwell-Gleichungen, wie elektrische und magnetische Felder sich in Bewegung gegenseitig erzeugen können. Daraus entstehen elektromagnetische Wellen, die sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, ohne materielles Medium, und von denen das sichtbare Licht nur eine der zahlreichen Frequenzfamilien ist.

N.B.:
Die vier obigen Gleichungen sind im Internationalen Einheitensystem (SI) geschrieben, mit \(\varepsilon_0\) der Permittivität des Vakuums und \(\mu_0\) der Permeabilität des Vakuums. Andere Notationskonventionen, insbesondere in Gaußschen Einheiten, führen zu Ausdrücken, die sich um einen Faktor unterscheiden.

Literatur

FAQ: alles Wissenswerte über die Maxwell-Gleichungen

Was ist eine Maxwell-Gleichung?

Eine Maxwell-Gleichung ist eine mathematische Beziehung, die das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder sowie deren Zusammenhang mit ihren Quellen – elektrischen Ladungen und Strömen – beschreibt. Es gibt vier, oft in Vektorform geschrieben. Zusammen bilden sie die vollständige Formulierung des klassischen Elektromagnetismus und ermöglichen die Vorhersage der Entwicklung eines Feldes in Raum und Zeit.

Warum gibt es nur vier Maxwell-Gleichungen?

Maxwell hatte 1865 eine Theorie mit zwanzig Gleichungen und zwanzig Unbekannten veröffentlicht, dann 1873 acht Gleichungen. Oliver Heaviside war es, der 1884 das Ganze zu vier äquivalenten Vektorgleichungen zusammenfasste und vereinfachte. Die Zahl vier spiegelt also keine Vereinfachung des physikalischen Inhalts wider, sondern eine kompaktere und elegantere Schreibweise derselben Gesetze.

Was stellt die Divergenz eines Vektorfeldes dar?

Die Divergenz misst die Tendenz eines Feldes, von einem Punkt zu „entweichen“, das heißt die Menge des Flusses, die aus einer kleinen geschlossenen Oberfläche austritt, die diesen Punkt umgibt. Eine nicht verschwindende Divergenz zeigt das Vorhandensein einer Quelle oder Senke des Feldes an. Auf das elektrische Feld angewandt, offenbart sie die elektrischen Ladungen; auf das magnetische Feld angewandt, ist sie immer null, da es keine magnetischen Monopole gibt.

Warum ist Licht eine elektromagnetische Welle?

Die Maxwell-Gleichungen koppeln das elektrische Feld und das magnetische Feld: Eine Änderung des einen erzeugt das andere, und umgekehrt. Diese Kopplung erlaubt eine propagierende Lösung, die elektromagnetische Welle, deren Geschwindigkeit im Vakuum aus der Permittivität und der Permeabilität des Vakuums berechnet wird. Der erhaltene Wert entspricht der Lichtgeschwindigkeit, was Maxwell dazu veranlasste, das Licht mit einer elektromagnetischen Welle zu identifizieren – eine Hypothese, die 1887 von Hertz experimentell bestätigt wurde.

Bleiben die Maxwell-Gleichungen in allen Fällen gültig?

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben den klassischen Elektromagnetismus und bleiben im makroskopischen Maßstab und für Felder, die schwach im Vergleich zum kritischen Feld der Quantenelektrodynamik sind, gültig. Sie müssen jedoch durch die Quantenelektrodynamik ersetzt werden, um Phänomene auf atomarer Ebene zu beschreiben, und sie sind mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar, deren historische Quellen sie sogar darstellen.

Was sind die Permittivität und die Permeabilität des Vakuums?

Die Permittivität des Vakuums \(\varepsilon_0\) charakterisiert die Antwort des Vakuums auf ein elektrisches Feld, während die Permeabilität des Vakuums \(\mu_0\) seine Antwort auf ein magnetisches Feld charakterisiert. Diese beiden Konstanten erscheinen direkt in den Maxwell-Gleichungen. Ihr Produkt bestimmt die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gemäß der Beziehung \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\).