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Última atualização 4 de dezembro de 2021

E=mc²: Uma Equação, Uma Revolução

Relatividade Restrita

Relatividade Restrita: Muito Mais Que Uma Fórmula Famos

E=mc² é a equação mais conhecida e popularizada de toda a física.

A equação E=mc² aparece pela primeira vez no artigo de Albert Einstein intitulado "A inércia de um corpo depende da energia que ele contém?", publicado no jornal Annalen der Physik em 27 de setembro de 1905. Ela aparece após o artigo de 30 de junho de 1905 intitulado "Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento". Este artigo de junho de 1905 contém a base do que mais tarde será chamado de "A Teoria da Relatividade Restrita".

A teoria da relatividade restrita baseia-se em dois princípios: a relatividade galileana e a invariância da velocidade da luz. A relatividade galileana diz que as leis da física permanecem inalteradas em referenciais de inércia (sistemas de referência em movimento uniforme), denominados desde então referenciais galileanos. Além disso, a velocidade é relativa em relação a um referencial, um ponto escolhido arbitrariamente como fixo. A invariância da velocidade da luz implica que é uma velocidade limite e inultrapassável, independentemente do referencial.

Mas o que significa exatamente a equação E=mc²?

Na realidade, a equação original é E²=m²c⁴+p²c² (E=energia, m=massa, c=velocidade da luz, p=momento). Em outras palavras, a energia total de um corpo é a soma de sua energia de massa em repouso (m²c⁴) mais sua energia cinética (p²c²).

Se um corpo está imóvel, seu momento é nulo, então E²=m²c⁴ ⇒ E=mc². Outras formas da equação são m=E/c² ou Δm=ΔE/c² (Δ=variação).

Esta equação E=mc² tem enormes consequências nos conceitos de espaço, tempo, massa e energia, bem como na física do infinitamente grande (cosmologia) e do infinitamente pequeno (física quântica).

Nota: Lei de composição de velocidades: Se V1 é a velocidade do referencial R1 (por exemplo, um trem que viaja a 100 km/h) e V2 é a velocidade de um caminhante (referencial R2) que se move a 10 km/h na mesma direção que o trem em relação ao trem, a que velocidade V0 o caminhante se move em relação à plataforma (referencial R0)? A resposta é V0 = V1+V2=110 km/h. Do ponto de vista da plataforma, o trem está se movendo a 100 km/h e o caminhante a 110 km/h. Do ponto de vista do trem, o caminhante está se movendo a 10 km/h e a plataforma a -100 km/h. Do ponto de vista do caminhante, o trem está se movendo a -10 km/h e a plataforma a -110 km/h. A velocidade é relativa; depende do ponto de vista. Nenhum experimento mecânico dentro do referencial inercial pode determinar a velocidade do seu próprio referencial.

Nota: O impulso ou a quantidade de movimento transmitida a um objeto é o produto da massa pela velocidade (p=mv). Isso corresponde à inércia do objeto ou à dificuldade em mudar seu movimento.

Éter Luminífero: Quando a Luz Viajava no Éter

Éter Luminífero

No artigo de 30 de junho de 1905, publicado no Annalen der Physik "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", Einstein postula que a luz não é apenas ondulatória, mas também consiste em fótons (corpúsculos de luz). Isso permitirá que ele questione a existência do éter.

A luz, redefinida por Maxwell, tem sido considerada desde o século XVII como uma onda. O som precisa de um meio (ar) que vibra com a passagem do som. Da mesma forma, uma onda precisa de um meio (água) para se propagar. Os físicos do século XVIII inventaram então o éter luminífero, um substrato imaterial que serve como suporte no vácuo para transportar a luz. O éter que vibra com a passagem da luz era um consenso no mundo científico. Para Einstein, se a luz não é apenas ondulatória, mas também consiste em fótons, então não há necessidade de éter luminífero.

Einstein rejeitou energicamente a natureza estacionária do éter defendida por Lorentz porque era contrária ao princípio da relatividade. A luz pode se propagar no vácuo como corpúsculos.

Nota: De acordo com as equações de James Clerk Maxwell (1831-1879), a luz é uma onda eletromagnética transversal autopropagante com componentes elétricas e magnéticas onde os campos elétricos e magnéticos oscilam em ângulo reto um em relação ao outro e se propagam perpendicularmente à direção em que se movem indefinidamente, a menos que sejam absorvidos pela matéria intermediária. Em outras palavras, cada tipo de campo—elétrico e magnético—gera o outro para propagar toda a estrutura composta no espaço vazio à velocidade finita da luz, c (do latim celeritas "velocidade").

Velocidade da Luz: O Limite Definitivo da Natureza

Velocidade da Luz

A eliminação do éter nos diz que a noção de velocidade absoluta não existe; a velocidade é relativa. Isso implica que se um objeto tem uma velocidade c em um referencial, então ele tem uma velocidade c em todos os referenciais.

Como aceitar essa peculiaridade?

Os seguintes postulados são necessários para entender a teoria da relatividade restrita.

Se aceitamos esses postulados, as transformações de Lorentz (1853-1928) modificam a lei de composição de velocidades.

V=V1+V2 torna-se V=(V1+V2)/(1 + V1V2/c²)

Demonstra-se que se V2=c ⇒ V=c. A energia de V2 sendo máxima, a velocidade V1 é zero!

V=(V1+c)/(1+V1c/c²)=(V1+c)/(1+V1/c)=c(V1+c)/(c+V1)=c

c tornou-se uma constante limite, e os objetos que se movem à velocidade c não dependem do referencial. Se um objeto se propaga à velocidade da luz, então ele se propagará à velocidade da luz para todos os observadores. O experimento dá c=299.792.458 m/s. Na nossa escala, V1 e V2 são pequenas em comparação com c, então o fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) muito próximo de 1 nos permite encontrar V≈V1+V2.

O fator de Lorentz é o fator de proporcionalidade pelo qual o tempo, os comprimentos e a massa relativísticos mudam para um objeto enquanto ele está em movimento. Este fator assume um valor infinito quando a velocidade do objeto atinge a velocidade da luz.

γ=1/√(1-v²/c²) ⇒ γ=1/√(1-c²/c²) ⇒ γ=1/0 = ∞

O gráfico do fator de Lorentz mostra uma assíntota. Esta assíntota sobe abruptamente na vertical à medida que v se aproxima de c. Aqui estão alguns valores do fator de Lorentz correspondentes a diferentes valores de velocidade.

Dilatação do Tempo: O Impacto da Velocidade e da Gravidade

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista, e claro, o tempo está envolvido.

Um raio laser que se reflete na Lua leva 1,3 segundos para ir e 1,3 segundos para voltar. O movimento de ida e volta do raio laser que viaja entre 2 espelhos pode ser considerado um relógio. Um piloto que passa a uma velocidade muito alta ao lado da Terra observa um fenômeno estranho. Ele vê a luz se mover em uma viagem de ida e volta não verticalmente, mas em ziguezague. O raio percorre uma distância maior para ele do que para um observador na Terra. A direção do laser vista pelo observador no solo é vertical, então a distância é mais curta do que a vista pelo piloto.

Como v=dt e a velocidade da luz é invariante, se v é invariante e a distância d é maior, então o tempo é mais curto. Do ponto de vista do piloto, o pêndulo de luz oscila mais lentamente do que para o observador na Terra.

Na nave espacial, o tempo se dilata por um fator γ, que é uma função da velocidade da nave. O movimento causa uma desaceleração do tempo. Isso foi demonstrado de maneira prática com relógios atômicos que permitem medições extremamente precisas. Dois relógios atômicos, um instalado em um avião em voo e outro colocado no solo, obtêm medições de tempo diferentes. Há uma dessincronização dos relógios. O relógio do avião é mais lento por alguns nanosegundos, mas a diferença é real e mensurável. Essa pequena diferença se deve à baixa velocidade do avião em comparação com a velocidade da luz.

Contração dos Comprimentos: Um Efeito Relativista Fundamental

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista. Os comprimentos também estão envolvidos.

Para medir o comprimento de um objeto em movimento, é necessário medir suas extremidades simultaneamente (exatamente no mesmo momento). Isso não é possível para um objeto que viaja à velocidade da luz. Para medi-lo, ele deve estar imóvel. Portanto, deve-se estar em seu próprio referencial onde o objeto está imóvel.

Em seu referencial, o comprimento dos objetos em movimento é reduzido por um fator gama. Para entender esse fenômeno de contração dos comprimentos, um exemplo será mais explícito do que equações.

Os múons são partículas elementares com carga elétrica negativa, instáveis, produzidas na alta atmosfera a uma altitude de 35 km. Os raios cósmicos são fluxos de núcleos atômicos (prótons) de alta energia relativística, vindos do espaço. Quando os raios cósmicos colidem com átomos de oxigênio ou nitrogênio na alta atmosfera, produzem chuveiros de partículas, incluindo múons. Os múons têm uma vida útil de 2,2 μs em média e viajam a uma velocidade muito próxima da velocidade da luz. Isso significa que durante toda a sua vida, eles percorrem apenas uma média de 660 metros.

Como é possível encontrar múons no solo (35 km abaixo) quando eles só podem viajar 660 m?

Os múons têm muita energia, então o efeito de dilatação do tempo descrito pela relatividade restrita os torna observáveis na superfície da Terra.

De fato, do ponto de vista do observador no solo, a vida útil do múon que se move à velocidade da luz é dilatada por um fator γ (2,2 γ). Do seu ponto de vista, o múon viverá 75 vezes mais e será possível encontrá-lo no solo. Do ponto de vista do múon, é a Terra que se move em sua direção à velocidade da luz. Ele verá o tamanho da Terra reduzido pelo mesmo fator γ. Para o múon, os 35 km da atmosfera serão apenas 660 m, e ele poderá atingir o solo antes de desaparecer.

Ambos os pontos de vista levam ao mesmo resultado físico. Do ponto de vista do observador no solo, há uma dilatação do tempo. Do ponto de vista do múon, há uma contração dos comprimentos. Assim como com a dilatação do tempo, não observamos a contração dos comprimentos em nossa vida diária porque nossas velocidades de deslocamento são muito baixas em comparação com a velocidade da luz.

Massa: Da Teoria à Prática

Fissão do Núcleo de Urânio

Em E=mc², a enormidade do fator c² nos diz que um objeto possui uma quantidade gigantesca de energia apenas por virtude de sua massa.

Por que a massa dos quarks representa apenas cerca de 2 milésimos da massa dos nucleons?

A energia cinética e a energia de interação forte agitam e mantêm os quarks juntos. Isso significa que a massa contém apenas energia. A natureza profunda da massa é a energia devido à dança frenética das partículas elementares.

Nesta reação, a massa dos dois núcleos mais a massa dos nêutrons liberados é menor que a massa do núcleo inicial de urânio-235. Massa foi convertida em energia cinética. É esta energia produzida pela fissão que recuperaremos. A fissão de um átomo de urânio-235 libera aproximadamente 193,2 MeV de energia recuperável. A energia liberada pelos combustíveis nucleares é um milhão de vezes maior que a dos combustíveis fósseis químicos.

Energia: A Evolução do Conceito de Energia

Fusão Deutério Trítio

O fator de Lorentz (γ=1/√(1-v²/c²)) aplica-se a todos os conceitos em um quadro relativista, e claro, a energia está envolvida.

Feixes de partículas de alta energia que circulam em direções opostas e colidem causam o aparecimento de um grande número de partículas que são detectadas usando detectores de partículas de alta energia. Quando medimos a massa total de todas as partículas criadas pela colisão e a comparamos com a massa das partículas iniciais, encontramos um valor até 200.000 vezes maior. Em outras palavras, a massa não é conservada, e a energia cinética das partículas iniciais se materializou. Ela se transformou em novas partículas. A energia cinética se transformou em massa!

Antimatéria: Uma Realidade Oculta do Nosso Universo

A antimatéria também é uma consequência da equação E=mc². A matéria e a antimatéria, ao se encontrarem, se aniquilam e transformam 100% de sua massa em energia pura.

Sempre que uma partícula encontra uma antipartícula, ela se aniquila instantaneamente em energia pura, como na técnica de imagem funcional da medicina nuclear usada na PET (tomografia por emissão de pósitrons). Uma dose micro de um isótopo radioativo (flúor-18) incorporada a uma molécula "precursora" é injetada no paciente. O produto se difundirá nos órgãos, e de tempos em tempos, o ¹⁸F-fluoro-deoxi-D-glicose (¹⁸FDG) se desintegrará, emitindo pósitrons. Na presença de elétrons próximos, esses pósitrons se desintegrarão, emitindo radiação beta. Esses fótons atravessarão o corpo do paciente e serão detectados pela máquina. Assim, poderemos determinar para onde foi a glicose.

Os isótopos mais comumente usados na imagem PET têm uma meia-vida radioativa geralmente curta (tempo necessário para que metade da radioatividade decaia). Consequentemente, os radiofármacos são produzidos por um cíclotron algumas horas antes de seu uso. A tomografia por emissão de pósitrons é uma técnica que utiliza a antimatéria.

Nota: A radiação beta é uma forma de radioatividade na qual um núcleo emite um elétron e um antineutrino (radiação beta menos) ou um pósitron e um neutrino (radiação beta mais). Esse processo dá origem a outro núcleo que tem um nêutron a menos e um próton a mais que o núcleo inicial.

Espaço-Tempo: Uma Nova Perspectiva sobre o Universo

Cone de Luz

O espaço-tempo surgiu com a relatividade restrita, e sua representação geométrica foi retomada por Hermann Minkowski (1864-1909) em 1908.

O contínuo espaço-tempo tem quatro dimensões. Três dimensões para o espaço (x, y, z) e uma para o tempo (ct), que é transformada em uma distância associando-a à constante c (d=ct). No espaço-tempo, o tempo é geometrizado, o que permite que todos os eventos sejam posicionados no tempo e no espaço por suas coordenadas ct, x, y, z, todas as quais dependem do referencial, pois o tempo não se desenrola da mesma maneira dependendo do referencial.

A medição do tempo, transformada em uma medição de distância, pode ser associada às outras três coordenadas do espaço. Assim, todas as medições são em unidades de distância. O tempo tornou-se espaço!

Todos os eventos pontuais estão conectados à velocidade da luz. O conjunto de todos os eventos é chamado de "espaço-tempo". A fronteira definida pelo cone de luz é chamada de "horizonte cosmológico".

As linhas do universo que definem o cone podem ser descritas por uma partícula que se move à velocidade da luz, o que define a fronteira do cone. A representação das linhas do universo na parte inferior (cone invertido) deve-se ao fato de que um evento também pode ter um passado. Se o objeto está imóvel no espaço-tempo, ele não se move no espaço, mas se move no tempo (eixo vertical).

Se o objeto está em movimento, necessariamente a uma velocidade menor que c, o deslocamento ocorrerá dentro do cone de luz que tem a origem como seu vértice (o presente). A linha do universo de um personagem em movimento tem um ângulo no cone que depende de sua velocidade; ele se move no espaço e no tempo. As bordas do cone definem a velocidade limite, a das partículas de luz. A superfície do cone é reservada para a representação da propagação dos sinais de luz emitidos pelo objeto.

O interior do cone de luz superior (lado positivo) representa "o futuro". O vértice do cone de luz representa "aqui e agora". O interior do cone de luz inferior (lado negativo) representa "o passado". O exterior do cone não é acessível por um sinal de luz porque ele iria mais rápido que a velocidade da luz. O exterior representa "outro lugar".

Um corpo do mundo real tem uma linha do universo no espaço-tempo. O conjunto de sua história (todos os eventos de sua vida) traça essa linha. No universo euclidiano de quatro dimensões de Minkowski, as trajetórias dos objetos no espaço-tempo são sempre linhas retas.

O que deve ser lembrado

A compreensão da relatividade restrita está longe de ser imediata; é necessária muita imaginação para entender os conceitos ocultos por trás da equação E=mc². Muitos físicos contribuíram para o surgimento dessa fórmula na mente de Einstein.

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