Imagem: T2 / R3 = k
A expressão teórica de k será conhecida em 1687 graças às equações da gravitação universal formuladas por Isaac Newton (1643−1727).
Tamanho relativo do sistema solar
No início do século 17, os cientistas não tinham ideia das dimensões do sistema solar. No entanto, graças às leis de Johannes Kepler (1571−1630), sabemos as distâncias relativas dos cinco planetas da época em comparação com o sol. Em outras palavras, sabemos as distâncias em uma unidade desconhecida, a distância Terra-Sol, mas não sabemos a distância Terra-Sol em km.
A 3ª lei de Johannes Kepler, formulada em 1618, mostra a relação entre o semi-eixo maior da órbita de um planeta e seu período de rotação em torno do Sol (tabela ao lado). O cubo do semieixo maior é igual ao quadrado do período de rotação (T2/R3=k) que posiciona a órbita de Mercúrio a 0,39 UA (unidade astronômica criada muito mais tarde em 1958) e a de Saturno a 9,55 unidades astronômicas do sol.
A medição de uma única distância (planeta-Sol) dará a escala de todo o sistema e, portanto, a distância Terra-Sol em km, conforme esperado pelos astrônomos.
N.B.: Leis de Kepler
A primeira lei de Kepler, "lei das órbitas" (publicada em 1609 em Astronomia nova), estipula que todos os corpos em órbita descrevem trajetórias elípticas, das quais o Sol ocupa um dos focos.
A segunda lei de Kepler, "lei das áreas" (publicada em 1609 na Astronomia nova), afirma que áreas iguais são atravessadas em tempos iguais.
A terceira lei de Kepler, "a lei dos períodos" (publicada em 1619 na Harmonices Mundi), afirma que o quadrado do período sideral de um planeta (tempo entre duas passagens sucessivas na frente de uma estrela) é diretamente proporcional ao cubo da semi-eixo maior da trajetória elíptica do planeta.
Medição da distância Terra-Marte
Imagem: As medições da Cassini possibilitaram medir o ângulo α. Dois observadores são colocados em dois pontos suficientemente distantes na Terra (Paris e Caiena, por exemplo) e observam a configuração das estrelas ao redor da estrela observada. Eles podem medir os ângulos dos pontos de observação e então deduzir a paralaxe α (em radianos) e a distância Terra-Marte. N.B.: Latitude é a posição norte ou sul de um ponto na Terra, ou seja, é o ângulo com o plano equatorial (de 0° no equador a 90° no pólo norte e -90° no pólo sul).
N.B.: Longitude é a posição Leste-Oeste de um ponto na Terra, que corresponde a uma diferença de tempo com o plano do meridiano de Greenwich (meridiano principal, 0° de longitude). Este deslocamento varia de + 180° oeste a -180° leste).
Por mais paradoxal que possa parecer, é medindo a distância Terra-Marte que os astrônomos e matemáticos do século 17 foram capazes de ter uma ideia das dimensões do sistema solar.
Naquela época, a observação era resumida principalmente pela medição dos ângulos de objetos celestes vistos da Terra. Então, são os cálculos da trigonometria que fornecem as distâncias.
Como a distância Terra-Marte foi calculada pela primeira vez?
Em setembro de 1672, Jean-Dominique Cassini (1625−1712), Jean Picard disse l'Abbé Picard (1620−1682) e Jean Richer (1630−1696) mediram a paralaxe horizontal de Marte quando este planeta passou mais próximo da Terra (Marte é então, visto da Terra, em frente ao Sol). Para realizar esta medição, é necessário observar as posições de Marte em relação às estrelas muito mais distantes de dois pontos muito distantes.
Cassini de Paris e Richer de Cayenne medem a paralaxe de Marte. Esta medição em relação à base formada pelo raio equatorial da Terra dá uma paralaxe horizontal de p=24" ⇒ Terra-Marte = 54 746 000 km.
Para determinar a paralaxe de Marte a partir de observações feitas em Paris e Caiena, é necessário saber com a máxima precisão a diferença entre as latitudes e a diferença entre as longitudes de Paris e Caiena.
A latitude (veja a nota) é fácil de medir, mas a longitude (veja a nota) é muito mais difícil na época.
Cassini especifica, no entanto, que mediu a longitude por vários métodos para obter uma média:
- A observação de um eclipse cujas várias fases são identificadas em horas do meridiano de Paris, nas coleções astronômicas.
- A observação de eclipses dos satélites galileanos de Júpiter que ocorrem várias vezes ao dia.
- A observação das alturas dos meridianos do Sol.
O total dá uma média de 3 h 39 min ± 10 min.
Richer e Cassini, portanto, observam o planeta Marte durante o mês de setembro de 1672. Marte passará perto de uma estrela de Aquário (Ψ Aquarii). Na imagem ao lado, o ponto C' corresponde à latitude de C (Caiena) e à longitude de P (Paris). Cassini usa duas observações simultâneas de Marte, uma de P e outra de C'. O ângulo de Paris Caiena de Marte é o ângulo α=14". Mas a paralaxe de Marte é o ângulo no qual Marte vê o raio da Terra. O cálculo da proporcionalidade entre o ângulo de Paris Caiena e a paralaxe de Marte dá 24" ± 5 "
Uma vez que a paralaxe de Marte é conhecida, a trigonometria torna possível obter a distância Terra-Marte (D) de acordo com o raio (R) da Terra:
D = R×3600/24×180/π de onde 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km
Cálculo da distância Terra-Sol
Image : calcul des distances grâce aux orbites de la Terre et de Mars
C = centre de l'ellipse représentant l'orbite de Mars
Demi-grand axe de l'orbite de Mars = C → Mars
Excentricité de l'orbite de Mars = CS / CM = 0.093
CM = CS + ST + TM
CM = TM + ST / 1-CS
TM = 54 790 600 km
PT (période de la Terre) = 1 an (365 jours)
PM (période de Mars) = 1,88 an (686 jours)
⇒ TS = TM / 1-CS(PM/PT)2/3 -1
1-CS(PM/PT)2/3 -1 = 0.38 soit 3/8
⇒ TS = 54 790 600 x 8/3 = 150 000 000 km
Qual é a distância Terra-Sol?
Assim que a distância Terra-Marte foi conhecida, a distância Terra-Sol pôde ser calculada usando a terceira lei de Kepler.
Cassini sabia que Marte estava a 0,38 UA = 3/8 UA. Terra-Sol = 8/3 x 8600 R = 23000 R ± 5000 raios terrestres.
Cassini nos dá o valor do raio terrestre em léguas: R = 1.500 léguas.
Na época, havia um grande número de definições da liga dependendo da região.
Suponhamos que o raio terrestre seja dado em liga do abade Picard que a partir de 1671 é igual a 3707 metros.
R = 1500 x 3.707 = 5.560,5 km de onde:
Terra-Sol = 127 891 500 km a ± 27 802 500 km
Este resultado notável constitui a primeira medição da distância Terra-Sol.
Graças à terceira lei de Kepler, esta distância dará a escala de todo o sistema solar T2/R3=k (tabela acima).