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Masa de Júpiter

Cálculo de la masa de Júpiter

Actualización 01 de junio 2013

Proponemos determinar la masa de Júpiter estudiando el movimiento de sus principales satélites : Io, Europa, Ganímedes y Calisto.

El movimiento de un satélite, de una masa m es estudiado en una base considerada como Galileo, teniendo su origen en el centro de Júpiter y sus ejes dirigidos hacia estrellas lejanas, consideradas como sueldos fijos. Supondrá que Júpiter y sus satélites tienen una repartición de masa a simetría esférica. El satélite se desplaza sobre una órbita circular, a la distancia R del centro de Júpiter :
- Determinar la naturaleza del movimiento de un satélite alrededor de Júpiter.
- Determinar la velocidad v de un satélite con arreglo a R, de M, agrupa de Júpiter y de G, constante de gravitación universal.
- deducir de Eso la expresión del período de revolución T del satélite.
- Mostrar que el informe T ²/R 3 es constante.

Los períodos de revolución y los rayos órbitas de los cuatro principales satélites de Júpiter han sido determinados y tienen los valores siguientes :

 
Io
Europa
Ganímedes
Calisto
T(a las horas)
42,5
85,2
171,7
400,5
R(en km)
4,22 105
6,71 105
1,07 106
1,883 106

- Representar sobre papel milimetrado el grafo generoso variación de T ² con arreglo a R3. Concluir.
- uniéndoles estos resultados a los obtenidos más arriba, determinar la masa M de Júpiter.

dada : G = 6,67 vez 10-11N.m2.kg-2.

Corrección

El satélite está sometido a la sola fuerza de gravitación centrípeta

Masa de Jupiter en la base de Frenet : según el eje n = GMm /R² = mv²/ (R+h) de donde la velocidad : v² =GM / R
según el eje t : dv/dt = 0 de donde norma de la velocidad constante y el movimiento uniforme.
la circunferencia del círculo 2pR es recorrido a la velocidad v durante la duración T (período 2pR =vT)
ascender al cuadrado y reemplazar v ² por su expresión 4p²R²= GM / R T²
si T² / R3 = 4p²/(GM)(3ème loi de Kepler).
T ² con arreglo a (R+h) al cubo da una derecha cuyo coeficiente directivo es 4pi²/GM
 

 
Io
Europa
Ganimedes
Calisto
T(en segundos)
1,53 105
3,07 105
6,18 105
1,44 106
R(en m)
4,22 108
6,71 108
1,07 109
1,883 109
T² en s²
2,34 1010
9,42 1010
3,81 1011
2,07 1012
R3 en m3
7,51 1025
3 1026
1,22 1027
6,64 1027
T² / R3
3,1 10-16
3,14 10-16
3,12 10-16
3,2 10-16

T² / R3 es más o menos constante e igual a : 3,15 10-16
La 3a ley de Kepler es bien verificada.

Masa de Jupiter

Masa de Júpiter : T² / R3 = 4p²/(GM)(3ème ley de Kepler).

El resultado

M = 4p² / ( 3,15 10-16 *6,67 10-11) = 1,87 1027 kg.

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