最后更新：2025年10月5日

E=mc²：一个方程，一场革命

狭义相对论：远不止一个著名公式

E=mc² 是整个物理学中最著名、最广为人知的方程。

方程E=mc²首次出现在阿尔伯特·爱因斯坦题为《物体的惯性是否取决于其能量含量？》的文章中，该文于1905年9月27日发表在《物理学年鉴》期刊上。这篇文章发表于1905年6月30日题为《论动体的电动力学》一文之后。1905年6月的这篇文章为后来被称为"狭义相对论"的理论奠定了基础。

狭义相对论基于两个原理：伽利略相对性和光速不变性。伽利略相对性指出，物理定律在惯性参考系（匀速运动的参考系统）中保持不变，这些参考系现在被称为伽利略系。此外，速度是相对于一个参考点而言的，这个参考点是任意选定的固定点。光速不变性意味着光速是一个极限且不可超越的速度，无论参考系如何。

但方程E=mc²究竟意味着什么呢？

实际上，原始方程为E²=m²c⁴+p²c²（E=能量，m=质量，c=光速，p=动量）。换言之，物体的总能量等于其静质量能（m²c⁴）与动能（p²c²）之和。

若物体静止，其动量为零，则E²=m²c⁴ ⇒ E=mc²。该方程的其他形式为m=E/c²或Δm=ΔE/c²（Δ表示变化量）。

方程E=mc²对空间、时间、质量和能量的概念，以及对无穷大（宇宙学）和无穷小（量子物理学）的物理学，都产生了深远的影响。

注：速度合成定律：如果 V1 是参考系 R1（例如，一列以 100 公里/小时行驶的火车）的速度，V2 是步行者（参考系 R2）相对于火车沿相同方向以 10 公里/小时移动的速度，那么步行者相对于站台（参考系 R0）的速度 V0 是多少？答案是 V0 = V1 + V2 = 110 公里/小时。从站台的角度看，火车以 100 公里/小时移动，步行者以 110 公里/小时移动。从火车的角度看，步行者以 10 公里/小时移动，站台以 -100 公里/小时移动。从步行者的角度看，火车以 -10 公里/小时移动，站台以 -110 公里/小时移动。速度是相对的，它取决于观察角度。在惯性参考系内进行的任何力学实验都无法确定该参考系自身的速度。

注：传递给物体的动量或运动量等于质量乘以速度（p=mv）。这对应于物体的惯性，即改变其运动的难度。

光以太：当光在以太中传播时

在1905年6月30日发表于《物理年鉴》的论文《论动体的电动力学》中，爱因斯坦提出光不仅具有波动性，还由光子（光微粒）构成。这一观点将使他得以挑战以太的存在。

自17世纪以来，光被麦克斯韦重新定义为波。声音需要介质（空气）在传播时振动。同样，波也需要介质（水）来传播。18世纪的物理学家因此提出了发光以太的概念，这是一种无形的基底，在真空中作为光的载体。光通过时以太会振动，这曾是科学界的共识。而爱因斯坦认为，如果光不仅具有波动性，还由光子组成，那么发光以太便无存在的必要。

爱因斯坦强烈反对洛伦兹所坚持的以太静止性质，因为这违背了相对论原理。光可以在真空中以微粒形式传播。

注：根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831-1879）的方程组，光是一种自传播的横电磁波，具有电场和磁场分量。其中电场与磁场相互垂直振荡，并沿垂直于传播方向无限传播，除非被中间物质吸收。换言之，电场与磁场这两种场相互激发，使整个复合结构在真空中以有限光速c（源自拉丁语celeritas"速度"）传播。

光速：自然的终极极限

以太的消除告诉我们，绝对速度的概念并不存在；速度是相对的。这意味着，如果一个物体在一个参考系中具有速度c，那么它在所有参考系中都具有速度c。

如何接受这种怪异？

理解狭义相对论理论需要以下假设。

在空间和时间中没有特殊点；时空是均匀的。如果进行一项实验，测量结果无论在此处还是彼处，无论昨天还是明天，都将保持有效。
空间中不存在任何特殊方向（空间是各向同性的）。若进行某项实验，其测量结果在空间所有方向上都保持有效，这与时间不同——时间始终沿同一方向流动（从过去指向未来）。
相同的变换定律将位于不同惯性参考系中的观察者所看到的实验测量结果联系起来。
如果事件A是事件B的原因，无论观察者是谁，事件A始终是事件B的原因。因果关系必须被尊重，这意味着无论运动状态如何，事件的顺序永远不会颠倒。

如果我们接受这些假设，洛伦兹变换（1853-1928）会修改速度合成定律。

V=V1+V2 变为 V=(V1+V2)/(1 + V1V2/c²)

证明：若V2=c ⇒ V=c。由于V2的能量最大，速度V1为零！

V=(V1+c)/(1+V1c/c²)=(V1+c)/(1+V1/c)=c(V1+c)/(c+V1)=c

c已成为一个极限常数，以速度c运动的物体不依赖于参考系。若某物体以光速传播，则对所有观测者而言它均以光速传播。实验测得c=299,792,458米/秒。在我们所处的尺度下，V1和V2相较于c很小，因此洛伦兹因子（γ=1/√(1-v²/c²)）非常接近1，从而可得V≈V1+V2。

洛伦兹因子是描述物体在运动时，其相对论性时间、长度和质量发生变化的比例因子。当物体速度达到光速时，该因子取无穷大值。

γ=1/√(1-v²/c²) ⇒ γ=1/√(1-c²/c²) ⇒ γ=1/0 = ∞

洛伦兹因子的图像显示出一条渐近线。当速度v趋近于光速c时，这条渐近线急剧垂直上升。以下是不同速度值对应的洛伦兹因子数值。

在10%光速时，γ因子=1.005
在20%光速时，因子γ=1.021
在50%光速时，因子γ=1.16
在99%光速时，γ≈7
在99.9%的光速下，因子γ≈22
在99.99%光速下，γ≈71
在100%光速时，伽马因子为无穷大。

时间膨胀：速度与引力的影响

洛伦兹因子（γ=1/√(1-v²/c²)）适用于相对论框架中的所有概念，时间自然也不例外。

一束激光从月球反射回来，去程需时1.3秒，回程也需1.3秒。激光在两块镜子之间往返运动可视为一个时钟。一名以极高速度掠过地球的飞行员观察到一种奇特现象：他看到光并非垂直往返，而是呈锯齿形运动。对他来说，光束走过的距离比地球上的观测者更长。地面观测者看到的激光方向是垂直的，因此距离比飞行员看到的更短。

由于v=dt且光速不变，若v不变而距离d更大，则时间更短。从飞行员的角度看，光摆的振荡比地球上的观测者更慢。

在航天器中，时间会以γ因子膨胀，该因子是航天器速度的函数。运动会导致时间变慢。这一点已通过原子钟得到实际验证，原子钟能够进行极其精确的测量。安装在飞行飞机上的原子钟与放置在地面上的原子钟会获得不同的时间测量结果，导致时钟出现不同步。飞机上的时钟会慢几纳秒，但这种差异是真实且可测量的。这一微小差异源于飞机相对于光速的较低速度。

长度收缩：一种基本的相对论效应

洛伦兹因子（γ=1/√(1-v²/c²)）适用于相对论框架中的所有概念。长度同样受到影响。

要测量一个运动物体的长度，必须同时（在同一瞬间）测量其两端。对于以光速运动的物体，这是不可能的。要测量它，物体必须静止。因此，必须处于物体静止的参考系中。

在其参考系中，运动物体的长度会缩短至原来的伽马分之一。为理解这一长度收缩现象，一个实例将比公式更为直观。

μ子是一种带负电的基本粒子，不稳定，产生于海拔35公里的大气层上层。宇宙射线是来自太空的高相对论能量原子核（质子）流。当宇宙射线与高层大气中的氧原子或氮原子碰撞时，会产生包括μ子在内的粒子簇射。μ子的平均寿命为2.2微秒，运动速度接近光速。这意味着在其整个生命周期中，它们平均仅能行进660米。

当μ子只能行进660米时，它们怎么可能出现在地面（低35公里处）？

μ子具有很高的能量，因此狭义相对论所描述的时间膨胀效应使它们能够在地球表面被观测到。

确实，从地面观察者的角度来看，以光速运动的μ子寿命会延长γ倍（2.2γ）。而从μ子自身的视角来看，它的寿命将延长75倍，因此有可能在地面上被观测到。从μ子的视角来看，是地球正以光速向它运动。它会看到地球的尺寸同样缩小了γ倍。对于μ子而言，原本35公里厚的大气层将只剩下660米，因此它能在消失前抵达地面。

两种观点都得出相同的物理结果。从地面观测者的角度来看，存在时间膨胀；而从μ子的角度来看，则存在长度收缩。与时间膨胀类似，我们在日常生活中无法观察到长度收缩，因为我们的运动速度与光速相比非常低。

质量：从理论到实践

铀核裂变 — 在核裂变反应中，一个中子被铀-235原子核吸收，使其转变为铀-236原子核。后者因不稳定而分裂成两个较轻的元素（氪-92和钡-141），称为裂变碎片，并释放出三个中子。同时还会产生高能伽马射线（图中未显示）。图片来源：vevansphysics.wikispaces.com

在E=mc²中，因子c²的巨大数值告诉我们，一个物体仅凭其质量就拥有极其庞大的能量。

如果我们能从1克物质中提取出所有能量，将获得90,000 GJ [E=0.001×(3×10⁸)²=9×10¹³焦耳] 或25 GWh，相当于一座1吉瓦核电站的日发电量。1毫克物质所蕴含的质量能等于2吨石油的化学能（1吨石油=41.868 GJ）。物质中隐藏的质量能真是巨大无比！！！
一个巨大的物体会发射电磁辐射，因此也会发光（尤其在加热金属时可见）。一旦物体失去能量，其质量也会随之减少。换句话说，物体可以在不损失粒子的情况下损失质量。这意味着质量不再衡量物体中物质的量，而是衡量其能量的多少。例如，氢原子核的质量并不等于质子质量与电子质量之和。当质子和电子结合时，原子核会趋向于一个能量最低的基态（最低势能）。为了达到这个基态，系统会释放出能量ΔE，因此系统的能量减少。通过损失这极其微小的能量，原子核也损失了质量（ΔE=Δmc²）。反之，当原子重新获得能量时，系统的质量会增加。这一规律适用于所有物质原子。例如，氦原子核（2个质子+2个中子）的质量为6.646 yg（1幺克=10⁻²⁴克）。质子的质量为1.673 yg。中子的质量为1.675 yg。2个质子的质量加上2个中子的质量等于6.696 yg。可以观察到，原子核的质量小于其组成粒子的质量之和。当质子和中子结合时，系统的质量减少了1% Δm=ΔE/c²（最低势能）。同时释放出ΔE。这个能量虽然不大，但正是这种核聚变能量让恒星得以发光。
质子的质量（2个上夸克 + 1个下夸克）为1.673 yg，即1.673×10⁻²⁴克。中子的质量（1个上夸克 + 2个下夸克）为1.675 yg。上夸克的质量为0.004 yg，下夸克的质量为0.009 yg。

为什么夸克的质量只占核子质量的约千分之二？

动能和强相互作用能共同激发并束缚着夸克。这意味着质量只包含能量。质量的深层本质，正是源于基本粒子狂野舞动所产生的能量。

如果一个发射光的粒子没有质量（m²c⁴=E²-p²c²），那么它的总能量等于其动能（E²-p²c² ⇒ E=pc）。因此，质量等同于惯性，正如牛顿方程（f=ma 和 f=mv）中所描述的那样。
若粒子并非静止，则需加入动量（E²=m²c⁴+p²c²），因此狭义相对论允许无质量粒子的存在。粒子可以具有能量而无质量，只需其动量不为零即可。光子即属此类。无质量粒子无法静止，它们被迫以光速运动。
若粒子速度等于c，其能量最大；因此其质量为零，m²c⁴=E²-p²c²=0。
质量转化为能量（m=E/c² 或 Δm=ΔE/c²）是核能生产的过程。非常重的原子核（铀-235、钚-239）含有大量质子且不稳定。如果其中一个原子捕获一个中子，它会转变为更不稳定的原子核（²³⁶U 或 ²⁴⁰Pu）并获得能量。生成的原子核分裂成两个原子核，随后释放出两到三个中子，这些中子可用于其他核裂变（链式反应原理）。

在这个反应中，两个原子核的质量加上释放出的中子的质量小于初始铀-235原子核的质量。质量已转化为动能。我们将回收的正是裂变产生的这种能量。一个铀-235原子裂变释放约193.2兆电子伏的可回收能量。核燃料释放的能量比化学化石燃料高出百万倍。

化学反应也能将质量转化为能量，但其转化率极低，大约仅为十亿分之一。

能量：能量概念的演变

氘氚聚变 — 在托卡马克（一种利用聚变能的装置）中，氢原子可以发生聚变并产生能量。质量平衡显示，聚变反应后的质量小于反应前的质量。质量的差异已转化为能量。

洛伦兹因子（γ=1/√(1-v²/c²)）适用于相对论框架中的所有概念，能量自然也不例外。

在公式 E=mc²/√(1-v²/c²)-mc² 中，若物体速度远小于光速（最高至10万公里/秒），可得宏观世界动能 Ec=mc²/√(1-v²/c²)-mc² ⇒ ½mv²。
如果速度接近光速，动能将趋于无穷大。这意味着不可能超过光速，因为要使物体达到光速c，需要无限大的能量（Ec=∞），这是不可能的。换言之，物体质量越大，其运动阻力越大；运动速度越快，改变其运动状态就越困难。我们逐渐达到一个无法超越的极限速度。此时惯性如此之大，以至于宇宙中所有能量都不足以使其加速。我们由此理解了为何光速是整个可观测宇宙中的极限速度。
在这个方程Ec=mc²/√(1-v²/c²)-mc²中，动能转化为质量，这正是我们在粒子加速器中所做的事情。

沿相反方向循环的高能粒子束发生碰撞，会产生大量粒子，这些粒子通过高能粒子探测器进行探测。当我们测量碰撞产生的所有粒子的总质量，并将其与初始粒子的质量进行比较时，会发现其值高达初始质量的20万倍。换句话说，质量并不守恒，初始粒子的动能已经物质化，转化成了新的粒子。动能转化成了质量！

Δm=ΔE/c²，在热核聚变中，质量转化为能量。带正电荷的氘核或氚核无法自然结合。但在托卡马克装置中，在极端温度和压力的作用下，氢原子可以发生聚合并产生能量。质量平衡显示，聚变反应后的质量小于反应前的质量，这部分质量差已转化为能量。

反物质：我们宇宙中隐藏的现实

反物质也是方程E=mc²的一个结果。物质与反物质相遇时，会湮灭并将100%的质量转化为纯能量。

例如，一个电子（负电荷）和一个正电子（正电荷）可以融合并转化为极高能量的伽马光子。因此，物质到能量的转化是完全的。

每当一个粒子遇到反粒子时，它们会瞬间湮灭并转化为纯能量，正如核医学功能成像技术——正电子发射断层扫描（PET）中所应用的那样。将微量放射性同位素（氟-18）掺入“前体”分子中，注入患者体内。该物质会扩散至各器官，而¹⁸F-氟代脱氧葡萄糖（¹⁸FDG）会不时衰变，释放出正电子。这些正电子在附近电子的作用下发生湮灭，释放出β射线。这些光子穿过患者身体后被机器检测到，从而可以确定葡萄糖的去向。

PET成像中最常用的同位素通常具有较短的放射性半衰期（放射性衰减一半所需的时间）。因此，放射性示踪剂在使用前几小时由回旋加速器生产。正电子发射断层扫描是一种利用反物质的技术。

注： β辐射是一种放射性形式，原子核在此过程中发射一个电子和一个反中微子（β负辐射），或一个正电子和一个中微子（β正辐射）。该过程产生另一个原子核，其比初始原子核少一个中子、多一个质子。

时空：宇宙的新视角

光锥或超锥是相对论中的一个基本概念。它允许从某一事件出发，区分过去、未来和不可达事件。位于光锥内部的相对论性事件存在因果联系，而位于光锥之外的事件则因果无关，无法与光锥内的事件相互作用。图片来源：GNU自由文档许可证。

时空概念随狭义相对论而出现，其几何表示由赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）于1908年提出。

时空连续统具有四个维度。三个空间维度（x, y, z）和一个时间维度（ct），通过常数c将其转化为距离（d=ct）。在时空中，时间被几何化，使得所有事件都能通过其坐标ct、x、y、z在时间和空间中被定位，这些坐标均取决于参考系，因为时间在不同参考系中的展开方式并不相同。

时间的测量，转化为距离的测量，可与空间的另外三个坐标相关联。因此，所有测量均以距离为单位。时间已化为空间！

所有点事件以光速相连。所有事件的集合称为“时空”。由光锥定义的边界称为“宇宙视界”。

定义光锥的世界线可由以光速运动的粒子描述，这构成了光锥的边界。下半部分（倒锥）中世界线的呈现源于一个事实：事件同样可以拥有过去。若物体在时空中保持静止，它虽不在空间中移动，却会沿时间轴（纵轴）运动。

如果物体处于运动状态，且速度必然小于光速c，其位移将发生在以原点（即“现在”）为顶点的光锥内部。运动物体的世界线在光锥内呈现一个角度，该角度取决于其速度；它在空间和时间中移动。光锥的边界定义了极限速度——即光子的速度。光锥的表面则专门用于表示物体所发射光信号的传播过程。

上光锥内部（正侧）代表“未来”。光锥顶点代表“此时此地”。下光锥内部（负侧）代表“过去”。光锥外部无法通过光信号到达，因为其速度将超过光速。外部代表“别处”。

真实物体在时空中拥有一条世界线。其历史集合（即生命历程中的所有事件）勾勒出这条线。在闵可夫斯基的四维欧几里得宇宙中，物体在时空中的轨迹始终是直线。

关键要点

理解狭义相对论并非一蹴而就；需要丰富的想象力才能领悟E=mc²方程背后隐藏的概念。许多物理学家为爱因斯坦脑海中这一公式的诞生做出了贡献。

伽利略（1564-1642）提出伽利略相对性原理及匀速运动参考系。
艾萨克·牛顿（1642-1727）以其运动定律而闻名。
迈克尔·法拉第（1791-1867），因其在电学和磁学方面的贡献。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831-1879），因统一电学和磁学并将光纳入电磁现象而闻名。
乔治·菲茨杰拉德（1851-1901）关于长度收缩的论述。
亨德里克·安东·洛伦兹（1853-1928）因长度收缩和时间膨胀而闻名。
亨利·庞加莱（1854-1912）对洛伦兹变换群结构的贡献。
阿尔伯特·亚伯拉罕·迈克尔逊（1852-1931）与爱德华·威廉姆斯·莫雷（1838-1923）因在光以太中光速不变性实验而闻名。

对于爱因斯坦而言，光由光子构成；无需以太（发光以太）的存在。
存在一个物体无法超越的极限速度。这个速度将质量与能量联系在一起。
c不再是无质量物体的速度，而是成为我们在所有现象中都能找到的物理学普适常数。
以光速运动时，时间不再流逝。不存在零速度，也不存在绝对参照系。静止的概念并不存在。
洛伦兹因子的简单应用解释了光速不变性及其极限、时间膨胀和长度收缩。
能量与物质本质相同。能量转化为质量需要大量能量，而质量转化为能量只需极少量质量。物体的质量代表着能量的容器。
物质与反物质相遇时，会湮灭并将100%的质量转化为纯能量。
时空连续统具有四个维度。三个空间维度（x, y, z）和一个时间维度（ct），通过将其与常数c关联（d=ct）转化为距离。在时空中，时间被几何化了。
凭借这个反直觉的神秘公式E=mc²，阿尔伯特·爱因斯坦将整个宇宙——从无穷大到无穷小——浓缩为一个方程。E=mc²将宇宙学与量子物理学统一起来。若此公式被证伪，整个物理学体系都将崩塌。